Доказательства и опровержения - Proofs and Refutations

Обложка Доказательства и опровержения к Имре Лакатош.

Доказательства и опровержения: логика математических открытий это книга 1976 года философа Имре Лакатош излагая свой взгляд на прогресс математика. Книга написана как серия Сократические диалоги с участием группы студентов, которые обсуждают доказательство Эйлерова характеристика определены для многогранник. Центральная тема заключается в том, что определения не высечены в камне, но часто их приходится исправлять в свете более поздних открытий, в частности, неудачных доказательства. Это придает математике несколько экспериментальный оттенок. В конце Введения Лакатос объясняет, что его цель - бросить вызов формализм в математике, и показать, что неформальная математика растет по логике «доказательств и опровержений».

Фон

Книга 1976 года Доказательства и опровержения основан на первых трех главах его докторской диссертации 1961 года, состоящей из четырех глав. Очерки логики математических открытий. Но его первая глава - это собственная редакция Лакатосом первой главы, которая была впервые опубликована как Доказательства и опровержения в четырех частях в 1963 г. - 4 г. Британский журнал философии науки.

Синопсис

В книге объясняются многие важные логические идеи. Например, разница между контрпример к лемма (так называемый «локальный контрпример») и контрпример к конкретной атакуемой гипотезе (в данном случае «глобальный контрпример» к характеристике Эйлера).[1]

Лакатос выступает за другой учебник, в котором используется эвристический стиль. Критикам, которые говорят, что такой учебник будет слишком длинным, он отвечает: «Ответ на этот заурядный аргумент: давайте попробуем».

Книга состоит из двух приложений. В первой Лакатош приводит примеры эвристического процесса математического открытия. Во втором он противопоставляет дедуктивистский и эвристический подходы и обеспечивает эвристический анализ некоторых концепций, «генерируемых доказательством», включая равномерное схождение, ограниченная вариация, а Каратеодори определение измеримого множества.

Ученики в книге названы в честь букв греческого алфавита.

Метод

Хотя книга написана как повествование, она направлена ​​на разработку реального метода исследования, основанного на «доказательствах и опровержениях». В Приложении I Лакатос резюмирует этот метод в виде следующего списка этапов:

  1. Примитивная гипотеза.
  2. Доказательство (грубый мысленный эксперимент или аргумент, разлагающий примитивную гипотезу на подгадания).
  3. Возникают «глобальные» контрпримеры (контрпримеры к примитивной гипотезе).
  4. Доказательство пересмотрено: обнаружена «лемма о виновности», к которой глобальный контрпример является «локальным» контрпримером. Эта лемма о виновности могла ранее оставаться «скрытой» или могла быть неправильно идентифицирована. Теперь она сделана явной и встроена в примитивную гипотезу как условие. Теорема - улучшенная гипотеза - заменяет примитивную гипотезу новой концепцией, порожденной доказательством, в качестве своей важнейшей новой особенности.

Он продолжает и дает следующие этапы, которые иногда могут иметь место:

  1. Доказательства других теорем исследуются, чтобы увидеть, встречается ли в них вновь найденная лемма или новое понятие, порожденное доказательством: это понятие может быть обнаружено на перекрестке различных доказательств и, таким образом, становится принципиально важным.
  2. Проверяются принятые до сих пор следствия первоначальной и теперь опровергнутой гипотезы.
  3. Контрпримеры превращаются в новые примеры - открываются новые области исследования.

История публикации

Книга 1976 года была переведена более чем на 15 языков мира, включая китайский, корейский, сербохорватский и турецкий, и вышла во второе издание на китайском языке в 2007 году.

Влияние на обучение

Ряд учителей математики применили метод доказательств и опровержений Лакатоша в классе при преподавании других математических тем.[2] Этот метод был применен к анализу и представлению решения задач механики в старших классах учащимся колледжей.[3]

В Математическая ассоциация Америки включил эту книгу в список книг, которые они считают «необходимыми для библиотек по математике».[4]

Примечания

  1. ^ Лакатош 1976, стр. 10–11
  2. ^ Фатих Каракус и Месут Бютюн; Изучение метода доказательств и опровержений в дошкольном педагогическом образовании, Болема т. 27 номер 45 Rio Claro, апрель 2013 г.[1]
  3. ^ "Лакатозианские монстры". Получено 18 января 2015.
  4. ^ Зацер, Уильям Дж. (Апрель 2016 г.), "Рассмотрение", Обзоры MAA

Рекомендации

  • Лакатош, Имре (1976), Доказательства и опровержения, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-29038-4 & ISBN  978-0-521-29038-8. Джон Уорролл и Эли Захар были редакторами этой посмертной книги.
  • Габор Кутроватц, Философия математики Имре Лакатоша, Университет Этвёша Лоранда, 2005.[2]