Пространство Орлича - Orlicz space - Wikipedia

В математический анализ, и особенно в настоящий и гармонический анализ, Пространство Орлича это тип функционального пространства, которое обобщает L^п пробелы. Словно L^п пространства, они Банаховы пространства. Пространства названы в честь Владислав Орлич, который первым определил их в 1932 году.

Кроме L^п Пространства, множество функциональных пространств, естественно возникающих при анализе, являются пространствами Орлича. Одно такое пространство L бревно⁺ L, возникающий при изучении Максимальные функции Харди – Литтлвуда, состоит из измеримых функций ж такой, что интеграл

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\log ^{+}|f(x)|\,dx<\infty .}$

Здесь журнал⁺ это положительная часть логарифма. Также в класс пространств Орлича входят многие из наиболее важных Соболевские пространства.

Терминология

Эти пространства подавляющее большинство математиков и все монографии, изучающие их, называют пространствами Орлича, поскольку Владислав Орлич был первым, кто представил их в 1932 году.^[1] Небольшое меньшинство математиков, в том числе Войбор Войчинский, Эдвин Хьюитт и Владимир Мазя - включить имя Зигмунт Бирнбаум также, ссылаясь на его более раннюю совместную работу с Владислав Орлич. Однако в статье Бирнбаума – Орлича пространство Орлича не вводится ни явно, ни неявно, поэтому это соглашение об именах неверно. По тем же причинам это соглашение открыто критиковалось другим математиком (и знатоком истории пространств Орлича), Лехом Малигранда.^[2] Орлич был подтвержден как человек, который представил пространства Орлича еще Стефан Банах в его монографии 1932 года.^[3]

Формальное определение

Предположим, что μ является σ-конечная мера на съемочной площадке Икс, а Φ: [0, ∞) → [0, ∞) - Функция Юнга, т.е. выпуклая функция такой, что

${\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to \infty ,\quad {\text{as }}x\to \infty ,}$

${\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to 0,\quad {\text{as }}x\to 0.}$

Позволять ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$ - множество измеримых функций ж : Икс → р такой, что интеграл

${\displaystyle \int _{X}\Phi (|f|)\,d\mu }$

конечно, где, как обычно, согласованные функции почти всюду определены.

Этот не может быть векторное пространство (т.е. оно может не замкнуться при скалярном умножении). В векторное пространство функций, охватываемых ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$ пространство Орлича, обозначаемое ${\displaystyle L_{\Phi }}$.

Определить норму на ${\displaystyle L_{\Phi }}$, пусть Ψ - дополнение Юнга к Φ; то есть,

${\displaystyle \Psi (x)=\int _{0}^{x}(\Phi ')^{-1}(t)\,dt.}$

Обратите внимание, что Неравенство Юнга для продуктов держит:

${\displaystyle ab\leq \Phi (a)+\Psi (b).}$

Тогда норма определяется как

${\displaystyle \|f\|_{\Phi }=\sup \left\{\|fg\|_{1}\mid \int \Psi \circ |g|\,d\mu \leq 1\right\}.}$

Кроме того, пространство ${\displaystyle L_{\Phi }}$ есть в точности пространство измеримых функций, для которых эта норма конечна.

Эквивалентная норма (Рао и Рен 1991, §3.3), называемая нормой Люксембурга, определена на L_Φ к

${\displaystyle \|f\|'_{\Phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \int _{X}\Phi (|f|/k)\,d\mu \leq 1\right\},}$

и аналогично L_Φ(μ) - пространство всех измеримых функций, для которых эта норма конечна.

Пример

Вот пример, где ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$ не является векторным пространством и строго меньше, чем ${\displaystyle L_{\Phi }}$.Предположим, что Икс - открытый единичный интервал (0,1), Φ (Икс) = ехр (Икс) – 1 – Икс, и ж(Икс) = журнал (Икс). потом аф находится в космосе ${\displaystyle L_{\Phi }}$ но есть только в комплекте ${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$ если |а| < 1.

Характеристики

• Пространства Орлича обобщают L^п пробелы (для ${\displaystyle 1<p<\infty }$) в том смысле, что если ${\displaystyle \varphi (t)=t^{p}}$, тогда ${\displaystyle \|u\|_{L^{\varphi }(X)}=\|u\|_{L^{p}(X)}}$, так ${\displaystyle L^{\varphi }(X)=L^{p}(X)}$.
• Пространство Орлича ${\displaystyle L^{\varphi }(X)}$ это Банахово пространство - а полный нормированный векторное пространство.

