Лемма Заришкиса - Zariskis lemma - Wikipedia

В алгебра, Лемма Зарисского, доказано Оскар Зариски  (1947 ), утверждает, что если поле K является конечно порожденный как ассоциативная алгебра над другим полем k, тогда K это конечное расширение поля из k (то есть он также конечно порожден как векторное пространство ).

Важное приложение леммы - доказательство слабой формы Nullstellensatz Гильберта:^[1] если я это правильный идеальный из ${\displaystyle k[t_{1},...,t_{n}]}$ (k алгебраически замкнутое поле ), тогда я имеет ноль; т.е. есть точка Икс в ${\displaystyle k^{n}}$ такой, что ${\displaystyle f(x)=0}$ для всех ж в я. (Доказательство: замена я по максимальный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, можно предположить ${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$ максимально. Позволять ${\displaystyle A=k[t_{1},...,t_{n}]}$ и ${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}}$ быть естественным сюрпризом. С k алгебраически замкнуто, по лемме ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}=k}$ а потом для любого ${\displaystyle f\in {\mathfrak {m}}}$,

${\displaystyle f(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))=\phi (f(t_{1},\cdots ,t_{n}))=0}$;

то есть, ${\displaystyle x=(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))}$ это ноль ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.)

Лемму также можно понять со следующей точки зрения. В общем, кольцо р это Кольцо Jacobson тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный р-алгебра, являющаяся полем, конечна над р.^[2] Таким образом, лемма следует из того, что поле является кольцом Джекобсона.

Доказательство

Два прямых доказательства, одно из которых принадлежит Зарисскому, даны в Атье – Макдональде.^[3][4] Оригинальное доказательство Зарисского см. В исходной статье.^[5] Еще одно прямое доказательство на языке Кольца Якобсона приведен ниже. Лемма также является следствием Лемма Нётер о нормализации. Действительно, по лемме о нормализации K это конечный модуль над кольцом многочленов ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}$ куда ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ являются элементами K которые алгебраически независимы над k. Но с тех пор K имеет нулевую размерность Крулля, и поскольку интегральное кольцевое удлинение (например, конечное расширение кольца) сохраняет размерность Крулля, кольцо многочленов должно иметь размерность ноль; т.е. ${\displaystyle d=0}$.

Следующая характеризация кольца Джекобсона содержит лемму Зарисского как частный случай. Напомним, что кольцо является кольцом Джекобсона, если каждый первичный идеал является пересечением максимальных идеалов. (Когда А это поле, А является кольцом Джекобсона, и следующая теорема является в точности леммой Зарисского.)

Теорема — ^[2] Позволять А несущий. Тогда следующие эквивалентны.

1. А кольцо Якобсона.
2. Каждый конечно порожденный А-алгебра B то есть поле конечно над А.

Доказательство: 2. ${\displaystyle \Rightarrow }$ 1 .: Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ быть главным идеалом А и установить ${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$. Нам нужно показать Радикал Якобсона из B равно нулю. Для этого пусть ж быть ненулевым элементом B. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ быть максимальным идеалом локализации ${\displaystyle B[f^{-1}]}$. потом ${\displaystyle B[f^{-1}]/{\mathfrak {m}}}$ - поле, которое является конечно порожденным А-алгебра и поэтому конечна над А по предположению; таким образом, он конечен над ${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$ и поэтому конечно над подкольцом ${\displaystyle B/{\mathfrak {q}}}$ куда ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {m}}\cap B}$. По целостности ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ - максимальный идеал, не содержащий ж.

1. ${\displaystyle \Rightarrow }$ 2 .: Поскольку фактор-кольцо кольца Джекобсона является кольцом Джекобсона, мы можем считать B содержит А как подкольцо. Тогда утверждение является следствием следующего алгебраического факта:

(*) Позволять ${\displaystyle B\supset A}$ - области целостности такие, что B конечно порожден как А-алгебра. Тогда существует ненулевое а в А такой, что каждый гомоморфизм колец ${\displaystyle \phi :A\to K}$, K алгебраически замкнутое поле с ${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$ распространяется на ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$.

Действительно, выберите максимальный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ из А не содержащий а. Письмо K для некоторого алгебраического замыкания ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$, каноническое отображение ${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}\hookrightarrow K}$ распространяется на ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$. С B это поле, ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}}$ инъективен и поэтому B является алгебраическим (следовательно, конечным алгебраическим) над ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$. Теперь докажем (*). Если B содержит элемент, который трансцендентален над А, то он содержит кольцо многочленов над А которому φ расширяется (без требования на а), поэтому можно считать B алгебраичен над А (скажем, по лемме Цорна). Позволять ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ быть генераторами B в качестве А-алгебра. Тогда каждый ${\displaystyle x_{i}}$ удовлетворяет соотношению

${\displaystyle a_{i0}x_{i}^{n}+a_{i1}x_{i}^{n-1}+\dots +a_{in}=0,\,\,a_{ij}\in A}$

куда п зависит от я и ${\displaystyle a_{i0}\neq 0}$. Набор ${\displaystyle a=a_{10}a_{20}\dots a_{r0}}$. потом ${\displaystyle B[a^{-1}]}$ является целым над ${\displaystyle A[a^{-1}]}$. Теперь учитывая ${\displaystyle \phi :A\to K}$, мы сначала расширим его до ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to K}$ установив ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(a^{-1})=\phi (a)^{-1}}$. Далее пусть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ker} {\widetilde {\phi }}}$. По целостности ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap A[a^{-1}]}$ для некоторого максимального идеала ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ из ${\displaystyle B[a^{-1}]}$. потом ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to A[a^{-1}]/{\mathfrak {m}}\to K}$ распространяется на ${\displaystyle B[a^{-1}]\to B[a^{-1}]/{\mathfrak {n}}\to K}$. Ограничить последнюю карту B чтобы закончить доказательство. ${\displaystyle \square }$

Примечания

1. Milne, Теорема 2.12 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMilne (помощь)
2. Атья-Макдональд 1969, Глава 5. Упражнение 25 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAtiyah-MacDonald1969 (помощь)
3. Атья-Макдональд 1969, Глава 5. Упражнение 18 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAtiyah – MacDonald1969 (помощь)
4. Атья-Макдональд 1969, Предложение 7.9 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAtiyah – MacDonald1969 (помощь)
5. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183510605

Рекомендации

• М. Атия, I.G. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Эддисон – Уэсли, 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Джеймс Милн, Алгебраическая геометрия
• Зарисский, Оскар (1947), "Новое доказательство Nullstellensatz Гильберта", Бык. Амер. Математика. Soc., 53: 362–368, Дои:10.1090 / с0002-9904-1947-08801-7, МИСТЕР  0020075