Разрешение особенностей - Resolution of singularities

По поводу техники, используемой для графовых C * -алгебр и алгебр путей Ливитта, см. Граф C * -алгебра § Десингуляризация.
Сильная десингуляризация из Обратите внимание, что разрешение прекращается не после первого раздува, когда собственное преобразование является гладким, а когда это простые нормальные пересечения с исключительными делителями.

В алгебраическая геометрия, проблема разрешение особенностей спрашивает, каждый ли алгебраическое многообразие V имеет разрешение, неособое разнообразие W с правильный бирациональный карта W→V. Для разновидностей над полями характеристика 0 это было доказано в Хиронака (1964), а для многообразий над полями характеристики п это открытая проблема размером не менее 4.[1]

Определения

Первоначально проблема разрешения особенностей заключалась в нахождении неособой модели для функционального поля многообразия Икс, другими словами, полное неособое многообразие ИКС' с тем же функциональным полем. На практике удобнее задавать другое условие следующим образом: разнообразие Икс имеет разрешение особенностей если мы сможем найти неособое многообразие ИКС' и правильный бирациональная карта из ИКС' к Икс. Условие правильности отображения необходимо для исключения тривиальных решений, таких как взятие ИКС' быть подмногообразием неособых точек Икс.

В более общем плане часто бывает полезно разрешить особенности множества Икс встроены в большее разнообразие W. Предположим, что у нас есть замкнутое вложение Икс в обычное разнообразие W. А сильная десингуляризация из Икс задается собственным бирациональным морфизмом из регулярного многообразия W' к W при соблюдении некоторых из следующих условий (точный выбор условий зависит от автора):

  1. Строгая трансформация ИКС' из Икс правильная и поперечная исключительный локус морфизма резольвенты (в частности, он разрешает особенности Икс).
  2. Карта из строгого преобразования Икс к Икс является изоморфизмом вдали от особых точек Икс.
  3. W′ Строится многократным раздутием регулярных замкнутых подмногообразий в W или более сильно регулярные подмногообразия Икс, поперечный к исключительному геометрическому месту предыдущих взрывов.
  4. Построение W′ Функториален для гладкий морфизмы к W и вложения W в большее разнообразие. (Его нельзя сделать функториальным для всех (не обязательно гладких) морфизмов каким-либо разумным способом.)
  5. Морфизм из ИКС' к Икс не зависит от вложения Икс в W. Или, вообще говоря, последовательность раздутий функториальна относительно гладкие морфизмы.

Хиронака показал, что существует сильная десингуляризация, удовлетворяющая первым трем условиям выше, когда Икс определен над полем характеристики 0, и его конструкция была улучшена несколькими авторами (см. ниже), так что она удовлетворяет всем условиям выше.

Разрешение особенностей кривых

Каждая алгебраическая кривая имеет уникальную неособую проективную модель, что означает, что все методы разрешения практически одинаковы, поскольку все они строят эту модель. В более высоких измерениях это уже неверно: разновидности могут иметь много разных неособых проективных моделей.

Коллар (2007) перечисляет около 20 способов доказательства разрешения особенностей кривых.

Метод Ньютона

Разрешение особенностей кривых по существу впервые было доказано Ньютон  (1676 ), которые показали существование Серия Puiseux для кривой, из которой легко следует разрешение.

Метод Римана

Риман построил гладкую риманову поверхность из функционального поля комплексной алгебраической кривой, которая дает разрешение ее особенностей. Это можно сделать с более общими полями, используя набор дискретных колец оценки поля в качестве замены римановой поверхности.

Метод Альбанезе

Альбанезе Метод состоит в том, чтобы взять кривую, которая охватывает проективное пространство достаточно большой размерности (более чем в два раза превышает степень кривой), и многократно проецировать ее вниз из особых точек в проективные пространства меньшей размерности. Этот метод распространяется на многомерные многообразия и показывает, что любое п-мерное многообразие имеет проективную модель с особенностями кратности не более п!. Для кривой п = 1, а значит, особых точек нет.

Нормализация

Мухлы и Зариский (1939) дал одношаговый метод разрешения особенностей кривой, взяв нормализация кривой. Нормализация устраняет все особенности в коразмерность 1, поэтому он работает для кривых, но не для более высоких измерений.

