Плавное завершение - Smooth completion

В алгебраическая геометрия, то гладкое завершение (или же плавная компактификация) из гладкий аффинная алгебраическая кривая Икс это полный гладкий алгебраическая кривая который содержит Икс как открытое подмножество.^[1] Гладкие завершения существуют и уникальны на идеальное поле.

Примеры

Аффинная форма гиперэллиптическая кривая может быть представлен как ${ Displaystyle у ^ {2} = Р (х)}$ куда ${ Displaystyle (х, у) в mathbb {C} ^ {2}}$ и $п$ ( $Икс$ ) имеет четкие корни и имеет степень не меньше 5. Замыкание Зарисского аффинной кривой в ${ Displaystyle mathbb {C} mathbb {P} ^ {2}}$ является особенным на единственном бесконечный точка добавлена. Тем не менее аффинная кривая может быть вложена в уникальный компактный Риманова поверхность назвал его плавным завершением. Проекция римановой поверхности на ${ Displaystyle mathbb {C} mathbb {P} ^ {2}}$ 2: 1 над особой точкой на бесконечности, если ${ Displaystyle P (x)}$ имеет четную степень и 1 к 1 (но разветвленный) в противном случае.

Это гладкое пополнение также можно получить следующим образом. Спроецируйте аффинную кривую на аффинную линию с помощью Икс-координат. Вставьте аффинную прямую в проективную прямую, затем выполните нормализацию проективной прямой в поле функций аффинной кривой.

Приложения

Гладкая связная кривая над алгебраически замкнутым полем называется гиперболический если ${ displaystyle 2g-2 + r> 0}$ куда грамм - род гладкого пополнения и р - количество добавленных баллов.

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 фундаментальная группа из Икс бесплатно с ${ displaystyle 2g + r-1}$ генераторы, если р>0.

(Аналог Теорема Дирихле о единицах ) Позволять Икс - гладкая связная кривая над конечным полем. Тогда единицы кольца регулярных функций О (Х) на Икс - конечно порожденная абелева группа ранга р -1.

Строительство

Предположим, что базовое поле идеально. Любая аффинная кривая Икс изоморфно открытому подмножеству целочисленной проективной (следовательно, полной) кривой. Принимая нормализацию (или взрыв особенности) проективной кривой тогда дает гладкое пополнение Икс. Их точки соответствуют дискретные оценки из функциональное поле которые тривиальны на базовом поле.

По построению гладкое пополнение является проективный curve, которая содержит данную кривую как всюду плотное открытое подмножество, а добавленные новые точки являются гладкими. Такое (проективное) пополнение всегда существует и единственно.

Если базовое поле не идеально, гладкое завершение гладкой аффинной кривой не всегда существует. Но описанный выше процесс всегда дает обычный завершение, если мы начнем с регулярной аффинной кривой (гладкие многообразия регулярны, и обратное верно над совершенными полями). Регулярное завершение уникально и, судя по оценочный критерий правильности, любой морфизм аффинной кривой в полное алгебраическое многообразие однозначно продолжается до регулярного пополнения.

Обобщение

Если Икс это отделенный алгебраическое многообразие, a теорема нагаты^[2] Говорит, что Икс может быть вложен как открытое подмножество полного алгебраического многообразия. Если Икс к тому же гладкое и базовое поле имеет характеристику 0, то по Теорема Хиронаки Икс может быть даже вложено как открытое подмножество полного гладкого алгебраического многообразия с границей нормального перекрестного дивизора. Если Икс квазипроективно, гладкое пополнение можно выбрать проективным.

Однако, в отличие от одномерного случая, гладкое пополнение не является ни однозначным, ни каноническим.

Смотрите также

Библиография

Гриффитс, Филипп А. (1972). «Теория функций конечного порядка на алгебраических многообразиях. I (A)». Журнал дифференциальной геометрии. 6 (3): 285–306. МИСТЕР 0325999. Zbl 0269.14003.
Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Тексты для выпускников по математике. 52. Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 0387902449. (см. главу 4).

[1] Гриффитс, 1972, стр. 286.

[2] ttp://math.stanford.edu/~conrad/papers/nagatafinal.pdf

[1]

[2]