Смешанный модуль Ходжа - Mixed Hodge module

В математике смешанные модули Ходжа являются кульминацией Теория Ходжа, смешанные структуры Ходжа, когомологии пересечения, а теорема разложения дающие когерентную основу для обсуждения вариантов вырождающихся смешанных структур Ходжа через формализм шести функторов. По сути, эти объекты представляют собой пару фильтрованных D-модуль ${displaystyle (M,F^{ullet })}$ вместе с извращенная связка ${displaystyle {mathcal {F}}}$ такой, что функтор из Соответствие Римана – Гильберта отправляет ${displaystyle (M,F^{ullet })}$ к ${displaystyle {mathcal {F}}}$. Это позволяет построить Структура Ходжа о когомологиях пересечений, одной из ключевых проблем при открытии этого предмета. Это было решено Морихико Сайто который нашел способ использовать фильтрацию на когерентном D-модуле как аналог фильтрации Ходжа для структуры Ходжа^[1]. Это позволило задать структуру Ходжа на пучке когомологий пересечения, простые объекты в Абелева категория извращенных связок.

Абстрактная структура

Прежде чем вдаваться в мельчайшие подробности определения модулей смешанного ходжа, что довольно сложно, полезно получить представление о том, что на самом деле предоставляет категория модулей смешанного ходжа. Учитывая комплексное алгебраическое многообразие ${displaystyle X}$ есть абелева категория ${displaystyle { extbf {MHM}}(X)}$^{[2]стр. 339} со следующими функториальными свойствами

1. Существует верный функтор ${displaystyle { ext{rat}}_{X}:D^{b}{ extbf {MHM}}(X) o D_{cs}^{b}(X;mathbb {Q} )}$ называется функтором рационализации. Это дает основной рациональный извращенный пучок смешанного модуля Ходжа.
2. Есть верный функтор ${displaystyle { ext{Dmod}}_{X}:D^{b}{ extbf {MHM}}(X) o D_{coh}^{b}({mathcal {D}}_{X})}$ отправка смешанного модуля Ходжа в его базовый D-модуль
3. Эти функторы хорошо себя ведут относительно соответствия Римана-Гильберта ${displaystyle DR_{X}:D_{Coh}^{b}({mathcal {D}}_{X}) o D_{cs}^{b}(X;mathbb {C} )}$, то есть для каждого смешанного модуля Ходжа ${displaystyle M}$ есть изоморфизм ${displaystyle alpha :{ ext{rat}}_{X}(M)otimes mathbb {C} xrightarrow {sim } { ext{DR}}_{X}({ ext{Dmod}}_{X}(M))}$.

Кроме того, существуют следующие категориальные свойства

1. Категория смешанных модулей Ходжа над точкой изоморфна категории смешанных структур Ходжа, ${displaystyle { extbf {MHM}}({pt})cong { ext{MHS}}}$
2. Каждый объект ${displaystyle M}$ в ${displaystyle { extbf {MHM}}(X)}$ признает весовая фильтрация ${displaystyle W}$ так что каждый морфизм в ${displaystyle { extbf {MHM}}(X)}$ строго сохраняет весовую фильтрацию, связанные с ней градуированные объекты ${displaystyle { ext{Gr}}_{k}^{W}(M)}$ являются полупростыми, а в категории смешанных модулей Ходжа над точкой это соответствует весовой фильтрации структуры Смешанного Ходжа.
3. Существует дуализирующий функтор ${displaystyle mathbb {D} _{X}}$ поднимая дуализирующий функтор Вердье в ${displaystyle D_{cs}^{b}(X;mathbb {Q} )}$ инволюция на ${displaystyle { extbf {MHM}}(X)}$.

Для морфизма ${displaystyle f:X o Y}$ алгебраических многообразий, шесть ассоциированных функторов на ${displaystyle D^{b}{ extbf {MHM}}(X)}$ и ${displaystyle D^{b}{ extbf {MHM}}(Y)}$ имеют следующие свойства

1. ${displaystyle f_{!},f^{*}}$ не увеличивайте веса комплекса ${displaystyle M^{ullet }}$ смешанных модулей Ходжа.
2. ${displaystyle f^{!},f_{*}}$ не уменьшайте веса комплекса ${displaystyle M^{ullet }}$ смешанных модулей Ходжа.

