Алгебра Стинрода - Steenrod algebra

В алгебраическая топология, а Алгебра Стинрода был определен Анри Картан  (1955 ) быть алгеброй стабильных когомологические операции для мода ${\displaystyle p}$ когомологии.

Для данного простое число ${\displaystyle p}$, алгебра Стинрода ${\displaystyle A_{p}}$ оценивается Алгебра Хопфа над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ порядка ${\displaystyle p}$, состоящий из всех стабильных когомологические операции для мода ${\displaystyle p}$ когомология. Он создается Квадраты Стинрода представлен Норман Стинрод  (1947 ) за ${\displaystyle p=2}$, и Стинрод уменьшил ${\displaystyle p}$силы введено в Стинрод (1953) Ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFSteenrod1953 (помощь) и Гомоморфизм Бокштейна за ${\displaystyle p>2}$.

Термин «алгебра Стинрода» также иногда используется для обозначения алгебры когомологических операций обобщенная теория когомологий.

Когомологические операции

Операция когомологий - это естественная трансформация между функторами когомологий. Например, если мы возьмем когомологии с коэффициентами в звенеть, то чашка продукта операция возведения в квадрат дает семейство операций когомологий:

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

${\displaystyle x\mapsto x\smile x.}$

Операции когомологий не обязательно должны быть гомоморфизмами градуированных колец; см. формулу Картана ниже.

Эти операции не связаны с приостановка - то есть они нестабильны. (Это потому, что если ${\displaystyle Y}$ это приостановка пространства ${\displaystyle X}$, чашечное произведение на когомологиях ${\displaystyle Y}$ тривиально.) Стинрод построил стабильные операции

${\displaystyle Sq^{i}:H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$

для всех ${\displaystyle i}$ больше нуля. Обозначение ${\displaystyle Sq}$ и их название, квадраты Стинрода, происходит от того факта, что ${\displaystyle Sq^{n}}$ ограничено классами степени ${\displaystyle n}$ квадрат чашки. Аналогичные операции производятся для нечетных первичных коэффициентов, обычно обозначаемых ${\displaystyle P^{i}}$ и назвал сокращенный ${\displaystyle p}$-я силовая операция:

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}$

В ${\displaystyle Sq^{i}}$ порождать связную градуированную алгебру над ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$, где умножение задается композицией операций. Это алгебра Стинрода по модулю 2. В случае ${\displaystyle p>2}$, мод ${\displaystyle p}$ Алгебра Стинрода порождается ${\displaystyle P^{i}}$ и Операция Бокштейна ${\displaystyle \beta }$ связаны с короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0.}$

В случае ${\displaystyle p=2}$, элемент Бокштейна ${\displaystyle Sq^{1}}$ и сокращенный ${\displaystyle p}$-я степень ${\displaystyle P^{i}}$ является ${\displaystyle Sq^{2i}}$.

Аксиоматическая характеристика

Норман Стинрод и Дэвид Б. А. Эпштейн  (1962 ) показал, что квадраты Стинрода ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}$ характеризуются следующими 5 аксиомами:

1. Естественность: ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$ является аддитивным гомоморфизмом и функториален относительно любого ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$ так ${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}$.
2. ${\displaystyle Sq^{0}}$ - тождественный гомоморфизм.
3. ${\displaystyle Sq^{n}(x)=x\smile x}$ за ${\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}$.
4. Если ${\displaystyle n>\deg(x)}$ тогда ${\displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. Формула Картана: ${\displaystyle Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)}$

Кроме того, квадраты Стинрода обладают следующими свойствами:

• ${\displaystyle Sq^{1}}$ гомоморфизм Бокштейна ${\displaystyle \beta }$ точной последовательности ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle Sq^{i}}$ коммутирует со связующим морфизмом длинной точной последовательности в когомологиях. В частности, он отменяет приостановку ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}$
• Они удовлетворяют соотношениям Адема, описанным ниже

Аналогичным образом следующие аксиомы характеризуют приведенную ${\displaystyle p}$-ые степени для ${\displaystyle p>2}$.

1. Естественность: ${\displaystyle P^{n}:H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$ является аддитивным гомоморфизмом и естественным.
2. ${\displaystyle P^{0}}$ - тождественный гомоморфизм.
3. ${\displaystyle P^{n}}$ это чашка ${\displaystyle p}$-я степень по классам ученых степеней ${\displaystyle 2n}$.
4. Если ${\displaystyle 2n>\deg(x)}$ тогда ${\displaystyle P^{n}(x)=0}$
5. Формула Картана:${\displaystyle P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)}$

Как и прежде, сокращенный п-ые степени также удовлетворяют соотношениям Адема и коммутируют с надстройками и граничными операторами.

