Поверхность общего типа - Surface of general type

В алгебраическая геометрия, а поверхность общего типа является алгебраическая поверхность с Кодаира измерение 2. Из-за Теорема Чоу любое компактное комплексное многообразие размерности 2 и размерности Кодаиры 2 будет фактически алгебраической поверхностью, и в некотором смысле большинство поверхностей относятся к этому классу.

Классификация

Гизекер показал, что существует грубая схема модулей для поверхностей общего типа; это означает, что для любых фиксированных значений Числа Черна ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2},}$ Существует квазипроективная схема классификация поверхностей общего типа с помощью этих чисел Черна. Явное описание этих схем остается очень сложной проблемой, и есть несколько пар чисел Черна, для которых это было сделано (кроме тех случаев, когда схема пуста). Есть некоторые признаки того, что эти схемы в целом слишком сложны, чтобы их можно было записать явно: известные верхние границы для числа компонентов очень велики, некоторые компоненты могут быть несокращенный повсюду компоненты могут иметь много разных размеров, и несколько частей, которые были подробно изучены, имеют тенденцию выглядеть довольно сложными.

Числа Черна минимальных комплексных поверхностей

Изучение того, какие пары чисел Черна могут встречаться для поверхности общего типа, известно как "география чисел Черна"и есть почти полный ответ на этот вопрос. Есть несколько условий, при которых Числа Черна из минимальный сложная поверхность общего типа должна удовлетворять:

• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}}$ (так как он равен 12χ)
• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$ (в Неравенство Богомолова-Мияока-Яу )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0}$ где q это неровность поверхности (в Неравенство Нётер ).

Многие (а возможно и все) пары целых чисел, удовлетворяющие этим условиям, являются числами Черна для некоторой комплексной поверхности общего типа. почти сложный поверхностей, единственное ограничение:

${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},}$

и это всегда можно реализовать.^[1]

Примеры

Это лишь небольшая часть из довольно большого числа найденных примеров поверхностей общего типа. Многие из исследованных поверхностей общего типа лежат на (или около) краях области возможных чисел Черна. В частности, поверхности Хорикавы лежат на «линии Нётер» или рядом с ней, многие из поверхностей, перечисленных ниже, лежат на линии ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}=12\chi =12,}$ минимально возможное значение для общего типа и поверхностей на линии ${\displaystyle 3c_{2}=c_{1}^{2}}$ являются частными единичного шара в C² (и их особенно трудно найти).

Поверхности с χ = 1

Эти поверхности, расположенные на «нижней левой» границе диаграммы, были детально изучены. Для этих поверхностей со вторым классом Черна может быть любое целое число от 3 до 11. Поверхности со всеми этими значениями известны; Вот несколько из множества изученных примеров:

• c₂ = 3: Поддельная проективная плоскость (Поверхность Мамфорда). Первый пример был найден Мамфордом с помощью п-адическая геометрия, а всего 50 примеров. Они имеют те же числа Бетти, что и проективная плоскость, но не гомеоморфны ей, поскольку их фундаментальные группы бесконечны.
• c₂ = 4: Поверхности Бовиля названы в честь Арно Бовиля и имеют бесконечную фундаментальную группу.
• c₂ ≥ 4: Бурниатные поверхности
• c₂ = 10: Кампеделли поверхности. Поверхности с одинаковыми числами Ходжа называются числовые поверхности Кампеделли.
• c₂ = 10: Катанские поверхности просто связаны.
• c₂ = 11: Годо поверхности. Циклическая группа порядка 5 свободно действует на Поверхность Ферма очков ${\displaystyle (w:x:y:z)}$ в п³ удовлетворение ${\displaystyle w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0}$ путем сопоставления ${\displaystyle (w:x:y:z)}$ к ${\displaystyle (w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)}$ где ρ - корень пятой степени из 1. Фактор этого действия является исходным Годо поверхность. Другие поверхности, построенные аналогичным образом с такими же числами Ходжа, также иногда называют поверхностями Годо. Поверхности с одинаковыми числами Ходжа (например, поверхности Барлоу) называются числовые поверхности Годо. Фундаментальная группа (исходной поверхности Годо) циклическая порядка 5.
• c₂ = 11: Поверхности Барлоу просто связаны. Вместе с поверхностью Крейгеро-Гаттаццо это единственные известные примеры односвязных поверхностей общего типа с п_грамм = 0.
• Поверхности Тодорова привести контрпримеры к заключению Теорема Торелли

Другие примеры

• Поверхности Кастельнуово: В другом экстремальном случае Кастельнуово доказал, что если каноническое расслоение очень обильно для поверхности общего типа, то ${\displaystyle c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.}$ Поверхность Кастельнуово - это поверхности общего типа, такие, что каноническое расслоение очень обильно и что ${\displaystyle c_{1}^{2}=3p_{g}-7.}$
• Полные пересечения: Гладкое полное пересечение гиперповерхностей степеней ${\displaystyle d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2}$ в п^п является поверхностью общего типа, если только степени не равны (2), (3), (2, 2) (рациональные), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (размерность Кодаиры 0). Полные перекрестки все односвязны. Особым случаем являются гиперповерхности: например, в п³, неособые поверхности степени не ниже 5 имеют общий тип (Неособые гиперповерхности степени 4 суть K3 поверхности, а степень менее 4 - рациональный ).
• Поверхности Фано линий на кубический 3-кратный.
• Гильбертовые модульные поверхности в основном общего типа.
• Поверхности Хорикавы поверхности с q = 0 и ${\displaystyle p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2}$ или ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}}$ (что означает, что они находятся более или менее на краю «линии Нётер» области возможных значений чисел Черна). Все они просто связаны, и Хорикава дал их подробное описание.
• Товары: произведение двух кривых рода не менее 2 является поверхностью общего типа.
• Двойные накрытия неособой степени 2м кривые в п² имеют общий тип, если ${\displaystyle 2m\geqslant 8.}$ (Для 2м= 2 они рациональны, при 2м= 4 они снова рациональны и называются двойные самолеты дель Пеццо, а для 2м= 6 они K3 поверхности.) Они односвязны и имеют числа Черна. ${\displaystyle c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.}$

Канонические модели

Бомбьери (1973) доказал, что мультиканоническое отображение φ_нК для комплексной поверхности общего типа является бирациональным изоморфизмом на свой образ всякий раз, когда п≥5, и Экедаль (1988) показал, что тот же результат сохраняется и в положительной характеристике. Существуют поверхности, для которых это не бирациональный изоморфизм, когда п равно 4. Эти результаты следуют из Теорема Рейдера.

Смотрите также

• Классификация Энриквеса-Кодаира
• Список алгебраических поверхностей

Примечания

1. Ван Де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 55 (6): 1624–1627. Bibcode:1966ПНАС ... 55,1624В. Дои:10.1073 / pnas.55.6.1624. ЧВК  224368. PMID  16578639.

Рекомендации

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М.; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, Дои:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN  978-3-540-00832-3, Г-Н  2030225
• Бомбьери, Энрико (1973), «Канонические модели поверхностей общего типа», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 42 (42): 171–219, Дои:10.1007 / BF02685880, Г-Н  0318163, S2CID  56081921
• Экедаль, Торстен (1988), «Канонические модели поверхностей общего типа в положительной характеристике», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 67 (67): 97–144, Дои:10.1007 / BF02699128, Г-Н  0972344, S2CID  54756971
• П. Гриффитс; Дж. Харрис (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, ISBN  0-471-05059-8
• Исковских, В.А. (2001) [1994], «Алгебраическая поверхность общего типа», Энциклопедия математики, EMS Press