Конечно порожденная алгебра - Finitely generated algebra

В математика, а конечно порожденная алгебра (также называемый алгебра конечного типа) это коммутативный ассоциативная алгебра А через поле K где существует конечный набор элементов а₁,...,а_п из А так что каждый элемент А можно выразить как многочлен в а₁,...,а_п, с коэффициентами в K.

Эквивалентно существуют элементы ${displaystyle a_{1},dots ,a_{n}in A}$ s.t. гомоморфизм оценок в ${displaystyle {f {a}}=(a_{1},dots ,a_{n})}$

${displaystyle phi _{f {a}}colon K[X_{1},dots ,X_{n}] woheadrightarrow A}$

сюръективно; таким образом, применяя первую теорему об изоморфизме ${displaystyle Asimeq K[X_{1},dots ,X_{n}]/{m {ker}}(phi _{f {a}})}$.

Наоборот, ${displaystyle A:=K[X_{1},dots ,X_{n}]/I}$ для любого идеала ${displaystyle Isubset K[X_{1},dots ,X_{n}]}$ это ${displaystyle K}$-алгебра конечного типа, да и любой элемент ${displaystyle A}$ является многочленом от смежных классов ${displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,dots ,n}$ с коэффициентами в ${displaystyle K}$. Таким образом, мы получаем следующую характеризацию конечно порожденных ${displaystyle K}$-алгебры^[1]

${displaystyle A}$ является конечно порожденным ${displaystyle K}$-алгебра тогда и только тогда, когда она изоморфна факторкольцу типа ${displaystyle K[X_{1},dots ,X_{n}]/I}$ идеалом ${displaystyle Isubset K[X_{1},dots ,X_{n}]}$.

Если необходимо выделить поле K то алгебра называется конечно порожденной над K. Не конечно порожденные алгебры называются бесконечно порожденный.

Примеры

• В полиномиальная алгебра K[Икс₁,...,Икс_п] конечно порожден. Алгебра полиномов в бесконечно счетно много генераторы бесконечно порождены.
• Поле E = K(т) из рациональные функции в одной переменной над бесконечным полем K является нет конечно порожденная алгебра над K. С другой стороны, E генерируется над K одним элементом, т, как поле.
• Если E/F это конечное расширение поля то из определений следует, что E конечно порожденная алгебра над F.
• Наоборот, если E /F является расширением поля и E конечно порожденная алгебра над F тогда расширение поля конечно. Это называется Лемма Зарисского. Смотрите также интегральное расширение.
• Если грамм это конечно порожденная группа затем групповое кольцо КГ конечно порожденная алгебра над K.

Характеристики

• А гомоморфный образ конечно порожденной алгебры конечно порождена. Однако аналогичное свойство для подалгебры не держит в целом.
• Базисная теорема Гильберта: если А является конечно порожденной коммутативной алгеброй над нётеровым кольцом, то каждое идеальный из А конечно порожден, или, что то же самое, А это Кольцо Нётериана.

Связь с аффинными разновидностями

Конечно порожденный уменьшенный коммутативные алгебры являются основными объектами рассмотрения в современном алгебраическая геометрия, где они соответствуют аффинные алгебраические многообразия; по этой причине эти алгебры также называются (коммутативными) аффинные алгебры. Точнее, для аффинного алгебраического множества ${displaystyle Vsubset mathbb {A} ^{n}}$ мы можем связать конечно порожденный ${displaystyle K}$-алгебра

${displaystyle Gamma (V):=K[X_{1},dots ,X_{n}]/I(V)}$

называется аффинным координатным кольцом ${displaystyle V}$; кроме того, если ${displaystyle phi colon V o W}$ является регулярным отображением аффинных алгебраических множеств ${displaystyle Vsubset mathbb {A} ^{n}}$ и ${displaystyle Wsubset mathbb {A} ^{m}}$, мы можем определить гомоморфизм ${displaystyle K}$-алгебры

${displaystyle Gamma (phi )equiv phi ^{*}colon Gamma (W) o Gamma (V),,phi ^{*}(f)=fcirc phi ,}$

тогда, ${displaystyle Gamma }$ это контравариантный функтор из категории аффинных алгебраических множеств с регулярными отображениями в категорию редуцированных конечно порожденных ${displaystyle K}$-алгебры: этот функтор оказывается^[2]быть эквивалентность категорий

${displaystyle Gamma colon ({ ext{affine algebraic sets}})^{m {opp}} o ({ ext{reduced finitely generated }}K{ ext{-algebras}}),}$

и, ограничиваясь аффинные разновидности (т.е. несводимый аффинные алгебраические множества),

${displaystyle Gamma colon ({ ext{affine algebraic varieties}})^{m {opp}} o ({ ext{integral finitely generated }}K{ ext{-algebras}}).}$

Конечные алгебры против алгебр конечного типа

Напомним, что коммутативная ${displaystyle R}$-алгебра ${displaystyle A}$ является гомоморфизмом колец ${displaystyle phi colon R o A}$; то ${displaystyle R}$-модульная структура ${displaystyle A}$ определяется

${displaystyle lambda cdot a:=phi (lambda )a,quad lambda in R,ain A.}$

An ${displaystyle R}$-алгебра ${displaystyle A}$ является конечный если это конечно порожденный как ${displaystyle R}$-модуль, т.е. существует сюръективный гомоморфизм ${displaystyle R}$-модули

${displaystyle R^{oplus _{n}} woheadrightarrow A.}$

Опять же, есть характеристика конечные алгебры в терминах частных^[3]

An ${displaystyle R}$-алгебра ${displaystyle A}$ конечно тогда и только тогда, когда оно изоморфно факторному ${displaystyle R^{oplus _{n}}/M}$ по ${displaystyle R}$-подмодуль ${displaystyle Msubset R}$.

По определению конечный ${displaystyle R}$-алгебра имеет конечный тип, но обратное неверно: кольцо многочленов ${displaystyle R[X]}$ имеет конечный тип, но не конечный.

Конечные алгебры и алгебры конечного типа связаны с понятиями конечные морфизмы и морфизмы конечного типа.

Рекомендации

1. Кемпер, Грегор (2009). Курс коммутативной алгебры. Springer. п. 8. ISBN  978-3-642-03545-6.
2. Гёрц, Ульрих; Ведхорн, Торстен (2010). Алгебраическая геометрия I. Схемы с примерами и упражнениями.. Springer. п. 19. ISBN  978-3-8348-0676-5.
3. Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, Ян Грант (1994). Введение в коммутативную алгебру. CRC Press. п. 21. ISBN  9780201407518.

Смотрите также

• Конечно порожденный модуль
• Конечно генерируемое расширение поля
• Лемма Артина – Тейта.
• Конечная алгебра
• Морфизмы конечного типа