Гипотеза Бомбьери – Ланга - Bombieri–Lang conjecture - Wikipedia

В арифметическая геометрия, то Гипотеза Бомбьери – Ланга это нерешенная проблема, выдвинутая Энрико Бомбьери и Серж Ланг о Плотность Зарисского из набора рациональные точки из алгебраическое многообразие из общий тип.

Заявление

Слабая гипотеза Бомбьери – Ланга для поверхностей утверждает, что если гладкий поверхность общего типа определяется над числовым полем , то -рациональные точки не образуют плотный набор в Топология Зарисского на .[1]

Общая форма гипотезы Бомбьери – Ланга утверждает, что если - алгебраическое многообразие общего типа, определенное над числовым полем , то -рациональные точки не образуют плотного множества в топологии Зарисского.[2][3][4]

Уточненная форма гипотезы Бомбьери – Ланга утверждает, что если является алгебраическим многообразием общего типа, определенным над числовым полем , то существует плотное открытое подмножество из так что для всех расширений числовых полей над , набор -рациональные точки в конечно.[4]

История

Гипотеза Бомбьери – Ланга была независимо сформулирована Энрико Бомбьери и Сержем Лангом. В лекции 1980 г. Чикагский университет, Энрико Бомбьери поставил задачу о вырождении рациональных точек для поверхностей общего типа.[1] Независимо в серии статей, начиная с 1971 года, Серж Ланг предположил более общую связь между распределением рациональных точек и алгебраическая гиперболичность,[1][5][6][7] сформулирована в «уточненной форме» гипотезы Бомбьери – Ланга.[4]

Обобщения и выводы

Гипотеза Бомбьери – Ланга является аналогом для поверхностей Теорема Фальтингса, который утверждает, что алгебраические кривые рода больше единицы имеют только конечное число рациональных точек.[8]

Если это правда, гипотеза Бомбьери – Ланга разрешила бы Проблема Эрдеша – Улама, поскольку это означало бы, что не существует плотных подмножеств евклидовой плоскости, все попарные расстояния которых рациональны.[8][9]

В 1997 г. Люсия Капорасо, Барри Мазур, Джо Харрис, а Патрисия Пачелли показала, что из гипотезы Бомбьери – Ланга следует тип равномерная ограниченность гипотеза: существует постоянная в зависимости только от и такое, что количество рациональных точек любого род изгиб по любому степень числовое поле не более .[2][3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Дас, Пранабеш; Turchet, Amos (2015), «Приглашение к целым и рациональным точкам на кривых и поверхностях», в Gasbarri, Carlo; Лу, Стивен; Рот, Майк; Чинкель Юрий (ред.), Рациональные точки, рациональные кривые и целые голоморфные кривые на проективных многообразиях, Современная математика, 654, Американское математическое общество, стр. 53–73, arXiv:1407.7750
  2. ^ а б Пунен, Бьорн (2012), Равномерная ограниченность рациональных точек и препериодических точек, arXiv:1206.7104
  3. ^ а б Консейсао, Рикардо; Улмер, Дуглас; Волох, Хосе Фелипе (2012), «Неограниченность числа рациональных точек на кривых над функциональными полями», Нью-Йоркский математический журнал, 18: 291–293
  4. ^ а б c Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), «F.5.2. Гипотеза Бомбьери – Ланга», Диофантова геометрия: введение, Тексты для выпускников по математике, 201, Springer-Verlag, New York, pp. 479–482, Дои:10.1007/978-1-4612-1210-2, ISBN  0-387-98975-7, МИСТЕР  1745599
  5. ^ Ланг, Серж (1971), «Трансцендентные числа и диофантовы приближения», Бюллетень Американского математического общества, 77 (5), стр. 635–678, Дои:10.1090 / S0002-9904-1971-12761-1, ISSN  0002-9904
  6. ^ Ланг, Серж (1974), «Многомерные диофантовы проблемы», Бюллетень Американского математического общества, 80 (5), стр. 779–788, Дои:10.1090 / S0002-9904-1974-13516-0, ISSN  0002-9904
  7. ^ Ланг, Серж (1983), Основы диофантовой геометрии, Нью-Йорк: Springer-Verlag, п. 224, г. ISBN  0-387-90837-4
  8. ^ а б Тао, Теренс (20 декабря 2014 г.), «Проблема Эрдоша-Улама, многообразия общего типа и гипотеза Бомбьери-Ланга», Какие новости
  9. ^ Шаффаф, Джафар (май 2018 г.), «Решение проблемы Эрдеша – Улама о рациональных дистанционных множествах в предположении гипотезы Бомбьери – Ланга», Дискретная и вычислительная геометрия, 60 (8), arXiv:1501.00159, Дои:10.1007 / s00454-018-0003-3