Функция Гильберта – Самуэля - Hilbert–Samuel function

В коммутативная алгебра то Функция Гильберта – Самуэля, названный в честь Дэвид Гильберт и Пьер Самуэль,^[1] ненулевой конечно порожденной модуль ${\displaystyle M}$ над коммутативным Нётерян местное кольцо ${\displaystyle A}$ и первичный идеал ${\displaystyle I}$ из ${\displaystyle A}$ это карта ${\displaystyle \chi _{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ такое, что для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$,

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}$

куда ${\displaystyle \ell }$ обозначает длина над ${\displaystyle A}$. Это связано с Функция Гильберта из связанный оцениваемый модуль ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M)}$ по личности

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).}$

Для достаточно больших ${\displaystyle n}$, он совпадает с полиномиальной функцией степени, равной ${\displaystyle \dim(\operatorname {gr} _{I}(M))}$, часто называемый Многочлен Гильберта-Самуэля (или же Полином Гильберта ).^[2]

Примеры

Для звенеть из формальный степенной ряд в двух переменных ${\displaystyle k[[x,y]]}$ взят как модуль над собой и идеальный ${\displaystyle I}$ порожденные одночленами Икс² и у³ у нас есть

${\displaystyle \chi (1)=6,\quad \chi (2)=18,\quad \chi (3)=36,\quad \chi (4)=60,{\text{ and in general }}\chi (n)=3n(n+1){\text{ for }}n\geq 0.}$^[2]

Границы степени

В отличие от функции Гильберта, функция Гильберта – Самуэля не является аддитивной на точной последовательности. Тем не менее, он все еще достаточно близок к аддитивному из-за Лемма Артина – Риса.. Обозначим через ${\displaystyle P_{I,M}}$ многочлен Гильберта-Самуэля; т.е. совпадает с функцией Гильберта – Самуэля для больших целых чисел.

Теорема — Позволять ${\displaystyle (R,m)}$ быть местным нётерским кольцом и я м-первичный идеал. Если

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

- точная последовательность конечно порожденных р-модули и если ${\displaystyle M/IM}$ имеет конечную длину,^[3] тогда у нас есть:^[4]

${\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F}$

куда F является многочленом степени строго меньшей, чем у ${\displaystyle P_{I,M'}}$ и имеющий положительный ведущий коэффициент. В частности, если ${\displaystyle M'\simeq M}$, то степень ${\displaystyle P_{I,M''}}$ строго меньше, чем у ${\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}}$.

Доказательство: тензор для данной точной последовательности с помощью ${\displaystyle R/I^{n}}$ и вычисляя ядро, получаем точную последовательность:

${\displaystyle 0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M''\to 0,}$

что дает нам:

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')}$.

Третий член справа может быть оценен Артином-Рисом. Действительно, по лемме при больших п и немного k,

${\displaystyle I^{n}M\cap M'=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M'.}$

Таким образом,

${\displaystyle \ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)}$.

Это дает желаемую границу степени.

Множественность

Если ${\displaystyle A}$ является локальным кольцом размерности Крулля ${\displaystyle d}$, с ${\displaystyle m}$-первоначальный идеал ${\displaystyle I}$, его многочлен Гильберта имеет главный член вида ${\displaystyle {\frac {e}{d!}}\cdot n^{d}}$ для некоторого целого числа ${\displaystyle e}$. Это целое число ${\displaystyle e}$ называется множественность идеального ${\displaystyle I}$. Когда ${\displaystyle I=m}$ максимальный идеал ${\displaystyle A}$, еще говорят ${\displaystyle e}$ - кратность локального кольца ${\displaystyle A}$.

Кратность точки ${\displaystyle x}$ схемы ${\displaystyle X}$ определяется как кратность соответствующего локального кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$.

Смотрите также

• j-кратность

Рекомендации

1. Х. Хиронака, Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем характеристического нуля: I. Ann. математики. 2-я сер., Т. 79, No. 1. (январь 1964 г.), стр. 109-203.
2. Атья, М. Ф. и Макдональд, И. Г. Введение в коммутативную алгебру. Ридинг, Массачусетс: Аддисон – Уэсли, 1969.
3. Отсюда следует, что ${\displaystyle M'/IM'}$ и ${\displaystyle M''/IM''}$ также имеют конечную длину.
4. Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8. Лемма 12.3.