Система реакция – диффузия - Reaction–diffusion system

Моделирование двух виртуальных химических веществ, реагирующих и распространяющихся на торе, с использованием Модель Грея – Скотта

Реакционно-диффузионные системы представляют собой математические модели, соответствующие нескольким физическим явлениям. Чаще всего встречается изменение во времени и пространстве концентрации одного или нескольких химических веществ: местного химические реакции в котором вещества превращаются друг в друга, и распространение который заставляет вещества распространяться по поверхности в космосе.

Системы реакция – диффузия естественным образом применяются в химия. Однако система может также описывать динамические процессы нехимической природы. Примеры можно найти в биология, геология и физика (теория диффузии нейтронов) и экология. Математически системы реакция – диффузия имеют форму полулинейных параболические уравнения в частных производных. Их можно представить в общем виде

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\underline {\boldsymbol {D}}}}\,\nabla ^{2}{\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),}$

куда q(Икс, т) представляет неизвестную вектор-функцию, D это диагональная матрица из коэффициенты диффузии, и р учитывает все местные реакции. Решения уравнений реакции-диффузии демонстрируют широкий диапазон поведения, включая образование бегущие волны и волнообразные явления, а также другие самоорганизованный узоры как полосы, шестиугольники или более сложные структуры, такие как диссипативные солитоны. Такие узоры получили название "Паттерны Тьюринга ".^[1] Каждая функция, для которой выполняется дифференциальное уравнение реакции диффузии, фактически представляет собой переменная концентрации.

Однокомпонентные уравнения реакции – диффузии

Простейшее уравнение реакции-диффузии имеет одно пространственное измерение в плоской геометрии,

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

также называется Уравнение Колмогорова – Петровского – Пискунова..^[2] Если член реакции равен нулю, то уравнение представляет собой чистый диффузионный процесс. Соответствующее уравнение Второй закон Фика. Выбор р(ты) = ты(1 − ты) дает Уравнение фишера который первоначально использовался для описания распространения биологических население,^[3] уравнение Ньюэлла – Уайтхеда – Сегеля с р(ты) = ты(1 − ты²) описать Конвекция Рэлея-Бенара,^[4][5] более общий Зельдович уравнение с р(ты) = ты(1 − ты)(ты − α) и 0 < α < 1 что возникает в горение теория^[6] и его частный вырожденный случай с р(ты) = ты² − ты³ это иногда также называют уравнением Зельдовича.^[7]

На динамику однокомпонентных систем накладываются определенные ограничения, так как уравнение эволюции также можно записать в вариационной форме

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

и поэтому описывает постоянное уменьшение «свободной энергии» ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ заданный функционалом

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

с потенциалом V(ты) такой, что р(ты) = dV(ты)/dты.

Решение фронта бегущей волны для уравнения Фишера.

В системах с более чем одним стационарным однородным решением типичное решение дается бегущими фронтами, соединяющими однородные состояния. Эти растворы движутся с постоянной скоростью, не меняя своей формы, и имеют вид ты(Икс, т) = û(ξ) с ξ = Икс − ct, куда c - скорость бегущей волны. Обратите внимание, что, хотя бегущие волны являются обычно стабильными структурами, все немонотонные стационарные решения (например, локализованные области, состоящие из пары фронт-антифронт) нестабильны. За c = 0, этому утверждению есть простое доказательство:^[8] если ты₀(Икс) является стационарным решением и ты = ты₀(Икс) + ũ(Икс, т) является бесконечно малым возмущенным решением, линейный анализ устойчивости приводит к уравнению

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

С анзацем ũ = ψ(Икс) ехр (-λt) мы приходим к проблеме собственных значений

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

из Тип Шредингера где отрицательные собственные значения приводят к неустойчивости решения. Из-за трансляционной инвариантности ψ = ∂_Икс ты₀(Икс) нейтральный собственная функция с собственное значение λ = 0, а все другие собственные функции могут быть отсортированы по возрастающему числу узлов, причем величина соответствующего действительного собственного значения монотонно увеличивается с увеличением количества нулей. Собственная функция ψ = ∂_Икс ты₀(Икс) должен иметь хотя бы один нуль, а для немонотонного стационарного решения соответствующее собственное значение λ = 0 не может быть самым низким, что предполагает нестабильность.

