Теорема Арцела – Асколи - Arzelà–Ascoli theorem

В Теорема Арцела – Асколи является фундаментальным результатом математический анализ давая необходимые и достаточные условия чтобы решить, каждая ли последовательность данного семейства настоящий -ценный непрерывные функции определено на закрыто и ограниченный интервал имеет равномерно сходящийся подпоследовательность. Главное условие - это равностепенная непрерывность семейства функций. Теорема лежит в основе многих математических доказательств, в том числе доказательства Теорема существования Пеано в теории обыкновенные дифференциальные уравнения, Теорема Монтеля в комплексный анализ, а Теорема Питера – Вейля в гармонический анализ и различные результаты о компактности интегральных операторов.

Понятие равностепенной непрерывности было введено в конце 19 века итальянскими математиками. Чезаре Арсела и Джулио Асколи. Слабая форма теоремы была доказана Асколи (1883–1884), установивший достаточное условие компактности, и Арзела (1895), который установил необходимое условие и дал первое четкое представление результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906), к множествам вещественнозначных непрерывных функций с областью определения a компактный метрическое пространство (Данфорд и Шварц 1958, п. 382). Современные формулировки теоремы допускают компактность области Хаусдорф а диапазон - произвольное метрическое пространство. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для семейства функций из компактно генерируемый Хаусдорфово пространство в однородное пространство быть компактным в компактно-открытая топология; увидеть Келли (1991, стр. 234).

Заявление и первые последствия

По определению последовательность { ж_п }_п∈N из непрерывные функции на интервале я = [а, б] является равномерно ограниченный если есть номер M такой, что

${\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leq M}$

для каждой функции  ж_п  принадлежащих последовательности, и каждый Икс ∈ [а, б]. (Здесь, M должен быть независимым от п и Икс.)

Последовательность называется равномерно равностепенно непрерывный если для каждого ε > 0, существует δ > 0 такой, что

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }$

в любое время |Икс − y| < δ  для всех функций  ж_п  в последовательности. (Здесь, δ может зависеть от ε, но нет Икс, y или п.)

Один из вариантов теоремы можно сформулировать следующим образом:

Рассмотрим последовательность вещественнозначных непрерывных функций { ж_п }_{п ∈ N} определен на замкнутом и ограниченном интервал [а, б] из реальная линия. Если эта последовательность равномерно ограниченный и равномерно равностепенный, то существует подпоследовательность { ж_пk }_{k ∈ N} это сходится равномерно.

Обратное также верно в том смысле, что если каждая подпоследовательность { ж_п } сам имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, то { ж_п } равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство —

Доказательство по существу основано на аргумент диагонализации. Самый простой случай - это вещественные функции на замкнутом и ограниченном интервале:

• Позволять я = [а, б] ⊂ р - замкнутый и ограниченный интервал. Если F бесконечный набор функций  ж  : я → р которое равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, то существует последовательность ж_п элементов F такой, что ж_п сходится равномерно на я.

Исправить перечисление {Икс_я}_{я ∈N} из рациональное число в я. поскольку F равномерно ограничено, множество точек {ж(Икс₁)}_ж∈F ограничена, а значит Теорема Больцано – Вейерштрасса, существует последовательность {ж_п1} различных функций в F так что {ж_п1(Икс₁)} сходится. Повторяя те же рассуждения для последовательности точек {ж_п1(Икс₂)} существует подпоследовательность {ж_п2} из {ж_п1} такие, что {ж_п2(Икс₂)} сходится.

По индукции этот процесс может быть продолжен бесконечно, поэтому существует цепочка подпоследовательностей

${\displaystyle \left\{f_{n_{1}}\right\}\supseteq \left\{f_{n_{2}}\right\}\supseteq \cdots }$

так что для каждого k = 1, 2, 3, ..., подпоследовательность {ж_пk} сходится в Икс₁, ..., Икс_k. Теперь сформируем диагональную подпоследовательность {ж} чей мый срок ж_м это м-й срок в мth подпоследовательность {ж_пм}. По конструкции, ж_м сходится на каждом рациональная точка из я.

Поэтому при любом ε > 0 и рациональный Икс_k в я, есть целое число N = N(ε, Икс_k) такой, что

${\displaystyle |f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|<{\tfrac {\varepsilon }{3}},\qquad n,m\geq N.}$

Поскольку семья F равностепенно непрерывно, для этого фиксированного ε и для каждого Икс в я, есть открытый интервал U_Икс содержащий Икс такой, что

${\displaystyle |f(s)-f(t)|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$

для всех ж ∈ F и все s, т в я такой, что s, т ∈ U_Икс.

