Общность алгебры - Generality of algebra

в история математики, то общность алгебры была фраза, используемая Огюстен-Луи Коши для описания метода аргументации, который использовался в 18 веке математиками, такими как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж,^[1] особенно в манипулировании бесконечная серия. По словам Кетсера,^[2] общий принцип алгебры предполагал, грубо говоря, что алгебраический правила, которые выполняются для определенного класса выражений, могут быть расширены для более общего применения для более широкого класса объектов, даже если правила уже явно недействительны. Как следствие, математики 18 века считали, что они могут получить значимые результаты, применяя обычные правила алгебры и математики. исчисление которые верны для конечных расширений даже при манипулировании бесконечными расширениями. В таких произведениях, как Cours d'Analyse, Коши отказался от использования методов "общности алгебры" и искал более тщательный фундамент для математический анализ.

Пример^[2] - вывод Эйлера ряда

${\displaystyle {\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+\cdots }$

(1)

за ${\displaystyle 0<x<\pi }$. Он сначала оценил личность

${\displaystyle {\frac {1-r\cos x}{1-2r\cos x+r^{2}}}=1+r\cos x+r^{2}\cos 2x+r^{3}\cos 3x+\cdots }$

(2)

в ${\displaystyle r=1}$ чтобы получить

${\displaystyle 0={\frac {1}{2}}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots .}$

(3)

Бесконечный ряд в правой части (3) расходится для всех настоящий ${\displaystyle x}$. НО ТЕМ НЕМЕНЕЕ интеграция этот посередине дает (1), идентичность, которая известна современными методами.

Рекомендации

1. Янке, Ханс Нильс (2003), История анализа, Американское математическое общество, стр. 131, ISBN  978-0-8218-2623-2.
2. Koetsier, Teun (1991), Философия математики Лакатоша: исторический подход, Северная Голландия, стр. 206–210..