Для определения скорости c движущегося фронта можно перейти в движущуюся систему координат и посмотреть на стационарные решения:

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

У этого уравнения есть хороший механический аналог: движение массы D с положением û в течение «времени» ξ под силой р с коэффициентом демпфирования c, который позволяет довольно наглядно получить доступ к построению различных типов решений и определению c.

При переходе от одного пространственного измерения к нескольким все же может применяться ряд утверждений из одномерных систем. Плоские или изогнутые волновые фронты являются типичными структурами, и новый эффект возникает, когда локальная скорость искривленного фронта становится зависимой от локального радиус кривизны (это можно увидеть, перейдя в полярные координаты ). Это явление приводит к так называемой нестабильности, обусловленной кривизной.^[9]

Двухкомпонентные уравнения реакции-диффузии

Двухкомпонентные системы допускают гораздо больший диапазон возможных явлений, чем их однокомпонентные аналоги. Важная идея, впервые предложенная Алан Тьюринг состоит в том, что состояние, которое стабильно в локальной системе, может стать нестабильным при наличии распространение.^[10]

Однако линейный анализ устойчивости показывает, что при линеаризации общей двухкомпонентной системы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

а плоская волна возмущение

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}$

стационарного однородного раствора будет удовлетворять

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}.}$

Идею Тьюринга можно реализовать только за четыре классы эквивалентности систем, характеризующихся признаками Якобиан р′ функции реакции. В частности, если конечный волновой вектор k считается наиболее нестабильным, якобиан должен иметь знаки

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

Этот класс систем получил название система активатор-ингибитор после первого представителя: близкий к основному состоянию, один компонент стимулирует выработку обоих компонентов, а другой тормозит их рост. Наиболее ярким его представителем является Уравнение ФитцХью – Нагумо

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

с  ж (ты) = λu − ты³ − κ который описывает, как потенциал действия проходит через нерв.^[11][12] Здесь, d_ты, d_v, τ, σ и λ положительные константы.

Когда система активатор-ингибитор претерпевает изменение параметров, можно перейти от условий, при которых однородное основное состояние является устойчивым, к условиям, при которых оно является линейно нестабильным. Соответствующие бифуркация может быть либо Бифуркация хопфа в глобально колеблющееся однородное состояние с доминирующим волновым числом k = 0 или Бифуркация Тьюринга в глобально структурированное состояние с доминирующим конечным волновым числом. Последнее в двух пространственных измерениях обычно приводит к полосатым или шестиугольным узорам.

• Подкритическая бифуркация Тьюринга: образование гексагональной структуры из зашумленных начальных условий в вышеупомянутой двухкомпонентной системе реакция-диффузия типа Фитцхью-Нагумо.
• 

  Шумные начальные условия при т = 0.

• 

  Состояние системы на т = 10.

• 

  Почти сходящееся состояние на т = 100.

Для примера Фитцхью – Нагумо кривые нейтральной устойчивости, обозначающие границу области линейной устойчивости для бифуркаций Тьюринга и Хопфа, имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

Если бифуркация подкритическая, часто локализованные структуры (диссипативные солитоны ) можно наблюдать в гистерезисный область, в которой паттерн сосуществует с основным состоянием. Другие часто встречающиеся структуры содержат последовательности импульсов (также известные как периодические бегущие волны ), спиральные волны и целевые узоры. Эти три типа решений также являются общими чертами двух (или более) компонентных уравнений реакции-диффузии, в которых локальная динамика имеет устойчивый предельный цикл.^[13]

• Другие закономерности, обнаруженные в вышеупомянутой двухкомпонентной реакционно-диффузионной системе типа Фитцхью – Нагумо.
• 

  Вращающаяся спираль.

• 

  Целевой шаблон.

• 

  Стационарный локализованный импульс (диссипативный солитон).

Трех- и более-компонентные уравнения реакции-диффузии

Для множества систем были предложены уравнения реакции-диффузии с более чем двумя компонентами, например как модели для регулирования лимфангиогенез к VEGFC, MMP2, и коллаген I;^[14] то Реакция Белоусова – Жаботинского,^[15] за свертывание крови^[16] или планарный сброс газа системы.^[17]

Известно, что системы с большим количеством компонентов допускают множество явлений, невозможных в системах с одним или двумя компонентами (например, стабильные текущие импульсы в более чем одном пространственном измерении без глобальной обратной связи).^[18] Введение и систематический обзор возможных явлений в зависимости от свойств основной системы даны в.^[19]