Сборник интервалов U_Икс, Икс ∈ я, образует открытая крышка из я. поскольку я является компактный, посредством Теорема Гейне-Бореля это покрытие допускает конечное подпокрытие U₁, ..., U_J. Существует целое число K такой, что каждый открытый интервал U_j, 1 ≤ j ≤ J, содержит рациональную Икс_k с участием 1 ≤ k ≤ K. Наконец, для любого т ∈ я, Существуют j и k так что т и Икс_k принадлежат к тому же интервалу U_j. Для этого выбора k,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|&\leq \left|f_{n}(t)-f_{n}(x_{k})\right|+|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|+|f_{m}(x_{k})-f_{m}(t)|\\&<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\end{aligned}}}$

для всех п, м > N = max {N(ε, Икс₁), ..., N(ε, Икс_K)}. Следовательно, последовательность {ж_п} является равномерно Коши, и поэтому сходится к непрерывной функции, как заявлено. Это завершает доказательство.

Непосредственные примеры

Дифференцируемые функции

Условиям теоремы удовлетворяет равномерно ограниченная последовательность { ж_п } из дифференцируемый функции с равномерно ограниченными производными. Действительно, из равномерной ограниченности производных следует теорема о среднем значении это для всех Икс и y,

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|,}$

где K это супремум производных функций в последовательности и не зависит от п. Итак, учитывая ε > 0, позволять δ = ε/2K для проверки определения равностепенной непрерывности последовательности. Это доказывает следующее следствие.

• Позволять {ж_п} - равномерно ограниченная последовательность действительнозначных дифференцируемых функций на [а, б] такие, что производные {ж_п′} Равномерно ограничены. Тогда существует подпоследовательность {ж_пk} который сходится равномерно на [а, б].

Если к тому же последовательность вторых производных также равномерно ограничена, то и производные сходятся равномерно (с точностью до подпоследовательности) и т. Д. Другое обобщение справедливо для непрерывно дифференцируемые функции. Предположим, что функции  ж_п  непрерывно дифференцируемы с производными f ′_п. Предположим, что ж_п′ Равномерно равностепенно непрерывны и равномерно ограничены, и что последовательность { ж_п }, поточечно ограничено (или ограничено только в одной точке). Тогда существует подпоследовательность { ж_п } равномерно сходящаяся к непрерывно дифференцируемой функции.

Аргумент диагонализации может также использоваться, чтобы показать, что семейство бесконечно дифференцируемых функций, производные каждого порядка которых равномерно ограничены, имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, все производные которой также сходятся равномерно. Это особенно важно в теории распределений.

Непрерывные функции Липшица и Гёльдера

Приведенный выше аргумент доказывает немного больше, а именно:

• Если { ж_п } - равномерно ограниченная последовательность действительных функций на [а, б] так что каждый ж является Липшицева непрерывная с той же постоянной Липшица K:

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|}$

для всех Икс, y ∈ [а, б] и все  ж_п , то существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на [а, б].

Предельная функция также липшицева с тем же значением K для постоянной Липшица. Небольшая доработка

• Множество F функций  ж  на [а, б] который равномерно ограничен и удовлетворяет Условие Гёльдера порядка α, 0 < α ≤ 1, с фиксированной постоянной M,

${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|x-y|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]}$

относительно компактен в C ([а, б]). В частности, единичный шар Пространство Гёльдера C^0,α([а, б]) компактна в C ([а, б]).

В более общем случае это верно для скалярных функций на компактном метрическом пространстве Икс удовлетворяющие условию Гёльдера относительно метрики на Икс.

Обобщения

Евклидовы пространства

Теорема Арцела – Асколи верна, в более общем смысле, если функции  ж_п  принимать ценности в d-размерный Евклидово пространство р^d, и доказательство очень простое: просто примените р-значная версия теоремы Арцела – Асколи d раз, чтобы выделить подпоследовательность, которая равномерно сходится по первой координате, затем подпоследовательность, которая равномерно сходится по первым двум координатам, и так далее. Приведенные выше примеры легко обобщаются на случай функций со значениями в евклидовом пространстве.