Ádem отношения

Отношения Адема для ${\displaystyle p=2}$ были предположены Вэнь-цюнь Ву  (1952 ) и установлен Хосе Адем  (1952 ). Они даны

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \choose i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}}$

для всех ${\displaystyle i,j>0}$ такой, что ${\displaystyle i<2j}$. (Биномиальные коэффициенты следует интерпретировать по модулю 2.) Соотношения Адема позволяют записать произвольную композицию квадратов Стинрода в виде суммы базисных элементов Серра – Картана.

Для нечетных ${\displaystyle p}$ отношения Ádem

${\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}$

за а<pb и

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}$

за ${\displaystyle a\leq pb}$.

Тождества Буллетта-Макдональда

Шон Р. Буллетт и Ян Дж. Макдональд  (1982 ) переформулировал отношения Адема в виде следующих тождеств.

За ${\displaystyle p=2}$ положить

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}}$

то отношения Адема эквивалентны

${\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}$

За ${\displaystyle p>2}$ положить

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}$

то отношения Адема эквивалентны утверждению, что

${\displaystyle (1+s{\text{Ad}}\beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})}$

симметричен по ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle t}$. Здесь ${\displaystyle \beta }$ это операция Бокштейна и ${\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta }$.

Расчеты

Бесконечное реальное проективное пространство

Операции Стинрода для реального проективного пространства можно легко вычислить, используя формальные свойства квадратов Стинрода. Напомним, что

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2[x],}$

куда ${\displaystyle \deg(x)=1.}$ Для операций на ${\displaystyle H^{1}}$ мы знаем это

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}}$

Использование операции

${\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }$

отметим, что из соотношения Картана следует, что

${\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X)}$

является морфизмом колец. Следовательно

${\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}}$

Поскольку есть только одна степень ${\displaystyle n+i}$ составляющая предыдущей суммы, имеем

${\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}}$

Строительство

Предположим, что ${\displaystyle \pi }$ есть ли степень ${\displaystyle n}$ подгруппа симметрической группы на ${\displaystyle n}$ точки, ${\displaystyle u}$ класс когомологий в ${\displaystyle H^{q}(X,B)}$, ${\displaystyle A}$ абелева группа действовала ${\displaystyle \pi }$, и ${\displaystyle c}$ класс когомологий в ${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$. Стинрод (1953) Ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFSteenrod1953 (помощь) показал, как построить пониженную мощность ${\displaystyle u^{n}/c}$ в ${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$, следующее.

1. Принимая внешний продукт ${\displaystyle u}$ с собой ${\displaystyle n}$ раз дает эквивариантный коцикл на ${\displaystyle X^{n}}$ с коэффициентами в ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$.
2. выбирать ${\displaystyle E}$ быть сжимаемое пространство на котором ${\displaystyle \pi }$ действует свободно и эквивариантное отображение из ${\displaystyle E\times X}$ к ${\displaystyle X^{n}.}$ Отступление ${\displaystyle u^{n}}$ по этому отображению дает эквивариантный коцикл на ${\displaystyle E\times X}$ и, следовательно, коцикл ${\displaystyle E/\pi \times X}$ с коэффициентами в ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$.
3. Принимая наклонный продукт с ${\displaystyle c}$ в ${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$ дает коцикл ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$.

Квадраты Стинрода и приведенные степени являются частными случаями этой конструкции, когда ${\displaystyle \pi }$ циклическая группа простого порядка ${\displaystyle p=n}$ действуя как циклическая перестановка ${\displaystyle n}$ элементы, а группы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ цикличны по порядку ${\displaystyle p}$, так что ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$ также является циклическим порядка ${\displaystyle p}$.

Структура алгебры Стинрода

Жан-Пьер Серр  (1953 ) (за ${\displaystyle p=2}$) и Анри Картан  (1954, 1955 ) (за ${\displaystyle p>2}$) описал структуру алгебры Стинрода стабильного мода ${\displaystyle p}$ операции когомологий, показывая, что он порождается гомоморфизмом Бокштейна вместе с приведенными степенями Стинрода, и отношения Адема порождают идеал отношений между этими образующими. В частности, они нашли явную основу для алгебры Стинрода. Этот базис опирается на определенное понятие допустимости целочисленных последовательностей. Мы говорим последовательность

${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}$

допустимо, если для каждого ${\displaystyle j}$у нас есть это ${\displaystyle i_{j}\geq 2i_{j+1}}$. Тогда элементы

${\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},}$

куда ${\displaystyle I}$ является допустимой последовательностью, образуют базис (базис Серра – Картана) алгебры Стинрода mod 2. Аналогичное основание и для дела ${\displaystyle p>2}$ состоящий из элементов

${\displaystyle Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}},}$

такой, что

${\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}$

${\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}$

Структура алгебры Хопфа и базис Милнора

Алгебра Стинрода более структурирована, чем градуированная ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$-алгебра. Это также Алгебра Хопфа, так что, в частности, имеется диагональ или коумножение карта

${\displaystyle \psi \colon A\to A\otimes A.}$

индуцированное формулой Картана для действия алгебры Стинрода на чашечное произведение. Его легче описать, чем отображение произведения, и оно задается формулой

${\displaystyle \psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}$

${\displaystyle \psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}}$

${\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta .}$

Из этих формул следует, что алгебра Стинрода является ко-коммутативный.

