Циссоид - Cissoid

В геометрия, а циссоид кривая, порожденная двумя заданными кривыми C₁, C₂ и точка О (в столб). Позволять L быть переменной строкой, проходящей через О и пересекающиеся C₁ в п₁ и C₂ в п₂. Пусть P - точка на L, так что OP = п₁п₂. (На самом деле таких точек две, но P выбрано так, чтобы п находится в том же направлении от О так как п₂ из п₁.) Тогда геометрическое место таких точек п определяется как циссоида кривых C₁, C₂ относительно О.

Несколько разные, но по существу эквивалентные определения используются разными авторами. Например, п можно определить как точку, так что OP = OP₁ + OP₂. Это эквивалентно другому определению, если C₁ заменяется его отражение через О. Или п можно определить как середину п₁ и п₂; это создает кривую, созданную предыдущей кривой, масштабируемую с коэффициентом 1/2.

Слово «циссоид» происходит от Греческий: κισσοειδής, горит  в форме плюща из κισσός, плющ и -οειδής, «имеющий подобие».

Уравнения

Если C₁ и C₂ даны в полярные координаты от ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ и ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$ соответственно, то уравнение ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$ описывает циссоид C₁ и C₂ относительно начала координат. Однако, поскольку точка может быть представлена ​​множеством способов в полярных координатах, могут быть другие ветви циссоиды, которые имеют другое уравнение. Конкретно, C₁ также дается

${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Таким образом, циссоид на самом деле представляет собой объединение кривых, заданных уравнениями

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\ }$

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Его можно определить в индивидуальном порядке в зависимости от периодов ж₁ и ж₂, какое из этих уравнений можно исключить из-за дублирования.

Эллипс ${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$ в красном, с двумя циссоидными ветвями в черном и синем (происхождение)

Например, пусть C₁ и C₂ оба будут эллипсом

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$.

Первая ветвь циссоида представлена

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0}$,

который является просто источником. Эллипс также задается

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}}$,

так что вторая ветвь циссоида задается

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$

которая представляет собой кривую овальной формы.

Если каждый C₁ и C₂ задаются параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

и

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px}$,

тогда циссоид относительно начала координат определяется выражением

${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px}$.

Конкретные случаи

Когда C₁ круг с центром O, то циссоид раковина из C₂.

Когда C₁ и C₂ являются параллельными линиями, то циссоида - это третья линия, параллельная данным линиям.

Гиперболы

Позволять C₁ и C₂ две непараллельные прямые и пусть О быть источником. Пусть полярные уравнения C₁ и C₂ быть

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

и

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$.

Путем поворота на угол ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha 2)/2}$, можно считать, что ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$. Тогда циссоид C₁ и C₂ относительно начала координат определяется выражением

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$.

Объединение констант дает

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

который в декартовых координатах равен

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

Это гипербола, проходящая через начало координат. Итак, циссоида двух непараллельных прямых - это гипербола, содержащая полюс. Аналогичный вывод показывает, что, наоборот, любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на ней.

Циссоиды Заградника

А циссоид Заградника (названный в честь Карел Заградник ) определяется как циссоида коническая секция и прямая относительно любой точки коники. Это широкое семейство рациональных кубических кривых, содержащее несколько хорошо известных примеров. Конкретно:

• В Трисектрикс Маклорена данный

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

циссоида круга ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и линия ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ относительно начала координат.

• В правый строфоид

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

циссоида круга ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и линия ${\displaystyle x=-a}$ относительно начала координат.

• В циссоид диокла

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

циссоида круга ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и линия ${\displaystyle x=-2a}$ относительно начала координат. Фактически, это кривая, в честь которой и названо семейство, и некоторые авторы называют ее просто циссоидной.

• Циссоида круга ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и линия ${\displaystyle x=ka}$, где k - параметр, называется Conchoid of de Sluze. (Эти кривые на самом деле не являются раковинами.) Это семейство включает предыдущие примеры.
• В лист Декарта

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

циссоида эллипс ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ и линия ${\displaystyle x+y=-a}$ относительно начала координат. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что строку можно записать

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$

и эллипс можно записать

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$.

Таким образом, циссоид определяется выражением

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

который является параметрической формой листа.

Смотрите также

• Конхоид
• Строфоид

Рекомендации

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. стр.53–56. ISBN  0-486-60288-5.
• К. А. Нельсон "Замечание о рациональных плоских кубиках" Бык. Амер. Математика. Soc. Том 32, номер 1 (1926), 71-76.

внешняя ссылка

• «Циссоид», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Циссоид». MathWorld.
• 2D кривые