Интерьерный продукт - Interior product

Не путать с Внутренний продукт.

В математика, то интерьерный продукт (также известен как внутренняя производная, внутреннее умножение, внутреннее умножение, внутренняя производная, оператор вставки, или же внутреннее происхождение) это степень −1 (анти) происхождение на внешняя алгебра из дифференциальные формы на гладкое многообразие. Изделие для интерьера, названное в противопоставление внешний продукт, не следует путать с внутренний продукт. Интерьерный продукт ι_Иксω иногда пишется как Икс ⨼ ω.^[1]

Определение

Интерьерный продукт определяется как сокращение из дифференциальная форма с векторное поле. Таким образом, если Икс - векторное поле на многообразие M, тогда

${\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$

это карта который отправляет п-форма ω в (п−1) -форма ι_Иксω определяется тем свойством, что

${\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}$

для любых векторных полей Икс₁, ..., Икс_п−1.

Предмет интерьера - уникальный антидеривация степени −1 на внешняя алгебра такой, что на одноформных α

${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle }$,

куда ⟨ , ⟩ это соединение дуальности между α и вектор Икс. Явно, если β это п-form, затем

${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma ).}$

Вышеупомянутое соотношение говорит о том, что предмет интерьера подчиняется градуированной Правило Лейбница. Операция, удовлетворяющая линейности и правилу Лейбница, называется производной.

Характеристики

По антисимметрии форм,

${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega }$

и так ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0}$. Это можно сравнить с внешняя производная d, обладающая свойством d ∘ d = 0.

Интерьерный продукт связывает внешняя производная и Производная Ли дифференциальных форм Формула Картана (a.k.a. Картан идентичность, Формула гомотопии Картана^[2] или же Магическая формула Картана):

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$

Это тождество определяет двойственность между внешними и внутренними производными. Личность Картана важна в симплектическая геометрия и общая теория относительности: видеть карта моментов.^[3] Формула гомотопии Картана названа в честь Эли Картан.^[4]

Внутреннее произведение относительно коммутатора двух векторных полей ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ удовлетворяет личность

${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].}$

Смотрите также

• Крышка продукта
• Внутренний продукт
• Тензорное сжатие

Примечания

1. Символ ⨼ - это U + 2A3C в Unicode
2. Вт, п.20.5.
3. Есть еще одна формула, которая называется «формула Картана». Видеть Алгебра Стинрода.
4. «Магическая формула Картана» принадлежит Эли или Анри?, Mathoverflow, 2010-09-21, получено 2018-06-25

Рекомендации

• Теодор Франкель, Геометрия физики: введение; Издательство Кембриджского университета, 3-е изд. 2011 г.
• Лоринг В. Ту, Введение в многообразия, 2д, Спрингер. 2011 г. Дои:10.1007/978-1-4419-7400-6