Проблемы, создаваемые многокомпонентными системами, коренятся в их аналитически трудноразрешимой природе; Одно из решений - исследовать параметрическое пространство такой модели по одной точке за раз, а затем решать модель численно, как это было сделано в теоретическом исследовании лимфангиогенез.^[14]

Применение и универсальность

В последнее время системы реакция-диффузия вызывают большой интерес как прототип модели для формирование рисунка.^[20] Вышеупомянутые паттерны (фронты, спирали, мишени, шестиугольники, полосы и диссипативные солитоны) можно найти в различных типах реакционно-диффузионных систем, несмотря на большие расхождения, например, в условиях местной реакции. Также утверждалось, что процессы реакции-диффузии являются важной основой для процессов, связанных с морфогенез в биологии^[21] и может даже быть связано с шерстью животных и пигментацией кожи.^[22][23] Другие применения уравнений реакции-диффузии включают экологические вторжения,^[24] распространение эпидемий,^[25] рост опухоли^[26][27][28] и заживление ран.^[29] Другая причина интереса к реакционно-диффузионным системам заключается в том, что, хотя они являются нелинейными уравнениями в частных производных, часто существуют возможности для аналитического рассмотрения.^{[8][9][30][31][32][20]}

Эксперименты

Хорошо контролируемые эксперименты в химических реакционно-диффузионных системах до сих пор осуществлялись тремя способами. Во-первых, гелевые реакторы^[33] или заполненные капиллярные трубки^[34] может быть использовано. Второй, температура импульсы на каталитические поверхности были исследованы.^[35][36] В-третьих, распространение бегущих нервных импульсов моделируется с помощью систем реакции-диффузии.^[11][37]

Помимо этих общих примеров, оказалось, что при определенных обстоятельствах электрические транспортные системы, такие как плазма^[38] или полупроводники^[39] можно описать в рамках реакционно-диффузионного подхода. Для этих систем были проведены различные эксперименты по формированию рисунка.

Числовые методы лечения

Система реакция – диффузия может быть решена с использованием методов вычислительная математика. В исследовательской литературе существует несколько числовых трактовок.^[40][20][41] Также для сложных геометрии Предложены методы численного решения.^[42][43]

Смотрите также

• Автоволна
• Реакция, контролируемая диффузией
• Химическая кинетика
• Метод фазового пространства
• Автокаталитические реакции и создание заказов
• Формирование паттерна
• Узоры в природе
• Периодическая бегущая волна
• Стохастическая геометрия
• MClone
• Химические основы морфогенеза
• Паттерн Тьюринга

