Двойная кривая - Dual curve

Кривые, двойственные друг другу; см. ниже для характеристики.

В проективная геометрия, а двойная кривая данного плоская кривая $C$ кривая в дуальная проективная плоскость состоящий из множества прямых, касающихся $C$ . Существует карта от кривой к ее двойственной, отправляющая каждую точку в точку, двойственную к ее касательной. Если $C$ является алгебраический то же самое и с двойственным, и степень двойственности известна как учебный класс исходной кривой. Уравнение двойственного $C$ , приведены в координаты линии, известен как тангенциальное уравнение из $C$ .

Построение дуальной кривой является геометрической основой для Превращение Лежандра в контексте Гамильтонова механика.^[1]

Уравнения

Позволять $ж (Икс, у, z) = 0$ быть уравнением кривой в однородные координаты. Позволять $Хх + Yy + Zz = 0$ быть уравнением прямой, с $(Икс, Y, Z)$ назначен его координаты линии. Условие касательности прямой к кривой можно выразить в виде $F (Икс, Y, Z) = 0$ которое является касательным уравнением кривой.

Позволять $(п, q, р)$ - точка на кривой, то уравнение касательной в этой точке имеет вид

{ displaystyle x { frac { partial f} { partial x}} (p, q, r) + y { frac { partial f} { partial y}} (p, q, r) + z { frac { partial f} { partial z}} (p, q, r) = 0.}

Так $Хх + Yy + Zz = 0$ является касательной к кривой, если

{ displaystyle { begin {align} X & = lambda { frac { partial f} { partial x}} (p, q, r), Y & = lambda { frac { partial f} { partial y}} (p, q, r), Z & = lambda { frac { partial f} { partial z}} (p, q, r). end {align}}}

Устранение $п$ , $q$ , $р$ , и $λ$ из этих уравнений вместе с $Xp + Yq + Zr = 0$ , дает уравнение в $Икс$ , $Y$ и $Z$ дуальной кривой.

Слева: эллипс

(Икс / 2) 2 + (у / 3) 2 = 1

с касательными

xX + yY = 1

для любого

Икс

,

Y

, так что

(2 Икс) 2 + (3 Y) 2 = 1

.
Справа: двойной эллипс

(2 Икс) 2 + (3 Y) 2 = 1

. Каждая касательная к первому эллипсу соответствует точке на втором (отмеченной тем же цветом).

Например, пусть $C$ быть конический $топор 2 + к 2 + cz 2 = 0$ . Тогда двойственный находится исключением $п$ , $q$ , $р$ , и $λ$ из уравнений

{ displaystyle { begin {align} X & = 2 lambda ap, Y & = 2 lambda bq, Z & = 2 lambda cr, end {align}} qquad Xp + Yq + Zr = 0. }

Первые три уравнения легко решаются относительно $п$ , $q$ , $р$ , и подстановка в последнее уравнение дает

{ displaystyle { frac {X ^ {2}} {2 lambda a}} + { frac {Y ^ {2}} {2 lambda b}} + { frac {Z ^ {2}} { 2 lambda c}} = 0.}

Клиринг $2 λ$ из знаменателей уравнение двойственного

{ displaystyle { frac {X ^ {2}} {a}} + { frac {Y ^ {2}} {b}} + { frac {Z ^ {2}} {c}} = 0. }

Для параметрически определенной кривой ее двойственная кривая определяется следующим образом: параметрические уравнения:

{ displaystyle { begin {align} X & = { frac {y '} {yx'-xy'}} Y & = { frac {x '} {xy'-yx'}} end {выравнивается} }}

Двойник точка перегиба даст куспид а две точки, имеющие одну и ту же касательную, дадут точку самопересечения на дуальном.

Степень

Если $Икс$ - плоская алгебраическая кривая, то степень двойственной - это количество точек, пересекающихся с прямой в двойственной плоскости. Поскольку прямая на дуальной плоскости соответствует точке на плоскости, степень двойственной плоскости - это количество касательных к $Икс$ который можно провести через заданную точку. Точки, в которых эти касательные касаются кривой, являются точками пересечения кривой и полярная кривая относительно данной точки. Если степень кривой равна $d$ тогда степень полярности равна $d - 1$ и поэтому количество касательных, которые можно провести через данную точку, не превышает $d (d - 1)$ .

Двойственная линия (кривая степени 1) является исключением из этого правила и считается точкой в двойственном пространстве (а именно исходной прямой). Двойник одной точки считается набором прямых, проходящих через точку; это образует линию в двойном пространстве, которая соответствует исходной точке.

