Неровность поверхности - Irregularity of a surface

В математике неправильность из сложная поверхность Икс это Номер Ходжа ${displaystyle h^{0,1}=dim H^{1}({mathcal {O}}_{X})}$, обычно обозначаемый q.^[1] Неправильность алгебраической поверхности иногда определяется как это число Ходжа, а иногда определяется как размерность Разновидность пикара, который такой же в характеристике 0, но может быть меньше в положительной характеристике.^[2]

Название «нерегулярность» происходит от того факта, что для первых детально исследованных поверхностей гладкие комплексные поверхности в P³, неравномерность исчезает. Неравномерность затем появилась как новый «поправочный» термин, измеряющий разницу. ${displaystyle p_{g}-p_{a}}$ из геометрический род и арифметический род более сложных поверхностей. Поверхности иногда называют регулярными или неровными в зависимости от того, исчезла неровность или нет.

Для комплексного аналитического многообразия Икс общей размерности число Ходжа ${displaystyle h^{0,1}=dim H^{1}({mathcal {O}}_{X})}$ называется неправильностью ${displaystyle X}$, и обозначается q.

Сложные поверхности

Для неособого комплексного проективного (или Kähler ) поверхностей все следующие числа равны:

• Неравномерность;
• Размер Сорт Альбанезе;
• Размер Разновидность пикара;
• В Номер Ходжа ${displaystyle h^{0,1}=dim H^{1}(Omega _{X}^{0})}$;
• В Номер Ходжа ${displaystyle h^{1,0}=dim H^{0}(Omega _{X}^{1})}$;
• Разница ${displaystyle p_{g}-p_{a}}$ из геометрический род и арифметический род.

Для поверхностей с положительной характеристикой или для некелеровых комплексных поверхностей не обязательно, чтобы все числа были равны.

Анри Пуанкаре доказал, что для комплексных проективных поверхностей размерность многообразия Пикара равна Номер Ходжа час^0,1, и то же верно для всех компактных кэлеровых поверхностей. Неправильность гладких компактных кэлеровых поверхностей инвариантна относительно бимероморфных преобразований.^[3]

Для общих компактных комплексных поверхностей два числа Ходжа час^1,0 и час^0,1 не обязательно быть равным, но час^0,1 либо час^1,0 или же час^1,0+1, и равно час^1,0 для компактных Кэлеровы поверхности.

Положительная характеристика

Над полями положительная характеристика, связь между q (определяется как размерность многообразия Пикара или Альбанезе), а числа Ходжа час^0,1 и час^1,0 более сложный, и любые два из них могут быть разными.

Есть каноническая карта с поверхности F своему сорту Альбанезе А который индуцирует гомоморфизм из кокасательного пространства многообразия Альбанезе (размерности q) к ЧАС^1,0(F).^[4] Дзюн-Ичи Игуса обнаружил, что это инъективно, так что ${displaystyle qleq h^{1,0}}$, но вскоре после этого была обнаружена поверхность характеристики 2 с ${displaystyle h^{1,0}=h^{0,1}=2}$ и Разновидность пикара размерности 1, так что q может быть строго меньше обоих чисел Ходжа.^[4] В положительной характеристике ни одно число Ходжа не всегда ограничено другим. Серр показал, что это возможно час^1,0 исчезнуть пока час^0,1 положительна, а Мамфорд показал, что для Поверхности Энриквес в характеристике 2 возможно час^0,1 исчезнуть пока час^1,0 положительный.^[5][6]

Александр Гротендик дал полное описание отношения q к ${displaystyle h^{0,1}}$по всем характеристикам. Размерность касательного пространства к схеме Пикара (в любой точке) равна ${displaystyle h^{0,1}}$.^[7] В характеристике 0 в результате Пьер Картье показал, что все групповые схемы конечного типа неособы, поэтому размерность их касательного пространства является их размерностью. С другой стороны, в положительной характеристике групповая схема может быть нередуцированной в каждой точке, так что размерность будет меньше размерности любого касательного пространства, что и происходит в примере Игусы. Мамфорд показывает, что касательное пространство к многообразию Пикара является подпространством ЧАС^0,1 уничтожен всеми Операции Бокштейна из ЧАС^0,1 к ЧАС^0,2, поэтому неравномерность q равно час^0,1 тогда и только тогда, когда все эти операции Бокштейна исчезнут.^[6]

Рекомендации

1. Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3, МИСТЕР  2030225
2. Бомбьери, Энрико; Мамфорд, Дэвид (1977), "Классификация поверхностей Энриквесом в таблице II", Комплексный анализ и алгебраическая геометрия, Tokyo: Iwanami Shoten, pp. 23–42, МИСТЕР  0491719
3. Пуанкаре, Анри (1910), "Sur les courbes tracées sur les поверхности algébriques", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 3, 27: 55–108, Дои:10.24033 / asens.617
4. Игуса, Джун-Ичи (1955), «Фундаментальное неравенство в теории многообразий Пикара», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 41 (5): 317–320, Дои:10.1073 / pnas.41.5.317, ISSN  0027-8424, JSTOR  89124, МИСТЕР  0071113, ЧВК  528086, PMID  16589672
5. Серр, Жан-Пьер (1958), "Sur la topologie des varétés algébriques en caractéristique p", Международный симпозиум алгебраической топологии, Universidad Nacional Autónoma de México и ЮНЕСКО, Мехико, стр. 24–53, МИСТЕР  0098097
6. Мамфорд, Дэвид (1961), «Патологии модулярных алгебраических поверхностей» (PDF), Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 83 (2): 339–342, Дои:10.2307/2372959, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372959, МИСТЕР  0124328
7. Гротендик, Александр (1961), Методы построения и теории существования в альгебрике. IV. Les Schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki 221