Связь с пространствами Соболева

Определенный Соболевские пространства вложены в пространства Орлича: для ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ открыто и ограниченный с Граница Липшица ${\displaystyle \partial X}$,

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(X)\subseteq L^{\varphi }(X)}$

за

${\displaystyle \varphi (t):=\exp \left(|t|^{p/(p-1)}\right)-1.}$

Это аналитическое содержание Неравенство Трудингера: За ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ открытый и ограниченный с липшицевой границей ${\displaystyle \partial X}$рассмотрите пространство ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(X)}$, ${\displaystyle kp=n}$. Существуют константы ${\displaystyle C_{1},C_{2}>0}$ такой, что

${\displaystyle \int _{X}\exp \left(\left({\frac {|u(x)|}{C_{1}\|\mathrm {D} ^{k}u\|_{L^{p}(X)}}}\right)^{p/(p-1)}\right)\,\mathrm {d} x\leq C_{2}|X|.}$

Норма Орлича случайной величины

Аналогично, норма Орлича случайная переменная характеризует его следующим образом:

${\displaystyle \|X\|_{\Psi }\triangleq \inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \operatorname {E} [\Psi (|X|/k)]\leq 1\right\}.}$

Эта норма однородный и определяется, только когда этот набор не пуст.

Когда ${\displaystyle \Psi (x)=x^{p}}$, это совпадает с п-го момент случайной величины. Остальные частные случаи в экспоненциальном семействе рассматриваются относительно функций ${\displaystyle \Psi _{q}(x)=\exp(x^{q})-1}$ (за ${\displaystyle q\geq 1}$). Случайная величина с конечным ${\displaystyle \Psi _{2}}$ норма называется "субгауссовский "и случайная величина с конечным ${\displaystyle \Psi _{1}}$ норма называется «субэкспоненциальной». Действительно, ограниченность ${\displaystyle \Psi _{p}}$ norm характеризует предельное поведение функции плотности вероятности:

${\displaystyle \|X\|_{\Psi _{p}}=c\rightarrow \lim _{x\rightarrow \infty }f_{X}(x)\exp(|x/c|^{p})=0,}$

так что хвост этой функции плотности вероятности асимптотически похож и ограничен сверху величиной ${\displaystyle \exp(-|x/c|^{p})}$.

В ${\displaystyle \Psi _{1}}$ норма может быть легко вычислена из строго монотонной момент-производящая функция. Например, производящая момент функция хи-квадрат случайная величина X с K степенями свободы равна ${\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-K/2}}$, так что величина, обратная ${\displaystyle \Psi _{1}}$ норма связана с функционалом, обратным производящей функции момента:

${\displaystyle \|X\|_{\Psi _{1}}^{-1}=M_{X}^{-1}(2)=(1-4^{-1/K})/2.}$

Рекомендации

1. Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B, Bull. Междунар. Акад. Полон. Sci. Lett., Class. Sci. Математика. Натур .: S '{e} r. А., Sci. Математика. 1932: 8/9, 207-220.
2. Лех Малигранда, Osiągnięcia polskich matematyków w teorii interpolacji operatorów: 1910–1960, 2015, «Wiadomości matematyczne», 51, 239-281 (на польском языке).
3. Стефан Банах, 1932, Теория линейных операций, Варшава (стр.202)

дальнейшее чтение

• Birnbaum, Z. W .; Орлич, В. (1931), "Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten Potenzen", Studia Mathematica, 3: 1–67 PDF.
• Бунд, Ирасема (1975), "Пространства Бирнбаума – Орлича функций на группах", Тихоокеанский математический журнал, 58 (2): 351–359.
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл, Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
• Красносельский, М.А.; Рутицкий, Я.Б. (1961), Выпуклые функции и пространства Орлича, Гронинген: P.Noordhoff Ltd
• Rao, M.M .; Рен, З.Д. (1991), Теория пространств Орлича, Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер, ISBN  0-8247-8478-2.
• Зигмунд, Антони, "Глава IV: Классы функций и ряды Фурье", Тригонометрические ряды, Том 1 (3-е изд.), Cambridge University Press.
• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель, Вероятность в банаховых пространствах, Springer-Verlag.

внешняя ссылка

• "Пространство Орлича", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]