Способы сходимости (аннотированный указатель) - Modes of convergence (annotated index)

Цель этой статьи - служить аннотированный индекс различных способы конвергенции и их логические отношения. Для ознакомительной статьи см. Режимы схождения. Для быстрого ознакомления указываются простые логические взаимосвязи между различными способами конвергенции (например, если один подразумевает другой), скорее в виде формулировки, чем в прозе, а подробные описания и обсуждения зарезервированы для соответствующих статей.

---

Путеводитель по этому индексу. Чтобы избежать излишнего многословия, обратите внимание, что каждый из следующих типов объектов является частным случаем предшествующих ему типов: наборы, топологические пространства, равномерные пространства, топологические абелевы группы (ТЕГ), нормированные векторные пространства, Евклидовы пространства, а настоящий /сложный числа. Также обратите внимание, что любой метрическое пространство является однородным пространством. Ну наконец то, подзаголовки всегда указывают на особые случаи их надзаголовков.

Ниже приводится список режимов конвергенции для:

Последовательность элементов {а_п} в топологическом пространстве (Y)

• Конвергенция, или «топологическая конвергенция» для акцента (т.е. существование предела).

... в едином пространстве (U)

• Сходимость по Коши

Подразумеваемое:

- Конвергенция ${displaystyle Rightarrow }$ Сходимость по Коши

- Сходимость по Коши и сходимость подпоследовательности вместе ${displaystyle Rightarrow }$ конвергенция.

  -   U называется "полной", если сходимость по Коши (для сетей) ${displaystyle Rightarrow }$ конвергенция.

Примечание. Последовательность, демонстрирующая сходимость по Коши, называется последовательность Коши чтобы подчеркнуть, что это может не совпадать.

Серия элементов Σб_k в ТЕГЕ (грамм)

• Конвергенция (последовательности частичных сумм)
• Сходимость по Коши (последовательности частичных сумм)
• Безусловная сходимость

Подразумеваемое:

- Безусловная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ конвергенция (по определению).

... в нормированном пространстве (N)

• Абсолютная сходимость (сближение ${displaystyle sum |b_{k}|}$)

Подразумеваемое:

- Абсолютная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ Сходимость по Коши ${displaystyle Rightarrow }$ абсолютная сходимость некоторой группировки¹.

- Следовательно: N является Банах (полное), если абсолютная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ конвергенция.

- Абсолютное схождение и схождение вместе ${displaystyle Rightarrow }$ безусловная сходимость.

- Безусловная сходимость ${displaystyle ot Rightarrow }$ абсолютная сходимость, даже если N Банах.

- Если N является евклидовым пространством, то безусловная сходимость ${displaystyle equiv }$ абсолютная сходимость.

¹ Примечание: «группировка» относится к серии, полученной путем группирования (но не переупорядочивания) терминов исходной серии. Таким образом, группировка ряда соответствует подпоследовательности его частичных сумм.

Последовательность функций {ж_п} из набора (S) в топологическое пространство (Y)

• Поточечная сходимость

... из набора (S) в однородное пространство (U)

• Равномерная сходимость
• Поточечная сходимость по Коши
• Равномерная сходимость по Коши

Последствия - это случаи более ранних, за исключением:

- Равномерное схождение ${displaystyle Rightarrow }$ как поточечная, так и равномерная сходимость по Коши.

- Равномерная сходимость по Коши и поточечная сходимость подпоследовательности ${displaystyle Rightarrow }$ равномерная сходимость.

... из топологического пространства (Икс) в однородное пространство (U)

Для многих «глобальных» способов конвергенции существуют соответствующие понятия а) "местный" и б) "компактная" сходимость, которые задаются требованием сходимости а) в некоторой окрестности каждой точки, или б) на всех компактных подмножествах Икс. Примеры:

• Локальная равномерная сходимость (т.е. равномерная сходимость в окрестности каждой точки)
• Компактная (равномерная) сходимость (т.е. равномерная сходимость на всех компактных подмножествах)
• другие примеры этого шаблона ниже.

