Теорема Фальтингсса - Faltingss theorem - Wikipedia

Теорема Фальтингса

Герд Фальтингс
Поле	Арифметическая геометрия
Предполагается	Луи Морделл
Предполагается в	1922
Первое доказательство	Герд Фальтингс
Первое доказательство в	1983
Обобщения	Гипотеза Бомбьери – Ланга Гипотеза Морделла – Лэнга
Последствия	Теорема Зигеля о целых точках

В арифметическая геометрия, то Гипотеза Морделла гипотеза, сделанная Морделл  (1922 ), что кривая род больше 1 над полем Q из рациональное число имеет только конечное количество рациональные точки. В 1983 году это было доказано Герд Фальтингс  (1983, 1984 ) и теперь известен как Теорема Фальтингса. Позднее гипотеза была обобщена заменой Q любым числовое поле.

Фон

Позволять C быть неособый алгебраическая кривая род грамм над Q. Тогда множество рациональных точек на C можно определить следующим образом:

• Дело грамм = 0: точек нет или бесконечно много; C рассматривается как коническая секция.
• Дело грамм = 1: нет очков, или C является эллиптическая кривая а его рациональные точки образуют конечно порожденная абелева группа (Теорема Морделла, позже обобщенный на Теорема Морделла – Вейля. ). Более того, Теорема Мазура о кручении ограничивает структуру торсионной подгруппы.
• Дело грамм > 1: согласно гипотезе Морделла, теперь теорема Фалтингса, C имеет только конечное число рациональных точек.

Доказательства

Шафаревич  (1963 ) выдвинули гипотезу о конечности, которая утверждала, что существует только конечное число классов изоморфизма абелевых многообразий фиксированной размерности и фиксированного поляризация степень над полем с фиксированным числом с хорошее сокращение вне данного конечного набора места. Паршин  (1968 ) показал, что гипотеза Морделла будет верна, если гипотеза Шафаревича о конечности верна, с использованием уловки Паршина.

Опалубки  (1983 ) доказал гипотезу Шафаревича о конечности, используя известную редукцию к случаю Гипотеза Тейта, а также ряд инструментов из алгебраическая геометрия, включая теорию Модели Néron. Основная идея доказательства Фальтингса - это сравнение Высота валов и наивные высоты через Модульные разновидности Siegel.^[1]

Более поздние доказательства

Доказательство, основанное на диофантово приближение был дан Войта  (1991 ). Более элементарный вариант доказательства Войты дал Bombieri  (1990 ).

Последствия

Статья Фалтингса от 1983 г. повлекла за собой ряд утверждений, о которых ранее предполагалось:

• В Гипотеза Морделла что кривая рода больше 1 над числовым полем имеет только конечное число рациональных точек;
• В Теорема изогении который абелевы разновидности с изоморфными Модули Тейт (в качестве Q_ℓ-модули с действием Галуа) изогенный.

Пример применения теоремы Фалтингса к слабой форме Последняя теорема Ферма: для любых фиксированных п ≥ 4 существует не более конечного числа примитивных целочисленных решений (попарно совмещать решения) а^п + б^п = c^п, поскольку для таких п то Кривая Ферма Икс^п + у^п = 1 имеет род больше 1.

Обобщения

Из-за Теорема Морделла – Вейля., Теорему Фальтингса можно переформулировать как утверждение о пересечении кривой C с конечно порожденной подгруппой Γ абелевого многообразия А. Обобщая заменой C произвольным подмногообразием А и Γ произвольной подгруппой конечного ранга группы А приводит к Гипотеза Морделла – Лэнга, что было доказано Фальтингсом (1991, 1994 ).

Еще одно многомерное обобщение теоремы Фалтингса - это Гипотеза Бомбьери – Ланга что если Икс это псевдоканоническое разнообразие (т.е. разновидность общего типа) над числовым полем k, тогда Икс(k) не является Зарисский плотный в Икс. Еще более общие предположения были высказаны Пол Войта.