Оценочные кольца

Другой одношаговый метод разрешения особенностей кривой - взять пространство колец нормирования функционального поля кривой. Это пространство можно превратить в неособую проективную кривую, бирациональную исходной кривой.

Взрыв

Основная статья: Взрыв

Неоднократное вздутие особых точек кривой в конечном итоге устранит сингулярности. Основная задача этого метода - найти способ измерить сложность особенности и показать, что разрушение улучшает эту меру. Есть много способов сделать это. Например, можно использовать арифметический род кривой.

Метод Нётер

Нётер Метод берет плоскую кривую и многократно применяет квадратичные преобразования (определяемые особой точкой и двумя точками общего положения). В конечном итоге это дает плоскую кривую, единственными особенностями которой являются обычные кратные точки (все касательные имеют кратность 1).

Метод Бертини

Бертини Метод аналогичен методу Нётер. Он начинается с плоской кривой и многократно применяет бирациональные преобразования к плоскости для улучшения кривой. Бирациональные преобразования сложнее квадратичных преобразований, используемых в методе Нётер, но дают лучший результат, заключающийся в том, что единственными особенностями являются обычные двойные точки.

Разрешение особенностей поверхностей

Поверхности имеют много различных неособых проективных моделей (в отличие от случая кривых, где неособая проективная модель уникальна). Однако поверхность по-прежнему имеет уникальное минимальное разрешение, которое учитывается всеми остальными (все остальные являются ее разрешениями). В более высоких измерениях не требуется минимального разрешения.

Было несколько попыток доказать разрешение поверхностей над комплексными числами с помощью Дель Пеццо (1892), Леви (1899), Севери (1914), Кизини (1921), и Альбанезе (1924), но Зарисский (1935 г., глава I, раздел 6) указывает, что ни одна из этих ранних попыток не завершена, и все они расплывчаты (или даже ошибочны) в какой-то критический момент аргументации. Первое строгое доказательство было дано Уокер (1935), а алгебраическое доказательство для всех полей характеристики 0 было дано формулой Зарисский (1939). Абхьянкар (1956) дал доказательство для поверхностей ненулевой характеристики. Также показано разрешение особенностей для всех отлично 2-мерные схемы (включая все арифметические поверхности) по Липман (1978).

Метод Зарисского

Метод Зарисского разрешения особенностей поверхностей состоит в том, чтобы многократно чередовать нормализацию поверхности (которая убивает особенности коразмерности 1) с раздутыми точками (что делает особенности коразмерности 2 лучше, но может вводить новые особенности коразмерности 1). Хотя это само по себе разрешит особенности поверхностей, Зариский использовал более обходной метод: он первым доказал теорема локальной униформизации показав, что каждая оценка поверхности может быть разрешена, затем использовал компактность поверхности Зарисского – Римана, чтобы показать, что можно найти конечный набор поверхностей, такой, что центр каждой оценки прост по крайней мере на одной из этих поверхностей , и, наконец, изучение бирациональных отображений между поверхностями показало, что этот конечный набор поверхностей может быть заменен одной неособой поверхностью.

Метод Юнга

Применяя сильное встроенное разрешение для кривых, Юнг (1908) сводится к поверхности только с довольно специальными особенностями (абелевыми факторособенностями), которые затем рассматриваются явно. Более многомерная версия этого метода - метод де Йонга.

Метод Альбанезе

В целом аналог метода Альбанезе для кривых показывает, что для любого многообразия можно свести к особенностям порядка не выше п!, куда п это измерение. Для поверхностей это сводится к случаю особенностей порядка 2, что достаточно легко сделать явно.

Метод Абхьянкара

Абхьянкар (1956) доказал разрешение особенностей поверхностей над полем любой характеристики, доказав местная униформизация Теорема для оценочных колец. Самый сложный случай - это оценочные кольца ранга 1, оценочная группа которых является недискретной подгруппой рациональных чисел. Дальнейшее доказательство следует методу Зарисского.

Метод Хиронаки

Метод Хиронаки для произвольных характеристических многообразий дает метод разрешения поверхностей, который включает многократное раздутие точек или гладких кривых в особом множестве.

