Лемма Артина – Риса. - Artin–Rees lemma

В математика, то Лемма Артина – Риса. это основной результат о модули через Кольцо Нётериана, наряду с такими результатами, как Теорема Гильберта о базисе. Это было доказано в 1950-х годах в независимых работах математики Эмиль Артин и Дэвид Рис;^[1][2] особый случай был известен Оскар Зариски до их работы.

Одним из следствий леммы является Теорема Крулля о пересечении. Результат также используется для доказательства свойства точности завершение (Атья и Макдональд 1969, стр. 107–109). ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAtiyahMacDonald1969 (помощь). Лемма также играет ключевую роль при изучении ℓ-адические пучки.

Заявление

Позволять я быть идеальный в Кольцо Нётериана р; позволять M быть конечно порожденный р-модуль и разреши N подмодуль M. Тогда существует целое число k ≥ 1, так что при п ≥ k,

${displaystyle I^{n}Mcap N=I^{n-k}((I^{k}M)cap N).}$

Доказательство

Лемма немедленно следует из того, что р является нётеровым после того, как установлены необходимые понятия и обозначения.^[3]

Для любого кольца р и идеал я в р, мы установили ${displaystyle B_{I}R= extstyle igoplus _{n=0}^{infty }I^{n}}$ (B для разрушения.) Мы говорим убывающую последовательность подмодулей ${displaystyle M=M_{0}supset M_{1}supset M_{2}supset cdots }$ является я-фильтрация, если ${displaystyle IM_{n}subset M_{n+1}}$; кроме того, он стабилен, если ${displaystyle IM_{n}=M_{n+1}}$ для достаточно большого п. Если M дается я-фильтрация, устанавливаем ${displaystyle B_{I}M= extstyle igoplus _{n=0}^{infty }M_{n}}$; это градуированный модуль над ${displaystyle B_{I}R}$.

Теперь позвольте M быть р-модуль с я-фильтрация ${displaystyle M_{i}}$ конечно порожденным р-модули. Мы делаем наблюдение

${displaystyle B_{I}M}$ является конечно порожденным модулем над ${displaystyle B_{I}R}$ тогда и только тогда, когда фильтрация я-стабильный.

Действительно, если фильтрация я-стабильно, то ${displaystyle B_{I}M}$ порождается первым ${displaystyle k+1}$ термины ${displaystyle M_{0},dots ,M_{k}}$ и эти члены конечно порождаются; таким образом, ${displaystyle B_{I}M}$ конечно порожден. Наоборот, если он конечно порожден, скажем, некоторыми однородными элементами из ${displaystyle extstyle igoplus _{j=0}^{k}M_{j}}$, то для ${displaystyle ngeq k}$, каждый ж в ${displaystyle M_{n}}$ можно записать как

${displaystyle f=sum a_{j}g_{j},quad a_{j}in I^{n-j}}$

с генераторами ${displaystyle g_{j}}$ в ${displaystyle M_{j},jleq k}$. То есть, ${displaystyle fin I^{n-k}M_{k}}$.

Теперь мы можем доказать лемму, полагая р Нётериан. Позволять ${displaystyle M_{n}=I^{n}M}$. потом ${displaystyle M_{n}}$ являются я-стабильная фильтрация. Таким образом, по наблюдению, ${displaystyle B_{I}M}$ конечно порожден над ${displaystyle B_{I}R}$. Но ${displaystyle B_{I}Rsimeq R[It]}$ является нётеровым кольцом, поскольку р является. (Кольцо ${displaystyle R[It]}$ называется Алгебра Риса.) Таким образом, ${displaystyle B_{I}M}$ является нётеровым модулем, и любой подмодуль конечно порожден над ${displaystyle B_{I}R}$; особенно, ${displaystyle B_{I}N}$ конечно порождается, когда N задана индуцированная фильтрация; т.е. ${displaystyle N_{n}=M_{n}cap N}$. Тогда индуцированная фильтрация есть я- снова стабильно по наблюдениям.

Теорема Крулля о пересечении

Помимо использования в пополнении кольца, типичным применением леммы является доказательство теоремы Крулля о пересечении, которая гласит: ${displaystyle extstyle igcap _{n=1}^{infty }I^{n}=0}$ для истинного идеала я в коммутативном нётеровом кольце, которое является либо местное кольцо или область целостности. По лемме, примененной к пересечению ${displaystyle N}$, мы нашли k так что для ${displaystyle ngeq k}$,

${displaystyle I^{n}cap N=I^{n-k}(I^{k}cap N).}$

Но потом ${displaystyle N=IN}$. Таким образом, если А местный, ${displaystyle N=0}$ к Лемма Накаямы. Если А является областью целостности, то используется детерминантный трюк (это вариант Теорема Кэли – Гамильтона и дает Лемма Накаямы ):

Теорема Позволять ты быть эндоморфизм из А-модуль N создано п элементы и я идеал А такой, что ${displaystyle u(N)subset IN}$. Тогда есть отношение:

${displaystyle u^{n}+a_{1}u^{n-1}+cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,,a_{i}in I^{i}.}$

В настройке здесь возьмите ты быть оператором идентификации на N; что даст ненулевой элемент Икс в А такой, что ${displaystyle xN=0}$, что означает ${displaystyle N=0}$.

Как для локального кольца, так и для области целостности "нетеров" нельзя отбросить из предположения: для случая локального кольца см. локальное кольцо # Коммутативный регистр. Для случая области целостности возьмем ${displaystyle A}$ быть кольцо целых алгебраических чисел (т. е. интегральное замыкание ${displaystyle mathbb {Z} }$ в ${displaystyle mathbb {C} }$). Если ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ это главный идеал А, то имеем: ${displaystyle {mathfrak {p}}^{n}={mathfrak {p}}}$ для каждого целого числа ${displaystyle n>0}$. Действительно, если ${displaystyle yin {mathfrak {p}}}$, тогда ${displaystyle y=alpha ^{n}}$ для некоторого комплексного числа ${displaystyle alpha }$. Сейчас же, ${displaystyle alpha }$ является целым над ${displaystyle mathbb {Z} }$; таким образом в ${displaystyle A}$ а затем в ${displaystyle {mathfrak {p}}}$, доказывая иск.

Рекомендации

1. Дэвид Рис (1956). «Две классические теоремы теории идеалов». Proc. Camb. Фил. Soc. 52 (1): 155–157. Bibcode:1956PCPS ... 52..155R. Дои:10.1017 / с0305004100031091. Здесь: Лемма 1.
2. Шарп Р. Ю. (2015). «Дэвид Рис. 29 мая 1918 - 16 августа 2013». Биографические воспоминания членов Королевского общества. 61: 379–401. Дои:10.1098 / rsbm.2015.0010. Здесь: раздел 7, лемма 7.2, стр.10.
3. Эйзенбуд, Лемма 5.1 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969). Введение в коммутативную алгебру. Westview Press. ISBN  978-0-201-40751-8.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8.

дальнейшее чтение

• Конрад, Брайан; де Йонг, Айз Йохан (2002). «Аппроксимация версальных деформаций» (PDF). Журнал алгебры. 255 (2): 489–515. Дои:10.1016 / S0021-8693 (02) 00144-8. МИСТЕР  1935511. дает несколько более точную версию леммы Артина – Риса.

внешняя ссылка

• "Теорема Артина-Риса". PlanetMath.