Подразумеваемое:

- «Глобальные» режимы сходимости подразумевают соответствующие «локальные» и «компактные» режимы сходимости. Например.:

Равномерная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ как локальная равномерная сходимость, так и компактная (равномерная) сходимость.

- «Локальные» режимы сходимости обычно подразумевают «компактные» режимы сходимости. Например.,

Локальная равномерная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ компактная (равномерная) сходимость.

- Если ${displaystyle X}$ локально компактно, обратное к такому имеет тенденцию выполняться:

Локальная равномерная сходимость ${displaystyle equiv }$ компактная (равномерная) сходимость.

... от пространства меры (S, μ) к комплексным числам (C)

• Почти везде конвергенция
• Почти равномерная сходимость
• L^п конвергенция
• Сходимость по мере
• Конвергенция в распределении

Подразумеваемое:

- Поточечная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ почти везде сведения.

- Равномерное схождение ${displaystyle Rightarrow }$ почти равномерная сходимость.

- Практически везде конвергенция ${displaystyle Rightarrow }$ сходимость по мере. (В пространстве с конечной мерой)

- Почти равномерное схождение ${displaystyle Rightarrow }$ сходимость по мере.

- L^п конвергенция ${displaystyle Rightarrow }$ сходимость по мере.

- Сходимость по мере ${displaystyle Rightarrow }$ сходимость по распределению, если μ - вероятностная мера и функции интегрируемы.

Серия функций Σграмм_k из набора (S) в ТЕГ (грамм)

• Поточечная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Равномерная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Поточечная сходимость по Коши (последовательности частичных сумм)
• Равномерная сходимость по Коши (последовательности частичных сумм)
• Безусловная поточечная сходимость
• Безусловная равномерная сходимость

Последствия - все случаи более ранних.

... из набора (S) в нормированное пространство (N)

Как правило, замена «сходимости» на «абсолютную сходимость» означает, что имеется в виду сходимость ряда неотрицательных функций. ${displaystyle Sigma |g_{k}|}$ на месте ${displaystyle Sigma g_{k}}$.

• Поточечная абсолютная сходимость (поточечная сходимость ${displaystyle Sigma |g_{k}|}$)
• Равномерная абсолютная сходимость (равномерное схождение ${displaystyle Sigma |g_{k}|}$)
• Нормальная конвергенция (сходимость ряда единые нормы ${displaystyle Sigma ||g_{k}||_{u}}$)

Последствия - это случаи более ранних, за исключением:

- Нормальная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ равномерная абсолютная сходимость

... из топологического пространства (Икс) в ТЕГ (грамм)

• Локальная равномерная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Компактная (равномерная) сходимость (последовательности частичных сумм)

Последствия - все случаи более ранних.

... из топологического пространства (Икс) в нормированное пространство (N)

• Локальная равномерная абсолютная сходимость
• Компактная (равномерная) абсолютная сходимость
• Локальная нормальная конвергенция
• Компактная нормальная сходимость

Последствия (в основном случаи более ранних):

- Равномерная абсолютная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ как локальная равномерная абсолютная сходимость, так и компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

Нормальная конвергенция ${displaystyle Rightarrow }$ как локальная нормальная сходимость, так и компактная нормальная сходимость.

- Локальная нормальная конвергенция ${displaystyle Rightarrow }$ локальная равномерная абсолютная сходимость.

Компактная нормальная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

- Локальная равномерная абсолютная сходимость ${displaystyle Rightarrow }$ компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

Локальная нормальная конвергенция ${displaystyle Rightarrow }$ компактная нормальная сходимость

- Если Икс локально компактно:

Локальная равномерная абсолютная сходимость ${displaystyle equiv }$ компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

Локальная нормальная конвергенция ${displaystyle equiv }$ компактная нормальная сходимость

Смотрите также

• Предел последовательности
• Конвергенция мер
• Сходимость по мере
• Сходимость случайных величин:
  • в распределении
  • по вероятности
  • почти уверен
  • Конечно
  • в среднем