Метод Липмана

Липман (1978) показал, что поверхность Y (двумерная редуцированная нётерова схема) имеет десингуляризацию тогда и только тогда, когда ее нормализация конечна над Y и аналитически нормальный (пополнения его особых точек нормальные) и имеет лишь конечное число особых точек. В частности, если Y является отлично затем происходит десингуляризация.

Его метод заключался в рассмотрении нормальных поверхностей Z с бирациональным собственным отображением в Y и покажем, что существует минимальный с минимально возможным арифметическим родом. Затем он показывает, что все особенности этого минимального Z являются псевдорациональными и показывают, что псевдорациональные особенности могут быть разрешены многократным вздутием точек.

Разрешение сингулярностей в более высоких измерениях

Проблема разрешения сингулярностей в высших измерениях печально известна множеством неверных опубликованных доказательств и анонсов доказательств, которые никогда не появлялись.

Метод Зарисского

Для трехмерных многообразий разрешение особенностей в характеристике 0 доказано формулой Зарисский (1944). Сначала он доказал теорему о локальной униформизации колец нормирования, справедливую для многообразий любой размерности над любым полем характеристики 0. Затем он показал, что Пространство Зарисского – Римана оценок является квазикомпактным (для любого многообразия любой размерности над любым полем), что означает, что существует конечное семейство моделей любого проективного многообразия, такое что любое нормирование имеет гладкий центр по крайней мере над одной из этих моделей. Последняя и самая сложная часть доказательства, в которой используется тот факт, что разнообразие имеет размерность 3, но которая работает для всех характеристик, состоит в том, чтобы показать, что для двух моделей можно найти третью, которая разрешает особенности, которые каждая из двух данных моделей разрешить.

Метод Абхьянкара

Абхьянкар (1966) доказанное разрешение особенностей для 3-кратной характеристики больше 6. Ограничение на характеристику возникает из-за того, что Абхьянкар показывает, что можно разрешить любую особенность 3-кратной кратности меньше характеристики, а затем использует метод Альбанезе, чтобы показать что особенности могут быть сведены к особенностям кратности не более (размерности)! = 3! = 6. Каткоски (2009) дал упрощенную версию доказательства Абхьянкара.

Коссарт и Пильтант (2008, 2009 ) доказал разрешение особенностей трехмерных многообразий во всех характеристиках, доказав локальную униформизацию в размерности не более 3, а затем проверив, что доказательство Зариского, что из этого следует разрешение трехмерных многообразий, все еще работает в положительном характеристическом случае.

Метод Хиронаки

Разрешение особенностей характеристики 0 во всех измерениях впервые было доказано Хиронака (1964). Он доказал, что можно разрешить особенности многообразий над полями характеристики 0, многократно раздувая по неособым подмногообразиям, используя очень сложное рассуждение - индукцию по размерности. Упрощенные версии его грозного доказательства были предоставлены несколькими людьми, в том числе Бирстон, Милман и 1991-97 гг., Вильямайор (1992), Энсинас и Вильямайор (1998), Энсинас и Хаузер (2002), Влодарчик (2005), Коллар (2007). Некоторые из недавних доказательств составляют примерно десятую часть длины первоначального доказательства Хиронаки, и их достаточно легко представить на вводном курсе для выпускников. Подробное описание теоремы см. В (Хаузер 2003 ), а для исторической дискуссии см. (Хаузер 2000 ).

Метод де Йонга

де Йонг (1996) нашли другой подход к разрешению особенностей, обобщающий метод Юнга для поверхностей, который использовалБогомолов и Пантев (1996) и по Абрамович и де Йонг (1997) для доказательства разрешения особенностей в характеристике 0. Метод Де Йонга дал более слабый результат для многообразий всех размерностей в характеристике п, который был достаточно силен, чтобы заменить решение для многих целей. Де Джонг доказал, что для любого разнообразия Икс над полем существует доминирующий собственный морфизм, сохраняющий размерность регулярного многообразия на Икс. Это не обязательно должно быть бирациональным отображением, поэтому оно не является разрешением особенностей, поскольку в общем случае оно может быть конечным до единицы и, таким образом, включает конечное расширение функционального поля Икс. Идея Де Йонга заключалась в том, чтобы попытаться представить Икс как расслоение на меньшее пространство Y с волокнами, которые являются кривыми (это может потребовать изменения Икс), то устраним особенности Y индукцией по размерности, затем устраним особенности в слоях.