Примеры

• Уравнение фишера
• Уравнение Фишера – Колмогорова.
• Модель ФитцХью – Нагумо

Рекомендации

1. Вули, Т. Э., Бейкер, Р. Э., Майни, П. К., Глава 34, Теория морфогенеза Тьюринга. В Коупленд, Б. Джек; Боуэн, Джонатан П.; Уилсон, Робин; Спревак, Марк (2017). Руководство по Тьюрингу. Oxford University Press. ISBN  978-0198747826.
2. Колмогоров А., Петровский И. и Пискунов Н. (1937) Исследование уравнения диффузии, связанного с ростом качества вещества, и его применение к биологической проблеме. Вестник Математики МГУ, 1, 1-26.
3. Р. А. Фишер, Ann. Евг. 7 (1937): 355
4. Newell, Alan C .; Уайтхед, Дж. А. (3 сентября 1969 г.). «Конечная ширина полосы, конвекция конечной амплитуды». Журнал гидромеханики. Издательство Кембриджского университета (CUP). 38 (2): 279–303. Bibcode:1969JFM .... 38..279N. Дои:10.1017 / s0022112069000176. ISSN  0022-1120.
5. Сегел, Ли А. (14 августа 1969 г.). «Удаленные боковые стенки вызывают медленную амплитудную модуляцию ячеистой конвекции». Журнал гидромеханики. Издательство Кембриджского университета (CUP). 38 (1): 203–224. Bibcode:1969JFM .... 38..203S. Дои:10.1017 / s0022112069000127. ISSN  0022-1120.
6. Зельдович Ю. Б., Франк-Каменецкий Д. А. // Acta Physicochim. 9 (1938): 341
7. Б. Х. Гилдинг и Р. Керснер, Бегущие волны в реакции нелинейной диффузионной конвекции., Биркхойзер (2004)
8. П. К. Файф, Математические аспекты реагирующих и рассеивающих систем, Спрингер (1979)
9. А. С. Михайлов, Основы синергетики I. Распределенные активные системы, Springer (1990)
10. Тьюринг, А. (14 августа 1952 г.). «Химические основы морфогенеза». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия B, Биологические науки. Королевское общество. 237 (641): 37–72. Bibcode:1952РСПТБ.237 ... 37Т. Дои:10.1098 / рстб.1952.0012. ISSN  2054-0280.
11. ФитцХью, Ричард (1961). «Импульсы и физиологические состояния в теоретических моделях нервной мембраны». Биофизический журнал. Elsevier BV. 1 (6): 445–466. Bibcode:1961BpJ ..... 1..445F. Дои:10.1016 / с0006-3495 (61) 86902-6. ISSN  0006-3495. ЧВК  1366333. PMID  19431309.
12. J. Nagumo et al., Proc. Inst. Радио Энджин. Электр. 50 (1962): 2061
13. Kopell, N .; Ховард, Л. Н. (1973). "Плоские волновые решения уравнений реакции-диффузии". Исследования по прикладной математике. Вайли. 52 (4): 291–328. Дои:10.1002 / sapm1973524291. ISSN  0022-2526.
14. Русе, Тиина; Вертхайм, Кеннет Ю. (3 января 2019 г.). "Может ли VEGFC формировать паттерны Тьюринга у эмбрионов рыбок данио?". Вестник математической биологии. 81 (4): 1201–1237. Дои:10.1007 / s11538-018-00560-2. ISSN  1522-9602. ЧВК  6397306. PMID  30607882.
15. Ванаг, Владимир К .; Эпштейн, Ирвинг Р. (24 марта 2004 г.). «Стационарные и колебательные локализованные паттерны и докритические бифуркации». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 92 (12): 128301. Дои:10.1103 / Physrevlett.92.128301. ISSN  0031-9007.
16. Лобанова, Э. С .; Атауллаханов Ф. И. (26 августа 2004 г.). «Бегущие импульсы сложной формы в реакционно-диффузионной модели». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 93 (9): 098303. Дои:10.1103 / Physrevlett.93.098303. ISSN  0031-9007.
17. Х.-Г. Purwins et al. в: Диссипативные солитоны, Конспект лекций по физике / Под ред. Н. Ахмедиев и А. Анкевич, Springer (2005)
18. Schenk, C.P .; Ор-Гиль, М .; Боде, М .; Пурвинс, Х.-Г. (12 мая 1997 г.). «Взаимодействующие импульсы в трехкомпонентных реакционно-диффузионных системах на двумерных областях». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 78 (19): 3781–3784. Дои:10.1103 / Physrevlett.78.3781. ISSN  0031-9007.
19. А. В. Лир: Диссипативные солитоны в реакционно-диффузионных системах. Механизм, динамика, взаимодействие. Том 70 серии Springer по синергетике, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN  978-3-642-31250-2
20. Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Линейный анализ устойчивости высоко- и низкоразмерных моделей для описания формирования структуры с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакторах». Журнал химической инженерии. 145 (3): 399–411. Дои:10.1016 / j.cej.2008.08.025. ISSN  1385-8947.
21. L.G. Харрисон, Кинетическая теория живого образца, Cambridge University Press (1993)
22. Х. Мейнхардт, Модели формирования биологического паттерна, Academic Press (1982)
