Теорема Клиффорда о специальных дивизорах - Cliffords theorem on special divisors - Wikipedia

В математика, Теорема Клиффорда о специальных дивизорах является результатом Уильям К. Клиффорд  (1878 ) на алгебраические кривые, показывая ограничения на специальные линейные системы на кривой C.

Заявление

А делитель на Риманова поверхность C это формальная сумма ${\displaystyle \textstyle D=\sum _{P}m_{P}P}$ очков п на C с целыми коэффициентами. Делитель рассматривается как набор ограничений на мероморфные функции в функциональное поле из C, определение ${\displaystyle L(D)}$ как векторное пространство функций, имеющих полюсы только в точках D с положительным коэффициентом, самое плохое как показывает коэффициент, и имея нули в точках D с отрицательным коэффициентом, с по меньшей мере эта множественность. Размер ${\displaystyle L(D)}$ конечно, и обозначается ${\displaystyle \ell (D)}$. В линейная система делителей прикреплен к D соответствующий проективное пространство измерения ${\displaystyle \ell (D)-1}$.

Другой значимый инвариант D это его степень d, который является суммой всех его коэффициентов.

Дивизор называется специальный если ℓ(K − D)> 0, где K это канонический делитель.^[1]

Теорема Клиффорда заявляет, что для эффективного специальный делитель D, надо:

${\displaystyle \ell (D)-1\leq d/2}$,

и это равенство выполняется, только если D равен нулю или каноническому делителю, или если C это гиперэллиптическая кривая и D линейно эквивалентно целому кратному гиперэллиптического дивизора.

В Индекс Клиффорда из C тогда определяется как минимум d − 2р(D) взятый по всем специальным дивизорам (кроме канонических и тривиальных), и теорема Клиффорда утверждает, что это неотрицательно. Можно показать, что индекс Клиффорда для общий кривая род грамм равно функция пола ${\displaystyle \lfloor {\tfrac {g-1}{2}}\rfloor .}$

Индекс Клиффорда измеряет, насколько кривая далека от гиперэллиптической. Это можно рассматривать как усовершенствование гональность: во многих случаях индекс Клиффорда равен гональности минус 2.^[2]

Гипотеза Грина

Гипотеза Марк Грин утверждает, что индекс Клиффорда для кривой комплексных чисел, не являющейся гиперэллиптической, должен определяться степенью, в которой C в качестве каноническая кривая имеет линейные сизигии. Подробно определяется инвариант а(C) в терминах минимального бесплатное разрешение из однородное координатное кольцо из C в его каноническом вложении, так как наибольший индекс я для чего оцененное число Бетти β_{я, я + 2} равно нулю. Зеленый и Роберт Лазарсфельд показало, что а(C) + 1 - нижняя граница индекса Клиффорда, а Гипотеза Грина утверждает, что равенство всегда выполняется. Есть множество частичных результатов.^[3]

Клэр Вуазен был награжден Премия Рут Литтл Саттер по математике за решение общего случая гипотезы Грина в двух статьях.^[4][5] Случай гипотезы Грина для общий Кривые привлекали огромное количество усилий алгебраических геометров за двадцать лет, прежде чем окончательно их положил Вуазен.^[6] Гипотеза для произвольный кривые остаются открытыми.

Примечания

1. Хартсхорн стр.296
2. Эйзенбуд (2005) с.178
3. Эйзенбуд (2005) стр. 183-4.
4. Гипотеза о канонической сизигии Грина для общих кривых нечетного рода - Клэр Вуазен
5. Гипотеза Грина о сизигии общего положения для кривых четного рода, лежащих на поверхности K3 - Клэр Вуазен
6. Приз Саттера

Рекомендации

• Арбарелло, Энрико; Корнальба, Маурицио; Гриффитс, Филипп А.; Харрис, Джо (1985). Геометрия алгебраических кривых, том I. Grundlehren de Mathematischen Wisenschaften 267. ISBN  0-387-90997-4.
• Клиффорд, Уильям К. (1878), «О классификации локусов», Философские труды Лондонского королевского общества, Королевское общество, 169: 663–681, Дои:10.1098 / рстл.1878.0020, ISSN  0080-4614, JSTOR  109316
• Эйзенбуд, Дэвид (2005). Геометрия сизигий. Второй курс коммутативной алгебры и алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 229. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-22215-4. Zbl  1066.14001.
• Фултон, Уильям (1974). Алгебраические кривые. Серия лекций по математике. W.A. Benjamin. п. 212. ISBN  0-8053-3080-1.
• Гриффитс, Филипп А.; Харрис, Джо (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. п. 251. ISBN  0-471-05059-8.
• Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Тексты для выпускников по математике. 52. ISBN  0-387-90244-9.

внешняя ссылка

• Исковских, В.А. (2001) [1994], "Теорема Клиффорда", Энциклопедия математики, EMS Press