Разрешение схем и статус проблемы

Определение разрешения легко распространить на все схемы. Не все схемы имеют разрешение своих особенностей: Гротендик (1965, раздел 7.9) показал, что если локально нетерова схема Икс обладает тем свойством, что можно разрешить особенности любой конечной интегральной схемы над Икс, тогда Икс должно быть квази-отлично. Гротендик также предположил, что может быть и обратное: другими словами, если локально нётерова схема Икс редуцирована и квазиотлична, то можно разрешить ее особенности. Когда Икс определено над полем характеристики 0 и является нётеровым, это следует из теоремы Хиронаки, а когда Икс имеет размерность не более 2, как было доказано Липманом.

Хаузер (2010) дал обзор работ по нерешенной характеристике п проблема разрешения.

Метод доказательства в нулевой характеристике

Давнее мнение о том, что доказательство решимости очень сложно, постепенно расходилось с реальностью. ... возможно доказать разрешение за последние две недели начального курса алгебраической геометрии.

(Коллар 2007, Лекции по разрешению особенностей)

Существует множество конструкций сильной десингуляризации, но все они дают по существу один и тот же результат. В каждом случае глобальный объект (разнообразие, подлежащее исключению) заменяется локальными данными ( идеальный пучок разнообразия и тех из исключительные делители и немного заказы который представляет, насколько должен быть разрешен идеал на этом этапе). С помощью этих локальных данных определяются очаги взрыва. Центры будут определены локально, и поэтому проблема состоит в том, чтобы гарантировать, что они будут соответствовать глобальному центру. Это можно сделать, определив, какие взрывы позволят разрешить каждый идеал. Если все сделано правильно, центры будут совпадать автоматически. Другой способ - определить локальный инвариант в зависимости от разнообразия и истории разрешения (предыдущие локальные центры) так, чтобы центры состояли из максимального локуса инварианта. Определение этого сделано таким образом, что этот выбор имеет смысл, давая гладкие центры, трансверсальные исключительным дивизорам.

В любом случае проблема сводится к разрешению особенностей кортежа, образованного пучком идеалов и дополнительными данными (исключительными делителями и порядком, d, к которому должно подходить разрешение для этого идеала). Этот кортеж называется отмечен идеал и множество точек, в которых порядок идеала больше, чем d называется его соопорой. Доказательство существования резольвенты отмеченных идеалов проводится индукцией по размерности. Индукция прерывается в два этапа:

  1. Функториальная десингуляризация отмеченного идеала размерности п - 1 влечет функциональную десингуляризацию отмеченных идеалов максимального порядка размерностип.
  2. Функториальная десингуляризация отмеченных идеалов максимального порядка размерности п следует функториальная десингуляризация (общего) отмеченного идеала размерностип.

Здесь мы говорим, что отмеченный идеал имеет максимальный порядок если в какой-то точке его сопосителя порядок идеала равенdКлючевым элементом высокого разрешения является использование Функция Гильберта – Самуэля локальных колец точек многообразия. Это одна из составляющих инварианта разрешения.

Примеры

Множественность не должна уменьшаться при разрушении

Самый очевидный инвариант особенности - это ее кратность. Однако это не обязательно должно уменьшаться при разрушении, поэтому необходимо использовать более тонкие инварианты для измерения улучшения.

Например, куспид рамфоида у2 = Икс5 имеет особенность порядка 2 в нуле. После взрыва в особой точке он становится обычным куспидом. у2 = Икс3, который по-прежнему имеет кратность 2.

Понятно, что особенность улучшилась, поскольку степень определяющего полинома уменьшилась. Так не бывает вообще. Пример, когда это не так, дается изолированной особенностью Икс2 + у3z + z3 = 0 в начале координат. Взрыв дает сингулярность Икс2 + у2z + yz3 = 0. Не сразу очевидно, что эта новая особенность лучше, поскольку обе особенности имеют кратность 2 и задаются суммой одночленов степеней 2, 3 и 4.

