Лемма Артина – Тейта. - Artin–Tate lemma

В алгебре Лемма Артина – Тейта., названный в честь Эмиль Артин и Джон Тейт, состояния:^[1]

Позволять А быть коммутативным Кольцо Нётериана и

{ displaystyle B subset C}

коммутативный алгебры над А. Если C имеет конечный тип над А и если C конечно над B, тогда B имеет конечный тип над А.

(Здесь "конечного типа" означает "конечно порожденная алгебра "а" конечный "означает"конечно порожденный модуль ".) Лемма была введена Э. Артином и Дж. Тейтом в 1951 г.^[2] предоставить доказательство Nullstellensatz Гильберта.

Лемма аналогична лемме Теорема Икина – Нагаты, который говорит: если C конечно над B и C является нётеровым кольцом, то B является нётеровым кольцом.

Доказательство

Следующее доказательство можно найти у Атьи – Макдональда.^[3] Позволять ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {m}}$ генерировать ${ displaystyle C}$ как ${ displaystyle A}$ -алгебра и пусть ${ displaystyle y_ {1}, ldots, y_ {n}}$ генерировать ${ displaystyle C}$ как ${ displaystyle B}$ -модуль. Тогда мы можем написать

{ displaystyle x_ {i} = sum _ {j} b_ {ij} y_ {j} quad { text {and}} quad y_ {i} y_ {j} = sum _ {k} b_ { ijk} y_ {k}}

с участием ${ displaystyle b_ {ij}, b_ {ijk} in B}$ . потом ${ displaystyle C}$ конечно над ${ displaystyle A}$ -алгебра ${ displaystyle B_ {0}}$ генерируется ${ displaystyle b_ {ij}, b_ {ijk}}$ . Используя это ${ displaystyle A}$ и, следовательно ${ displaystyle B_ {0}}$ Нётер, также ${ displaystyle B}$ конечно над ${ displaystyle B_ {0}}$ . поскольку ${ displaystyle B_ {0}}$ является конечно порожденным ${ displaystyle A}$ -алгебра, также ${ displaystyle B}$ является конечно порожденным ${ displaystyle A}$ -алгебра.

Нётериан необходим

Без предположения, что А является нётеровым, утверждение леммы Артина-Тейта больше не верно. Ведь для любого нётеровское кольцо А мы можем определить А-алгебра на ${ displaystyle C = A oplus A}$ объявив ${ Displaystyle (а, х) (b, y) = (ab, bx + ay)}$ . Тогда для любого идеала ${ displaystyle I subset A}$ который не является конечно порожденным, ${ displaystyle B = A oplus I subset C}$ не конечного типа над А, но все условия из леммы выполнены.

Заметки

^ Эйзенбуд, Упражнение 4.32
^ E Artin, JT Tate, "Замечание о конечных кольцевых расширениях", J. Math. Soc Japan, том 3, 1951, стр. 74–77.
^ Атья-Макдональд 1969, Предложение 7.8

использованная литература

Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
М. Атия, I.G. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Эддисон – Уэсли, 1994. ISBN 0-201-40751-5

внешние ссылки

http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma

[1] Эйзенбуд, Упражнение 4.32

[2] E Artin, JT Tate, "Замечание о конечных кольцевых расширениях", J. Math. Soc Japan, том 3, 1951, стр. 74–77.

[3] Атья-Макдональд 1969, Предложение 7.8

[1]

[2]

[3]