Вложение Cocompact - Cocompact embedding

В математике кокомпактные вложения находятся вложения из нормированные векторные пространства обладающий определенным свойством, аналогичным, но более слабым, чем компактность. Cocompactness использовалась в математический анализ с 1980-х годов, без каких-либо имен ^[1](Лемма 6),^[2](Лемма 2.5),^[3](Теорема 1), или специальными именами, такими как лемма об исчезновении или же обратное вложение.^[4]

Свойство кокомпактности позволяет проверять сходимость последовательностей на основе трансляционной или масштабной инвариантности в задаче и обычно рассматривается в контексте Соболевские пространства. Период, термин кокомпактное вложение вдохновлен понятием кокомпактное топологическое пространство.

Определения

Позволять ${\displaystyle G}$ - группа изометрий на нормированном векторном пространстве ${\displaystyle X}$. Один говорит, что последовательность ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ сходится к ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G}$-слабо, если для каждой последовательности ${\displaystyle (g_{k})\subset G}$, последовательность ${\displaystyle g_{k}(x_{k}-x)}$ слабо сходится к нулю.

А непрерывное вложение двух нормированных векторных пространств, ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ называется компактный относительно группы изометрий ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$ если каждый ${\displaystyle G}$-слабо сходящаяся последовательность ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ сходится в ${\displaystyle Y}$.^[5]

Элементарный пример: компактность для ${\displaystyle \ell ^{\infty }\hookrightarrow \ell ^{\infty }}$

Вложение пространства ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {Z} )}$ в себя кокомпактна относительно группы ${\displaystyle G}$ смен ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z} }$. Действительно, если ${\displaystyle (x_{n})^{(k)}}$, ${\displaystyle k=1,2,\dots }$, представляет собой последовательность ${\displaystyle G}$-слабо сходится к нулю, то ${\displaystyle x_{n_{k}}^{(k)}\to 0}$ на любой выбор ${\displaystyle n_{k}}$. В частности, можно выбрать ${\displaystyle n_{k}}$ такой, что${\displaystyle 2|x_{n_{k}}^{(k)}|\geq \sup _{n}|x_{n}^{(k)}|=\|(x_{n})^{(k)}\|_{\infty }}$, откуда следует, что ${\displaystyle (x_{n})^{(k)}\to 0}$в ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$.

Некоторые известные кокомпактные, но не компактные вложения

• ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )\hookrightarrow \ell ^{q}(\mathbb {Z} )}$, ${\displaystyle q<p}$, относительно действия переводов на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$:^[6] ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle H^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb {R} ^{N})}$, ${\displaystyle p<q<{\frac {pN}{N-p}}}$, ${\displaystyle N>p}$, относительно действий переводов на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$.^[1]
• ${\displaystyle {\dot {H}}^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{\frac {pN}{N-p}}(\mathbb {R} ^{N})}$, ${\displaystyle N>p}$, относительно группы продуктов действий расширений и переводов на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$.^[2][3][6]
• Вложения пространства Соболева в Дело Мозера – Трудингера в соответствующий Пространство Орлича.^[7]
• Вложения пространств Бесова и Трибеля – Лизоркина.^[8]
• Вложения Пространства Стрихарца.^[4]

Рекомендации

1. Э. Либ, О низшем собственном значении лапласиана для пересечения двух областей. Изобретать. Математика. 74 (1983), 441–448.
2. В. Бенчи, Г. Керами, Существование положительных решений уравнения −Δu + a (x) u = u (^{N + 2) / (N - 2)} в R^N, J. Funct. Анальный. 88 (1990), нет. 1, 90–117.
3. С. СОЛИМИНИ, Замечание о свойствах типа компактности относительно норм Лоренца ограниченных подмножеств пространства Соболева. Анна. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 12 (1995), 319–337.
4. Теренс Тао, Псевдоконформная компактификация нелинейного уравнения Шредингера и приложения, New York J. Math. 15 (2009), 265–282.
5. К. Тинтарев, Анализ концентрации и компактность, в: Адимури, К. Сандип, И. Шиндлер, К. Тинтарев, редакторы, Семинар по анализу концентрации и применению в PDE ICTS, Бангалор, январь 2012 г. ISBN  978-3-0348-0372-4, Биркхойзер, Тенденции в математике (2013), 117–141.
6. С. Жаффард. Анализ неплотности критических вложений Соболева. J. Funct. Анальный. 161 (1999).
7. Адимурти, К. Тинтарев, О компактности в неравенстве Трудингера – Мозера, Annali SNS, Пиза, Cl. Sci. (5) Vol. XIII (2014), 1–18.
8. Х. Бахури, А. Коэн, Г. Кох, Общее профильное разложение на основе вейвлетов в критическом вложении функциональных пространств, Confluentes Matematicae 3 (2011), 387–411.