Колебание (математика) - Oscillation (mathematics) - Wikipedia

Колебание последовательности (показано синим) - это разница между верхним и нижним пределом последовательности.

В математика, то колебание из функция или последовательность это число, которое количественно определяет, насколько эта последовательность или функция различаются между своими крайние значения по мере приближения к бесконечности или точке. Как и в случае с пределы, есть несколько определений, которые приводят интуитивное понятие в форму, подходящую для математической обработки: колебание последовательности действительные числа, колебание функция с действительным знаком в точке, а колебание функции на интервал (или же открытый набор ).

Определения

Колебание последовательности

Позволять ${\displaystyle (a_{n})}$ быть последовательностью действительных чисел. Колебание ${\displaystyle \omega (a_{n})}$ этой последовательности определяется как разность (возможно, бесконечная) между ограничивать высшее и ограничивать низшее из ${\displaystyle (a_{n})}$:

${\displaystyle \omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}}$.

Колебание равно нулю тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Не определено, если ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$ и ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }}$ оба равны + ∞ или оба равны −∞, то есть если последовательность стремится к + ∞ или −∞.

Колебание функции на открытом множестве

Позволять ${\displaystyle f}$ быть действительной функцией действительной переменной. Колебание ${\displaystyle f}$ на интервале ${\displaystyle I}$ в его области - разница между супремум и инфимум из ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).}$

В более общем смысле, если ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ является функцией на топологическое пространство ${\displaystyle X}$ (например, метрическое пространство ), то колебание ${\displaystyle f}$ на открытый набор ${\displaystyle U}$ является

${\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}$

Колебание функции в точке

Колебание функции ${\displaystyle f}$ действительной переменной в точке ${\displaystyle x_{0}}$ определяется как предел как ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ колебания ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \epsilon }$-окрестности ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).}$

Это то же самое, что и разница между верхним пределом и нижним пределом функции при ${\displaystyle x_{0}}$, при условии смысл ${\displaystyle x_{0}}$ не исключен из лимитов.

В более общем смысле, если ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ является действительной функцией на метрическое пространство, то колебание

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).}$

Примеры

грех (1 /Икс) ( синусоида тополога ) имеет колебание 2 при Икс = 0 и 0 в других местах.

• 1/Икс имеет колебание ∞ при Икс = 0, и колебание 0 при других конечных Икс и при −∞ и + ∞.
• грех (1 /Икс) ( синусоида тополога ) имеет колебание 2 при Икс = 0 и 0 в других местах.
• грех Икс имеет колебание 0 на каждой конечной Икс, и 2 в точках −∞ и + ∞.
• Последовательность 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... имеет колебание 2.

В последнем примере последовательность такова: периодический, и любая последовательность, которая является периодической, но не постоянной, будет иметь ненулевые колебания. Однако ненулевое колебание обычно не указывает на периодичность.

Геометрически график колебательной функции действительных чисел следует некоторому пути в ху-самолет, не заселяя все более мелкие регионы. В хорошо воспитанный случаи, когда путь может выглядеть как цикл, возвращающийся сам по себе, то есть периодическое поведение; в худшем случае - совершенно нерегулярное движение, охватывающее весь регион.

Непрерывность

Колебание можно использовать для определения непрерывность функции, и легко эквивалентен обычному ε-δ определение (в случае функций, определенных всюду на вещественной прямой): функция непрерывна в точке Икс₀ тогда и только тогда, когда колебание равно нулю;^[1] в символах, ${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$ Преимущество этого определения в том, что оно количественно оценивает прерывность: колебание дает, как много функция разрывная в точке.

Например, в классификация несплошностей:

• в удаляемом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
• в скачкообразном разрыве размер скачка - это колебание (при условии, что значение в точка лежит между этими пределами с двух сторон);
• в существенном разрыве колебание измеряет несуществование предела.

Это определение полезно в описательная теория множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек - непрерывные точки являются пересечением множеств, где колебание меньше, чем ε (отсюда грамм_δ набор ) - и дает очень быстрое доказательство одного направления Условие интегрируемости Лебега.^[2]

Колебание эквивалентно ε-δ определение путем простой перестановки и использования предела (лим суп, lim inf ) для определения колебаний: если (в заданной точке) для заданного ε₀ здесь нет δ что удовлетворяет ε-δ определения, то колебание не менее ε₀, и наоборот, если для каждого ε есть желаемый δ, колебание равно 0. Определение колебания может быть естественным образом обобщено на отображение топологического пространства в метрическое пространство.

Обобщения

В более общем смысле, если ж : Икс → Y является функцией от топологическое пространство Икс в метрическое пространство Y, то колебание ж определяется на каждом Икс ∈ Икс к

${\displaystyle \omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}}$

Смотрите также

• Волновое уравнение
• Огибающая волны
• Серия Гранди
• Ограниченное среднее колебание

Рекомендации

1. Введение в реальный анализ, обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, теорема 3.5.2, с. 172
2. Введение в реальный анализ, обновлено: апрель 2010 г., Уильям Ф. Тренч, 3.5 «Более продвинутый взгляд на существование собственного интеграла Римана», стр. 171–177

• Хьюитт и Стромберг (1965). Реальный и абстрактный анализ. Springer-Verlag. п.78.
• Oxtoby, J (1996). Мера и категория (4-е изд.). Springer-Verlag. С. 31–35. ISBN  978-0-387-90508-2.
• Пью, К. С. (2002). Реальный математический анализ. Нью-Йорк: Спрингер. стр.164–165. ISBN  0-387-95297-7.