Гипотеза Морделла для функциональных полей была доказана Манин  (1963 ) и Грауэрт  (1965 ). В 1990 г. Коулман  (1990 ) нашел и устранил пробел в доказательстве Манина.

Сноски

1. «Фальтингс связывает два понятия высоты с помощью пространства модулей Зигеля ... Это основная идея доказательства». Блох, Спенсер (1984). «Доказательство гипотезы Морделла». Математический интеллект. 6 (2): 44. Дои:10.1007 / BF03024155. S2CID  306251.

Рекомендации

• Бомбьери, Энрико (1990). «Возвращение к гипотезе Морделла». Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Наука. 17 (4): 615–640. МИСТЕР  1093712.
• Коулман, Роберт Ф. (1990). «Доказательство Маниным гипотезы Морделла над функциональными полями». L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIE Série. 36 (3): 393–427. ISSN  0013-8584. МИСТЕР  1096426. Архивировано из оригинал на 2011-10-02.
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х., ред. (1986). Арифметическая геометрия. Доклады конференции, прошедшей в Университете Коннектикута, Сторрс, Коннектикут, 30 июля - 10 августа 1984 г.. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN  0-387-96311-1. МИСТЕР  0861969. → Содержит английский перевод Фальтингс (1983)
• Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком). 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. Дои:10.1007 / BF01388432. МИСТЕР  0718935.
• Фальтингс, Герд (1984). «Исправление: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Inventiones Mathematicae (на немецком). 75 (2): 381. Дои:10.1007 / BF01388572. МИСТЕР  0732554.
• Фальтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Анна. математики. 133 (3): 549–576. Дои:10.2307/2944319. JSTOR  2944319. МИСТЕР  1109353.
• Фальтингс, Герд (1994). «Общий случай гипотезы С. Ланга». В Кристанте, Валентино; Мессинг, Уильям (ред.). Симпозиум Барсотти по алгебраической геометрии. Материалы симпозиума, состоявшегося в Абано-Терме 24–27 июня 1991 г.. Перспективы в математике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc. ISBN  0-12-197270-4. МИСТЕР  1307396.
• Грауэрт, Ганс (1965). "Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 25 (25): 131–149. Дои:10.1007 / BF02684399. ISSN  1618-1913. МИСТЕР  0222087.
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия. Тексты для выпускников по математике. 201. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN  0-387-98981-1. МИСТЕР  1745599. → Дает доказательство Войты теоремы Фальтингса.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. стр.101 –122. ISBN  3-540-61223-8.
• Манин, Ю. Я. (1963). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая (на русском). 27: 1395–1440. ISSN  0373-2436. МИСТЕР  0157971. (Перевод: Манин, Ю. (1966). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Переводы Американского математического общества: Серия 2. 59: 189–234. Дои:10.1090 / транс2 / 050/11. ISBN  9780821817506. ISSN  0065-9290. )
• Морделл, Луи Дж. (1922). «О рациональных решениях неопределенного уравнения третьей и четвертой степеней». Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179–192.
• Паршин, А.Н. (1970). "Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne" (PDF). Actes du Congrès International des Mathématiciens. Том 1. Ницца: Готье-Виллар (опубликовано в 1971 г.). С. 467–471. МИСТЕР  0427323. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-09-24. Получено 2016-06-11.
• Паршин, А. Н. (2001) [1994], "Гипотеза Морделла", Энциклопедия математики, EMS Press
• Паршин, А. (1968). «Алгебраические кривые над функциональными полями I». Изв. Акад. Наук. СССР сер. Математика. 32 (5): 1191–1219. Bibcode:1968ИзМат ... 2.1145П. Дои:10.1070 / IM1968v002n05ABEH000723.
• Шафаревич, И. (1963). «Поля алгебраических чисел». Материалы Международного конгресса математиков.: 163–176.
• Войта, Пол (1991). «Теорема Зигеля в компактном случае». Анна. математики. 133 (3): 509–548. Дои:10.2307/2944318. JSTOR  2944318. МИСТЕР  1109352.