23. Мюррей, Джеймс Д. (9 марта 2013 г.). Математическая биология. Springer Science & Business Media. С. 436–450. ISBN  978-3-662-08539-4.
24. Холмс, Э. Э .; Льюис, М. А .; Бэнкс, Дж. Э .; Вейт, Р. Р. (1994). «Уравнения с частными производными в экологии: пространственные взаимодействия и динамика населения». Экология. Вайли. 75 (1): 17–29. Дои:10.2307/1939378. ISSN  0012-9658.
25. Мюррей, Джеймс Д .; Стэнли, Э. А .; Браун, Д. Л. (22 ноября 1986 г.). «О пространственном распространении бешенства среди лисиц». Труды Лондонского королевского общества. Серия Б. Биологические науки. Королевское общество. 229 (1255): 111–150. Дои:10.1098 / rspb.1986.0078. ISSN  2053-9193.
26. ЧАПЛЕН, М. А. Дж. (1995). «ПРЕДПРИЯТИЕ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ И ЕЕ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ РОЛЬ В ИНВАЗИИ ОПУХОЛЕЙ». Журнал биологических систем. World Scientific Pub Co Pte Lt. 03 (04): 929–936. Дои:10.1142 / s0218339095000824. ISSN  0218-3390.
27. Sherratt, J. A .; Новак М.А. (22 июня 1992 г.). «Онкогены, антионкогены и иммунный ответ на рак: математическая модель». Труды Королевского общества B: биологические науки. Королевское общество. 248 (1323): 261–271. Дои:10.1098 / rspb.1992.0071. ISSN  0962-8452.
28. Р.А. Гейтенби и Э. Gawlinski, Cancer Res. 56 (1996): 5745
29. Sherratt, J. A .; Мюррей, Дж. Д. (23 июля 1990 г.). «Модели заживления эпидермальных ран». Труды Королевского общества B: биологические науки. Королевское общество. 241 (1300): 29–36. Дои:10.1098 / rspb.1990.0061. ISSN  0962-8452.
30. П. Гриндрод, Модели и волны: теория и приложения уравнений реакции-диффузии, Clarendon Press (1991)
31. Дж. Смоллер, Ударные волны и уравнения диффузии реакций, Springer (1994).
32. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. Новый подход к проблемам самоорганизации и турбулентности, Kluwer Academic Publishers (1994).
33. Ли, Кён-Джин; Маккормик, Уильям Д .; Пирсон, Джон Э .; Суинни, Гарри Л. (1994). «Экспериментальное наблюдение самовоспроизводящихся пятен в системе реакция – диффузия». Природа. Springer Nature. 369 (6477): 215–218. Дои:10.1038 / 369215a0. ISSN  0028-0836.
34. Хамик, Чад Т; Стейнбок, Оливер (6 июня 2003 г.). «Волны возбуждения в реакционно-диффузионных средах с немонотонными дисперсионными соотношениями». Новый журнал физики. IOP Publishing. 5: 58–58. Дои:10.1088/1367-2630/5/1/358. ISSN  1367-2630.
35. Rotermund, H.H .; Jakubith, S .; von Oertzen, A .; Эртл, Г. (10 июня 1991 г.). «Солитоны в поверхностной реакции». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 66 (23): 3083–3086. Дои:10.1103 / Physrevlett.66.3083. ISSN  0031-9007.
36. Грэм, Майкл Д .; Lane, Samuel L .; Лусс, Дэн (1993). «Динамика температурных импульсов на каталитическом кольце». Журнал физической химии. Американское химическое общество (ACS). 97 (29): 7564–7571. Дои:10.1021 / j100131a028. ISSN  0022-3654.
37. Ходжкин, А.Л .; Хаксли, А. Ф. (28 августа 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве». Журнал физиологии. Вайли. 117 (4): 500–544. Дои:10.1113 / jphysiol.1952.sp004764. ISSN  0022-3751. ЧВК  1392413. PMID  12991237.
38. Боде, М .; Пурвинс, Х.-Г. (1995). «Формирование закономерностей в реакционно-диффузионных системах - диссипативных солитонах в физических системах». Physica D: нелинейные явления. Elsevier BV. 86 (1–2): 53–63. Дои:10.1016 / 0167-2789 (95) 00087-к. ISSN  0167-2789.
39. Э. Шёлль, Нелинейная пространственно-временная динамика и хаос в полупроводниках, Cambridge University Press (2001)
40. S.Tang и др., Австралийский математический журнал. Сер.Б 35 (1993): 223–243.
41. Тим Хаттон, Роберт Мунафо, Эндрю Треворроу, Том Рокики, Дэн Уиллс. «Готово, кроссплатформенная реализация различных систем реакции-диффузии». https://github.com/GollyGang/ready
42. Isaacson, Samuel A .; Пескин, Чарльз С. (2006). «Включение диффузии в сложных геометриях в моделирование стохастической химической кинетики». SIAM J. Sci. Вычислить. 28 (1): 47–74. CiteSeerX  10.1.1.105.2369. Дои:10.1137/040605060.
43. Линкер, Патрик (2016). «Численные методы решения уравнения реактивной диффузии в сложных геометриях». Победитель.

внешняя ссылка

• Реакция – диффузия в модели Грея – Скотта: параметризация Пирсона. визуальная карта пространства параметров диффузии реакции Грея – Скотта.
• Диссертация по реакционно-диффузионным моделям с обзором области