Взрывать самые особенные точки не получается

Зонтик Whitney

Естественная идея улучшения особенностей - взорвать геометрическое место «наихудших» особых точек. В Зонтик Whitney Икс2 = у2z имеет единственное множество z ось, большинство точек которой - обычные двойные точки, но есть более сложная защемления сингулярность в начале координат, поэтому разрушение наихудших особых точек предполагает, что следует начать с взрыва начала координат. Однако вздутие начала координат воспроизводит ту же особенность на одной из координатных карт. Таким образом, разрушение (по-видимому) "худших" особых точек не улучшает особенность. Вместо этого сингулярность можно разрешить, взорвав z-ось.

Существуют алгоритмы, которые работают, взрывая «худшие» особые точки в некотором смысле, например (Бирстон и Милман 1997 ), но этот пример показывает, что определение «худших» точек должно быть довольно тонким.

Для более сложных особенностей, таких как Икс2 = умzп что уникально вдоль Икс = yz = 0, разрушение наихудшей особенности в начале координат приводит к сингулярностям Икс2 = ум+п−2zп и Икс2 = умzм+п−2 которые хуже исходной особенности, если м и п оба не меньше 3.

После разрешения полное преобразование (объединение собственного преобразования и исключительных дивизоров) является многообразием с особенностями типа простых нормальных перекрестков. Естественно рассмотреть возможность разрешения сингулярностей без разрешения этого типа особенностей, это нахождение разрешения, которое является изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда строгое преобразование является делителем (т.е. может быть вложено как коразмерность одно подмногообразие в гладком многообразии) известно, что существует сильная резольвента, избегающая простых нормальных точек пересечения. Зонтик Уитни показывает, что невозможно разрешить сингулярности, избегая разрушения сингулярностей нормальных пересечений.

Процедуры инкрементного разрешения требуют памяти

Естественный способ разрешить особенности - многократно взорвать некоторое канонически выбранное гладкое подмногообразие. Это приводит к следующей проблеме. Особый набор Икс2 = у2z2 пара линий, заданная у и z топоры. Единственные разумные разновидности, которые можно взорвать, - это начало координат, одна из этих двух осей или все сингулярное множество (обе оси). Однако нельзя использовать весь сингулярный набор, поскольку он не является гладким, а выбор одной из двух осей нарушает симметрию между ними, поэтому не является каноническим. Это означает, что мы должны начать с взрыва начала координат, но это воспроизводит оригинальную сингулярность, поэтому мы, кажется, ходим по кругу.

Решение этой проблемы состоит в том, что, хотя разрушение начала координат не меняет тип сингулярности, оно дает небольшое улучшение: оно нарушает симметрию между двумя сингулярными осями, потому что одна из них является исключительным делителем для предыдущего разрушения, так что теперь можно взорвать только один из них. Однако для того, чтобы использовать это, процедура разрешения должна обрабатывать эти две особенности по-разному, даже если они локально одинаковы. Иногда это делается, предоставляя процедуре разрешения некоторую память, поэтому центр разрушения на каждом шаге зависит не только от сингулярности, но и от предыдущих увеличений, использованных для ее создания.

Резолюции не функториальны

Коническая особенность Икс2 + у2 = z2

Некоторые методы разрешения (в характеристике 0) являются функториальными для всех гладких морфизмов, однако невозможно найти функториал сильного разрешения для всех (возможно негладких) морфизмов. Пример дает отображение аффинной плоскости А2 к конической особенности Икс2 + у2 = z2 принимая (Икс,Y) на (2XY, Икс2 − Y2, Икс2 + Y2). В XY-плоскость уже неособая, поэтому разрешение не должно изменяться, и любое разрешение конической особенности факторизуется через минимальное разрешение, полученное при раздутии особой точки. Однако рациональная карта из XY-плоскость к этому расширению не распространяется на обычную карту.

Минимальных разрешений нет

Минимальные разрешения (разрешения, при которых каждое разрешение зависит от них) существуют в измерениях 1 и 2, но не всегда в более высоких измерениях. В Атья флоп дает пример трехмерной сингулярности без минимального разрешения. Y быть нулями ху = zw в А4, и разреши V быть взрывом Y в происхождении. Исключительное геометрическое место этого раздутия изоморфно п1×п1, и может быть взорван п1 2 разными способами, давая два маленькие разрешения Икс1 и Икс2 из Y, ни один из них не может быть взорван дальше.

