Модуль Тейт - Tate module

В математика, а Модуль Тейт абелевой группы, названной в честь Джон Тейт, это модуль построенный из абелева группа А. Часто такая конструкция выполняется в следующей ситуации: грамм это коммутативная групповая схема через поле K, K^s это отделяемое закрытие из K, и А = грамм(K^s) ( K^s-оценки грамм ). В этом случае модуль Тэйта А оснащен действие из абсолютная группа Галуа из K, и он называется модулем Тэйта грамм.

Определение

Дана абелева группа А и простое число п, то п-адический модуль Тейта А является

{ displaystyle T_ {p} (A) = { underset { longleftarrow} { lim}} A [p ^ {n}]}

куда А[п^п] это п^п кручение из А (т.е. ядро умножения нап^п карта), а обратный предел кончено положительные целые числа п с переходные морфизмы дается умножением нап карта А[п^п+1] → А[п^п]. Таким образом, модуль Тейт кодирует все п-сила кручения А. Он имеет структуру Z_п -модуль через

{ displaystyle z (a_ {n}) _ {n} = ((z { text {mod}} p ^ {n}) a_ {n}) _ {n}.}

Примеры

В Модуль Тейт

Когда абелева группа А это группа корни единства в отделяемой крышке K^s из K, то п-адический модуль Тейта А иногда упоминается как в Модуль Тейт (где выбор п и K молчаливо понимаются). Это бесплатный модуль первого ранга над Z_п с линейным действием абсолютной группы Галуа грамм_K из K. Таким образом, это Представление Галуа также упоминается как п-адический циклотомический характер из K. Его также можно рассматривать как модуль Тейта мультипликативная групповая схема грамм_м,K над K.

Модуль Тейта абелевого многообразия

Учитывая абелева разновидность грамм над полем K, то K^s-оценки грамм являются абелевой группой. В п-адический модуль Тейт Т_п(грамм) из грамм является представлением Галуа (абсолютной группы Галуа, грамм_K, из K).

Классические результаты об абелевых многообразиях показывают, что если K имеет характеристика ноль, или характеристика ℓ, где простое число п ≠ ℓ, то Т_п(грамм) - свободный модуль над Z_п 2 рангаd, куда d это размер грамм.^[1] В противном случае он по-прежнему бесплатен, но ранг может принимать любое значение от 0 до d (см. например Матрица Хассе – Витта ).

В случае, когда п не равно характеристике K, то п-адический модуль Тейта грамм это двойной из этальные когомологии ${ displaystyle H _ { text {et}} ^ {1} (G times _ {K} K ^ {s}, mathbf {Z} _ {p})}$ .

Частный случай Гипотеза Тейта можно сформулировать в терминах модулей Тейт.^[2] Предполагать K является конечно порожденный над его основное поле (например, конечное поле, поле алгебраических чисел, а поле глобальной функции ), характеристики отличной от п, и А и B два абелевых многообразия над K. Тогда гипотеза Тейта предсказывает, что

{ Displaystyle mathrm {Hom} _ {K} (A, B) otimes mathbf {Z} _ {p} cong mathrm {Hom} _ {G_ {K}} (T_ {p} (A) , T_ {p} (B))}

где Hom_K(А, B) - группа морфизмы абелевых многообразий из А к B, а правая часть - группа грамм_K-линейные карты из Т_п(А) к Т_п(B). Случай, когда K является конечным полем, было доказано самим Тейтом в 1960-х годах.^[3] Герд Фальтингс доказал случай, когда K - числовое поле в его знаменитой «газете Морделла».^[4]

В случае якобиана над кривой C над конечным полем k характеристического простого числа п, модуль Тейта можно отождествить с группой Галуа составного расширения

{ Displaystyle к (С) подмножество { шляпа {к}} (С) подмножество А ^ {(р)} }

куда ${ displaystyle { hat {k}}}$ является продолжением k содержащий все п-силовые корни единства и А^(п) - максимальный неразветвленный абелев п-расширение ${ Displaystyle { шляпа {к}} (С)}$ .^[5]

Модуль Тейта числового поля

Описание модуля Тейта для функционального поля кривой над конечным полем предлагает определение модуля Тейта поле алгебраических чисел, другой класс глобальное поле, представлен Кенкичи Ивасава. Для числового поля K мы позволяем K_м обозначим расширение через п^м-силовые корни единства, ${ displaystyle { hat {K}}}$ союз K_м и А^(п) максимальный неразветвленный абелев п-расширение ${ displaystyle { hat {K}}}$ . Позволять

{ displaystyle T_ {p} (K) = mathrm {Gal} (A ^ {(p)} / { hat {K}}) .}

потом Т_п(K) является про-п-группа и так Z_п-модуль. С помощью теория поля классов можно описать Т_п(K) как изоморфный обратному пределу групп классов C_м из K_м под норм.^[5]

Ивасава выставлен Т_п(K) как модуль над пополнением Z_п[[Т]], откуда следует формула для показателя степени п в порядке групп классов C_м формы

{ Displaystyle лямбда м + му п ^ {м} + каппа .}

В Теорема Ферреро – Вашингтона утверждает, что μ равен нулю.^[6]

Смотрите также

Примечания

^ Мурти 2000, Предложение 13.4
^ Мурти 2000, §13.8
^ Тейт 1966
^ Фальтингс 1983 г.
^ ^а ^б Манин и Панчишкин 2007, п. 245
^ Манин и Панчишкин 2007, п. 246