Компактные метрические пространства и компактные хаусдорфовы пространства

Определения ограниченности и равностепенной непрерывности можно обобщить на случай произвольного компактного метрические пространства и, в более общем плане, компактный Хаусдорфовы пространства. Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство, и пусть C(Икс) - пространство вещественнозначных непрерывные функции на Икс. Подмножество F ⊂ C(Икс) как говорят равностепенный если для каждого Икс ∈ Икс и каждый ε > 0, Икс есть район U_Икс такой, что

${\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon .}$

Множество F ⊂ C(Икс, р) как говорят точечно ограниченный если для каждого Икс ∈ Икс,

${\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .}$

Версия теоремы верна и в пространстве C(Икс) вещественнозначных непрерывных функций на компактный Пространство Хаусдорфа Икс (Данфорд и Шварц 1958, §IV.6.7):

Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство. Тогда подмножество F из C(Икс) является относительно компактный в топологии, индуцированной единая норма если и только если это равностепенный и поточечно ограниченный.

Теорема Арцела – Асколи, таким образом, является фундаментальным результатом в изучении алгебры непрерывные функции на компактном хаусдорфовом пространстве.

Возможны различные обобщения приведенного выше результата. Например, функции могут принимать значения в метрическом пространстве или (Хаусдорфа) топологическое векторное пространство с минимальными изменениями в инструкции (см., например, Келли и Намиока (1982), §8), Келли (1991, Глава 7)):

Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство и Y метрическое пространство. потом F ⊂ C(Икс, Y) компактна в компактно-открытая топология если и только если это равностепенный поточечно относительно компактный и закрыто.

Точечная относительная компактность означает, что для каждого Икс ∈ Икс, набор F_Икс = { ж (Икс) :  ж  ∈ F} относительно компактен в Y.

Приведенное доказательство может быть обобщено таким образом, чтобы не полагаться на разделимость домена. На компактное хаусдорфово пространство Икс, например, равностепенная непрерывность используется для извлечения для каждого ε = 1 /п, конечное открытое покрытие Икс так что колебание любой функции из семейства меньше ε на каждом открытом множестве в покрытии. Тогда роль рациональных чисел может играть набор точек, взятых из каждого открытого множества в каждом из счетного числа покрытий, полученных таким образом, и основная часть доказательства проходит точно так же, как указано выше.

Непрерывные функции

Решения численных схем для параболических уравнений обычно кусочно-постоянны, а потому не являются непрерывными во времени. Поскольку их прыжки, тем не менее, становятся небольшими по мере того, как временной шаг ${\displaystyle 0}$, можно установить свойства равномерной во времени сходимости, используя обобщение классической теоремы Арцела-Асколи на прерывистые функции (см., например, Дрониу и Эймар (2016), Приложение)).

Обозначим через ${\displaystyle S(X,Y)}$ пространство функций из ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle Y}$ наделенный единой метрикой

${\displaystyle d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).}$

Тогда имеем следующее:

Позволять ${\displaystyle X}$ - компактное метрическое пространство и ${\displaystyle Y}$ полное метрическое пространство. Позволять ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ быть последовательностью в ${\displaystyle S(X,Y)}$ такая, что существует функция ${\displaystyle \omega :X\times X\to [0,\infty ]}$ и последовательность ${\displaystyle \{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )}$ удовлетворение

${\displaystyle \lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,}$

${\displaystyle \forall (t,t')\in K\times K,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.}$

Предположим также, что для всех ${\displaystyle t\in K}$, ${\displaystyle \{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}}$ относительно компактен в ${\displaystyle Y}$. потом ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ относительно компактен в ${\displaystyle S(X,Y)}$, и любой предел ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ в этом пространстве находится в ${\displaystyle C(X,Y)}$.

Необходимость

В то время как большинство формулировок теоремы Арзела – Асколи утверждают достаточные условия для (относительно) компактности семейства функций в некоторой топологии, эти условия обычно также необходимы. Например, если набор F компактна в C(Икс), банахово пространство вещественнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве относительно его равномерной нормы, то оно ограничено в равномерной норме на C(Икс) и, в частности, поточечно ограничен. Позволять N(ε, U) - множество всех функций из F чей колебание над открытым подмножеством U ⊂ Икс меньше чем ε:

${\displaystyle N(\varepsilon ,U)=\{f|\operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.}$

За фиксированный Икс∈Икс и ε, наборы N(ε, U) образуют открытое покрытие F так как U варьируется во всех открытых кварталах Икс. Выбор конечного подпокрытия обеспечивает равностепенную непрерывность.

Дальнейшие примеры

• Каждой функции г это п-интегрируемый на [0, 1], с участием 1 < п ≤ ∞, свяжем функцию г определено на [0, 1] от

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Позволять F быть набором функций г соответствующие функциям г в единичном шаре пространства L^п([0, 1]). Если q гёльдеровское сопряжение п, определяется 1/п + 1/q = 1, тогда Неравенство Гёльдера означает, что все функции в F удовлетворяют условию Гельдера с α = 1/q и постоянный M = 1.