Линейный двойственный к ${\displaystyle \psi }$ делает (оценивается) линейный дуальный ${\displaystyle A_{*}}$ из А в алгебру. Джон Милнор  (1958 ) доказано, для ${\displaystyle p=2}$, который ${\displaystyle A_{*}}$ это полиномиальная алгебра, с одним генератором ${\displaystyle \xi _{k}}$ степени ${\displaystyle 2^{k}-1}$, для каждого k, и для ${\displaystyle p>2}$ двойственная алгебра Стинрода ${\displaystyle A_{*}}$ - тензорное произведение алгебры многочленов от образующих ${\displaystyle \xi _{k}}$ степени ${\displaystyle 2p^{k}-2}$ ${\displaystyle (k\geq 1)}$ и внешняя алгебра в образующих τ_k степени ${\displaystyle 2p^{k}-1}$ ${\displaystyle (k\geq 0)}$. Мономиальный базис для ${\displaystyle A_{*}}$ затем дает другой выбор основы для А, называемый базисом Милнора. С двойственной алгебре Стинрода часто удобнее работать, потому что умножение (супер) коммутативно. Коумножение для ${\displaystyle A_{*}}$ является двойником продукта на А; это дается

${\displaystyle \psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.}$ где ξ₀= 1 и

${\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}$ если п>2

Единственный примитивные элементы из А_* за п= 2 являются ${\displaystyle \xi _{1}^{2^{i}}}$, и они двойственны ${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$ (единственные неразложимые А).

Отношение к формальным группам

Двойственные алгебры Стинрода являются суперкоммутативными алгебрами Хопфа, поэтому их спектры представляют собой схемы супергрупп алгебр. Эти групповые схемы тесно связаны с автоморфизмами одномерных аддитивных формальных групп. Например, если п= 2, то двойственная алгебра Стинрода является групповой схемой автоморфизмов одномерной аддитивной формальной групповой схемы Икс+у это идентичность первого порядка. Эти автоморфизмы имеют вид

${\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }$

Алгебраическая конструкция

Ларри Смит (2007 ) дал следующую алгебраическую конструкцию алгебры Стинрода над конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ порядка q. Если V это векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ затем написать SV для симметрическая алгебра из V. Существует гомоморфизм алгебр

${\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}$

куда F это Эндоморфизм Фробениуса из SV. Если мы положим

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

или же

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

за ${\displaystyle f\in SV}$ тогда если V бесконечномерно элементы ${\displaystyle P^{I}}$ порождают изоморфизм алгебры к подалгебре алгебры Стинрода, порожденной приведенной п'силы для п нечетные или четные квадраты Стинрода ${\displaystyle Sq^{2i}}$ за ${\displaystyle p=2}$.

Приложения

Ранними приложениями алгебры Стинрода были вычисления Жан-Пьер Серр некоторых гомотопических групп сфер, используя совместимость трансгрессивных дифференциалов в спектральной последовательности Серра с операциями Стинрода и классификацию Рене Том гладких многообразий с точностью до кобордизмов посредством отождествления градуированного кольца классов бордизмов с гомотопическими группами комплексов Тома в стабильной области. Последний был уточнен на случай ориентированных многообразий. К. Т. К. Уолл. Известное применение операций Стинрода, включающее факторизацию через операции вторичных когомологий, связанных с соответствующими отношениями Адема, было решением Дж. Фрэнк Адамс из Инвариант Хопфа проблема. Одним из довольно элементарных приложений алгебры Стинрода mod 2 является следующая теорема.

Теорема. Если есть карта ${\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}$ из Инвариант Хопфа, тогда п это степень двойки.

Доказательство использует тот факт, что каждый ${\displaystyle Sq^{k}}$ разложим на k что не является степенью двойки; то есть такой элемент представляет собой произведение квадратов строго меньшей степени.

Связь со спектральной последовательностью Адамса и гомотопическими группами сфер

Когомологиями алгебры Стинрода является ${\displaystyle E_{2}}$ срок для (п-местный ) Спектральная последовательность Адамса, чьей опорой является п-компонента стабильных гомотопических групп сфер. В частности, ${\displaystyle E_{2}}$ член этой спектральной последовательности может быть идентифицирован как

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}$

Это то, что подразумевается под афоризмом «когомологии алгебры Стинрода есть приближение к стабильным гомотопическим группам сфер».