Если $Икс$ гладкая, т.е. нет особые точки затем двойственное $Икс$ имеет высшую степень $d (d - 1)$ . Если $Икс$ является коникой, это означает, что его двойник также является коникой. Это можно увидеть и геометрически: отображение коники на двойственную один к одному (поскольку никакая прямая не касается двух точек коники, так как для этого требуется степень 4), а касательная линия изменяется плавно (поскольку кривая выпуклая, наклон касательной линии изменяется монотонно: точки возврата в двойственном элементе требуют точки перегиба в исходной кривой, что требует степени 3).

Для кривых с особыми точками эти точки также будут лежать на пересечении кривой и ее полюса, что сокращает количество возможных касательных. Степень двойственного, выраженная в терминах d а количество и типы особых точек $Икс$ один из Формулы Плюккера.

Полярный взаимный

Двойственное можно визуализировать как геометрическое место на плоскости в виде полярный взаимный. Это определяется относительно фиксированной коники $Q$ как геометрическое место полюсов касательных линий кривой $C$ .^[2] Коническая $Q$ почти всегда принимается за круг, и в этом случае полярная величина, обратная обратный из педаль из $C$ .

Свойства дуальной кривой

Свойства исходной кривой соответствуют двойственным свойствам на двойственной кривой. На изображении справа красная кривая имеет три особенности - узел в центре и два выступа внизу справа и внизу слева. Черная кривая не имеет сингулярностей, но имеет четыре выделенные точки: две самые верхние точки имеют одну и ту же касательную линию (горизонтальную линию), а на верхней кривой есть две точки перегиба. Две самые верхние точки соответствуют узлу (двойной точке), так как они обе имеют одну и ту же касательную линию, следовательно, соответствуют одной и той же точке на двойной кривой, а точки перегиба соответствуют куспидам, сначала соответствующим касательным линиям. едем в одну сторону, потом в другую (наклон увеличивается, затем уменьшается).

Напротив, на гладкой выпуклой кривой угол касательной изменяется монотонно, и получающаяся двойная кривая также является гладкой и выпуклой.

Кроме того, обе кривые обладают отражательной симметрией, соответствующей тому факту, что симметрии проективного пространства соответствуют симметриям двойственного пространства, и что двойственность кривых этим сохраняется, поэтому двойственные кривые имеют одну и ту же группу симметрии. В этом случае обе симметрии реализуются как отражение слева направо; это артефакт того, как пространство и двойственное пространство были идентифицированы - в общем, это симметрии разных пространств.

Обобщения

Высшие измерения

Точно так же, обобщая на более высокие измерения, учитывая гиперповерхность, то касательное пространство в каждой точке дает семью гиперплоскости, и тем самым определяет двойственную гиперповерхность в двойственном пространстве. Для любого замкнутого подмногообразия $Икс$ в проективном пространстве, множество всех гиперплоскостей, касающихся некоторой точки $Икс$ является замкнутым подмногообразием двойственного проективного пространства, называемым двойное разнообразие из $Икс$ .

Примеры

Если $Икс$ - гиперповерхность, определяемая однородным полиномом $F (Икс 0, ..., Икс п)$ , то двойственное многообразие $Икс$ это изображение $Икс$ по карте градиента

{ displaystyle x = (x_ {0}, ldots, x_ {n}) mapsto left ({ frac { partial F} { partial x_ {0}}} (x), ldots, { frac { partial F} { partial x_ {n}}} (x) right)}

который попадает в двойственное проективное пространство.

Двойственное разнообразие точки $(а 0 : ..., а п)$ это гиперплоскость

{ displaystyle a_ {0} x_ {0} + ldots + a_ {n} x_ {n} = 0.}

Двойной многоугольник

Конструкция двойной кривой работает, даже если кривая кусочно-линейный (или же кусочно дифференцируемый, но полученное отображение будет вырожденным (если есть линейные компоненты) или некорректно определенным (если есть особые точки).

В случае многоугольника все точки на каждом ребре имеют одну и ту же касательную линию и, таким образом, отображаются в одну и ту же вершину двойственного объекта, в то время как касательная линия вершины не определена и может быть интерпретирована как все прямые, проходящие через через него с углом между двумя краями. Это согласуется как с проективной двойственностью (линии соответствуют точкам, а точки - с линиями), так и с пределом гладких кривых без линейного компонента: когда кривая уплощается к краю, ее касательные линии отображаются в все более близкие точки; когда кривая сужается к вершине, ее касательные расходятся дальше друг от друга.

Смотрите также

Примечания

^ Видеть (Арнольд 1988 )
^ Эдвардс, Дж. (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: Макмиллан. стр.176.

Дифференциальные преобразования плоские кривые
Унарные операции	Эволют Инволют Двойная кривая Обратная кривая Параллельная кривая Изоптический
Унарные операции определяется точкой	Изгибы педалей и контрапедалей Отрицательная кривая педали Кривая преследования Каустик
Унарные операции определяется двумя точками	Строфоид
Бинарные операции определяется точкой	Рулетка Циссоид
Операции на семье кривых	Конверт