Резолюции не должны совпадать с продуктами

Коллар (2007, пример 3.4.4, стр. 121) дает следующий пример, показывающий, что нельзя ожидать достаточно хорошей процедуры разрешения для переключения с продуктами. Если ж:А→B является раздутием начала координат квадратичного конуса B в аффинном трехмерном пространстве, то ж×ж:А×А→B×B не может быть получен с помощью процедуры этального локального разрешения, по существу потому, что исключительное локус имеет 2 пересекающиеся компоненты.

Особенности торических многообразий

Особенности торические многообразия привести примеры многомерных особенностей, которые легко разрешить явно. Торическое многообразие определяется веером, набором конусов в решетке. Особенности могут быть разрешены путем разделения каждого конуса на объединение конусов, каждый из которых порожден базисом решетки, и взятия соответствующего торического многообразия.

Выбирая центры, которые являются правильными подмногообразиями Икс

Построение десингуляризации разновидности Икс не могут образовывать центры раздутий, которые являются гладкими подмножествами Икс. Многие конструкции десингуляризации абстрактного разнообразия Икс продолжить путем локального встраивания Икс в гладком разнообразии W, считая его идеалом в W и вычисление канонической деингуляризации этого идеала. При десингуляризации идеалов порядок идеала используется как мера того, насколько он сингулярен. Десингуляризация идеала может быть сделана так, чтобы можно было оправдать объединение локальных центров в глобальные центры. Этот метод приводит к доказательству, которое относительно проще представить по сравнению с оригинальным доказательством Хиронаки, в котором функция Гильберта-Самуэля используется как мера того, насколько плохи особенности. Например, доказательства в Вильямайор (1992), Энсинас и Вильямайор (1998), Энсинас и Хаузер (2002), и Коллар (2007) воспользуйтесь этой идеей. Однако этот метод обеспечивает только регулярные очаги взрыва. W.

Следующий пример (Бирстон и Милман 2007 ) показывает, что этот метод может создавать центры, которые имеют негладкие пересечения с (строгим преобразованием) Икс. Следовательно, результирующая десингуляризация, если ограничиться абстрактным разнообразием Икс, не получается раздутием регулярных подмногообразий в Икс.

Позволять Икс - подмногообразие четырехмерной аффинной плоскости с координатами х, у, z, ш, создано у2-Икс3 и Икс4+xz2-ш3. Каноническая десингуляризация идеала с помощью этих генераторов взорвет центр C0 данный Икс=у=z=ш= 0. Превращение идеала в Иксдиаграмма, если генерируется Икс-у2 и у2(у2+z2-ш3). Очередной центр взрыва C1 дан кем-то Икс=у= 0. Однако строгая трансформация Икс является Икс1, который порождается Икс-у2 и у2+z2-ш3. Это означает, что пересечение C1 и Икс1 дан кем-то Икс=у= 0 и z2-ш3= 0, что не является регулярным.

Чтобы получить центры раздутий, которые являются правильными подмногообразиями Икс более сильные доказательства (Бирстон, Милман и 1991-97 гг.) используют функцию Гильберта-Самуэля локальных колец Икс а не порядок его идеала в локальном вложении в W.

Другие варианты разрешения особенностей

После разрешения полного преобразования, объединения строгого преобразования, Икс, а исключительный дивизор - это многообразие, которое в лучшем случае может иметь простые нормальные перекрестные особенности. Тогда естественно рассмотреть возможность разрешения особенностей без разрешения особенностей такого типа. Проблема состоит в том, чтобы найти разрешение, которое является изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда Икс является дивизором, т.е. его можно вложить как подмногообразие коразмерности один в гладкое многообразие; известно, что существует сильная резольвента, избегающая простых нормальных точек пересечения. Общий случай или обобщения, позволяющие избежать различных типов особенностей, до сих пор не известны. (Бирстон и Милман 2012 ).

Избежать определенных особенностей невозможно.Например, нельзя разрешить сингулярности, избегая разрушения особенностей нормальных пересечений. Фактически, чтобы разрешить особенность точки защемления, необходимо взорвать все сингулярное множество, включая точки, где присутствуют особенности нормального пересечения.

Рекомендации

  1. ^ http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/Publications/Problem_PosChar.pdf

Библиография

внешняя ссылка