Смотрите также

• Операция когомологий Понтрягина

Рекомендации

Педагогический

• Малкевич, Кэри, Алгебра Стинрода (PDF), заархивировано из оригинала на 2017-08-15

Рекомендации

• Адем, Хосе (1952), "Итерация квадратов Стинрода в алгебраической топологии", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 38 (8): 720–726, Bibcode:1952ПНАС ... 38..720А, Дои:10.1073 / pnas.38.8.720, ISSN  0027-8424, JSTOR  88494, МИСТЕР  0050278, ЧВК  1063640, PMID  16589167
• Bullett, Shaun R .; Макдональд, Ян Г. (1982), "Об отношениях Адема", Топология. Международный математический журнал, 21 (3): 329–332, Дои:10.1016/0040-9383(82)90015-5, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  0649764
• Картан, Анри (1954), "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane. II", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 40 (8): 704–707, Bibcode:1954ПНАС ... 40..704С, Дои:10.1073 / пнас.40.8.704, ISSN  0027-8424, JSTOR  88981, МИСТЕР  0065161, ЧВК  534145, PMID  16589542
• Картан, Анри (1955), "Sur l'itération des opérations de Steenrod", Комментарии Mathematici Helvetici, 29 (1): 40–58, Дои:10.1007 / BF02564270, ISSN  0010-2571, МИСТЕР  0068219
• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, 2002. Доступно бесплатно в Интернете по адресу домашняя страница автора.
• Малыгин, С.Н .; Постников, М. (2001) [1994], "Стинрод уменьшил мощность", Энциклопедия математики, EMS Press
• Малыгин, С.Н .; Постников, М. (2001) [1994], "Стинрод-сквер", Энциклопедия математики, EMS Press
• Мэй, Дж. Питер (1970), «Общий алгебраический подход к операциям Стинрода» (PDF), Алгебра Стинрода и ее приложения (Proc. Conf. To Celebted to Celebted to N E. Steenro's Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970), Конспект лекций по математике, 168, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 153–231, CiteSeerX  10.1.1.205.6640, Дои:10.1007 / BFb0058524, ISBN  978-3-540-05300-2, МИСТЕР  0281196
• Милнор, Джон Уиллард (1958), "Алгебра Стинрода и двойственная ей", Анналы математики, Вторая серия, 67 (1): 150–171, Дои:10.2307/1969932, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969932, МИСТЕР  0099653
• Мошер, Роберт Э .; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и приложения в теории гомотопий, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-46664-4, МИСТЕР  0226634
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], "Алгебра Стинрода", Энциклопедия математики, EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1953), "Когомология по модулю 2 комплексов Эйленберга-Маклейна", Комментарии Mathematici Helvetici, 27 (1): 198–232, Дои:10.1007 / BF02564562, ISSN  0010-2571, МИСТЕР  0060234
• Смит, Ларри (2007). "Алгебраическое введение в алгебру Стинрода". В Хаббаке, Джон; Hu'ng, Nguyễn H.V .; Шварц, Лайонел (ред.). Труды школы и конференции по алгебраической топологии.. Монографии по геометрии и топологии. 11. С. 327–348. arXiv:0903.4997. Дои:10.2140 / gtm.2007.11.327. МИСТЕР  2402812.
• Стинрод, Норман Э. (1947), «Произведения коциклов и расширения отображений», Анналы математики, Вторая серия, 48 (2): 290–320, Дои:10.2307/1969172, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969172, МИСТЕР  0022071
• Стинрод, Норман Э. (1953), "Группы гомологий симметрических групп и операции приведенной степени", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 39 (3): 213–217, Bibcode:1953ПНАС ... 39..213С, Дои:10.1073 / pnas.39.3.213, ISSN  0027-8424, JSTOR  88780, МИСТЕР  0054964, ЧВК  1063756, PMID  16589250
• Стинрод, Норман Э. (1953), "Циклические приведенные степени классов когомологий", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 39 (3): 217–223, Bibcode:1953ПНАС ... 39..217С, Дои:10.1073 / pnas.39.3.217, ISSN  0027-8424, JSTOR  88781, МИСТЕР  0054965, ЧВК  1063757, PMID  16589251
• Стинрод, Норман Э. (1962), Эпштейн, Дэвид Б.А. (ред.), Когомологические операции, Анналы математических исследований, 50, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-07924-0, МИСТЕР  0145525
• У, Вэнь-цзюнь (1952), Sur les puissances de Steenrod, Коллок де Страсбург, IX, Национальная библиотека и университет Страсбурга, МИСТЕР  0051510