Следует, что F компактна в C([0, 1]). Это означает, что соответствие г → г определяет компактный линейный оператор Т между Банаховы пространства L^п([0, 1]) и C([0, 1]). Составление с введением C([0, 1]) в L^п([0, 1]), видно, что Т действует компактно из L^п([0, 1]) себе. Дело п = 2 можно рассматривать как простой пример того факта, что инъекция из Соболевское пространство ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ в L²(Ом), для Ω ограниченное открытое множество в р^d, компактный.

• Когда Т является компактным линейным оператором из банахова пространства Икс в банахово пространство Y, это транспонировать Т^∗ компактна из (непрерывной) двойной Y^∗ к Икс^∗. Это можно проверить с помощью теоремы Арцела – Асколи.

Действительно, изображение Т(B) замкнутого единичного шара B из Икс содержится в компактном подмножестве K из Y. Единичный шар B^∗ из Y^∗ определяет, ограничивая от Y к K, множество F (линейных) непрерывных функций на K это ограничено и равностепенно непрерывно. По Арцела-Асколи, для каждой последовательности {y^∗
_п}, в B^∗, существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на K, а это означает, что изображение ${\displaystyle T^{*}(y_{n_{k}}^{*})}$ этой подпоследовательности является Коши в Икс^∗.

• Когда  ж  является голоморфный на открытом диске D₁ = B(z₀, р), с модулем, ограниченным M, то (например, Формула Коши ) его производная  ж ′ имеет модуль, ограниченный 2M/р в меньшем диске D₂ = B(z₀, р/2). Если семейство голоморфных функций на D₁ ограничен M на D₁, следует, что семья F ограничений на D₂ равностепенно непрерывно на D₂. Следовательно, последовательность, сходящаяся равномерно на D₂ можно извлечь. Это первый шаг в направлении Теорема Монтеля.

• Позволять ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ быть наделенным равномерной метрикой ${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.}$ Предположить, что ${\displaystyle u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ представляет собой последовательность решений некоторого уравнение в частных производных (PDE), где PDE обеспечивает следующие априорные оценки: ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ равностепенно непрерывно для всех ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ справедливо для всех ${\displaystyle t}$, и для всех ${\displaystyle (t,t')\in [0,T]\times [0,T]}$ и все ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}$ достаточно мал, когда ${\displaystyle |t-t'|}$ достаточно мала. Затем по Теорема Фреше – Колмогорова., можно сделать вывод, что ${\displaystyle \{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}}$ относительно компактен в ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$. Следовательно, с помощью (обобщения) теоремы Арцела – Асколи мы можем заключить, что ${\displaystyle \{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ относительно компактен в ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).}$

Смотрите также

• Теорема выбора Хелли
• Теорема Фреше – Колмогорова.

использованная литература

• Арсела, Чезаре (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Болонья Cl. Sci. Fis. Мат., 5 (5): 55–74.
• Арсела, Чезаре (1882–1883 ​​гг.), "Работа во всей серии функций", Ренд. Dell 'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159.
• Асколи, Г. (1883–1884), «Le curve limite di una varietà data di curve», Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Мат. Nat., 18 (3): 521–586.
• Бурбаки, Николас (1998), Общая топология. Главы 5–10, Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-64563-4, Г-Н  1726872.
• Дьедонне, Жан (1988), Основы современного анализа, Academic Press, ISBN  978-0-12-215507-9
• Дрониу, Жером; Эймар, Роберт (2016), "Равномерная во времени сходимость численных методов для нелинейных вырожденных параболических уравнений", Нумер. Математика., 132 (4): 721–766.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том 1, Wiley-Interscience.
• Фреше, Морис (1906), "Sur quelques points du Calcul fonctionnel" (PDF), Ренд. Circ. Мат. Палермо, 22: 1–74, Дои:10.1007 / BF03018603, HDL:10338.dmlcz / 100655.
• Теорема Арзела-Асколи в энциклопедии математики
• Келли, Дж. Л. (1991), Общая топология, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90125-1
• Kelley, J. L .; Намиока, И. (1982), Линейные топологические пространства, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90169-5
• Рудин, Вальтер (1976), Принципы математического анализа, Макгроу-Хилл, ISBN  978-0-07-054235-8

В этой статье использован материал из теоремы Асколи – Арцела о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.