Связь между производными категориями

Производная категория смешанных модулей Ходжа ${displaystyle D^{b}{ extbf {MHM}}(X)}$ тесно связана с производной категорией конструктивных пучков ${displaystyle D_{cs}^{b}(X;mathbb {Q} )cong D^{b}({ ext{Perv}}(X;mathbb {Q} ))}$ эквивалентно производной категории извращенных пучков. Это связано с тем, что функтор рационализации совместим с функтором когомологий ${displaystyle H^{k}}$ комплекса ${displaystyle M^{ullet }}$ смешанных модулей Ходжа. При принятии рационализации наблюдается изоморфизм

${displaystyle { ext{rat}}_{X}(H^{k}(M^{ullet }))={ ext{ }}^{mathbf {p} }H^{k}({ ext{rat}}_{X}(M^{ullet }))}$

для среднего извращения ${displaystyle mathbb {p} }$. Заметка^{[2]стр. 310} это функция ${displaystyle mathbf {p} :2mathbb {N} o mathbb {Z} }$ отправка ${displaystyle mathbf {p} (2k)=-k}$, который отличается от случая псевдомногообразия где извращенность - функция ${displaystyle mathbb {p} :[2,n] o mathbb {Z} _{geq 0}}$ где ${displaystyle mathbf {p} (2k)=mathbf {p} (2k-1)=k-1}$. Напомним, это определяется как сочетание извращенных усечений с функтором сдвига, поэтому^{[2]стр. 341}

${displaystyle { ext{ }}^{mathbf {p} }H^{k}({ ext{rat}}_{X}(M^{ullet }))={ ext{ }}^{mathbf {p} } au _{leq 0}{ ext{ }}^{mathbf {p} } au _{geq 0}({ ext{rat}}_{X}(M^{ullet })[+k])}$

Подобная установка также отражается в производных функторах push и pull. ${displaystyle f_{!},f^{*},f^{!},f_{*}}$ и с близкими и исчезающими циклами ${displaystyle psi _{f},phi _{f}}$, функтор рационализации преобразует их в их аналогичные извращенные функторы на производной категории извращенных пучков.

Модули Тейта и когомологии

Здесь мы обозначаем каноническую проекцию на точку через ${displaystyle p:X o {pt}}$. Одним из первых доступных смешанных модулей Ходжа является объект Тейт веса 0, обозначенный ${displaystyle {underline {mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ который определяется как откат соответствующего объекта в ${displaystyle mathbb {Q} ^{Hdg}in { extbf {MHM}}({pt})}$, так

${displaystyle {underline {mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}=p^{*}mathbb {Q} ^{Hdg}}$

У него нулевой вес, поэтому ${displaystyle mathbb {Q} ^{Hdg}}$ соответствует весу 0 объекту Тейт ${displaystyle mathbb {Q} (0)}$ в категории смешанных структур Ходжа. Этот объект полезен, потому что его можно использовать для вычисления различных когомологий ${displaystyle X}$ через формализм шести функторов и придать им смешанную структуру Ходжа. Их можно резюмировать в таблице

${displaystyle {egin{matrix}H^{k}(X;mathbb {Q} )&=H^{k}({pt},p_{*}p^{*}mathbb {Q} ^{Hdg})H_{c}^{k}(X;mathbb {Q} )&=H^{k}({pt},p_{!}p^{*}mathbb {Q} ^{Hdg})H_{-k}(X;mathbb {Q} )&=H^{k}({pt},p_{!}p^{!}mathbb {Q} ^{Hdg})H_{-k}^{BM}(X;mathbb {Q} )&=H^{k}({pt},p_{!}p^{*}mathbb {Q} ^{Hdg})end{matrix}}}$

Более того, учитывая замкнутое вложение ${displaystyle i:Z o X}$ существует группа локальных когомологий

${displaystyle H_{Z}^{k}(X;mathbb {Q} )=H^{k}({pt},p_{*}i_{*}i^{!}{underline {mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg})}$

Вариации смешанных структур Ходжа.

Для морфизма разновидностей ${displaystyle f:X o Y}$ предварительные карты ${displaystyle f_{*}{underline {mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ и ${displaystyle f_{!}{underline {mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ дают вырождающиеся вариации смешанных структур Ходжа на ${displaystyle Y}$. Чтобы лучше понять эти вариации, требуются теорема разложения и когомологии пересечения.

Когомологии пересечения

Одной из определяющих особенностей категории смешанных модулей Ходжа является то, что когомологии пересечений могут быть сформулированы на ее языке. Это позволяет использовать теорему разложения для отображений ${displaystyle f:X o Y}$ разновидностей. Чтобы определить комплекс пересечения, пусть ${displaystyle j:Uhookrightarrow X}$ быть открытой гладкой частью разнообразия ${displaystyle X}$. Тогда комплекс пересечений ${displaystyle X}$ можно определить как

${displaystyle IC_{X}^{ullet }mathbb {Q} ^{Hdg}:=j_{!*}{underline {mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg}[d_{X}]}$

где

${displaystyle j_{!*}({underline {mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})=operatorname {Image} [j_{!}({underline {mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg}) o j_{*}({underline {mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})]}$

как с извращенными связками^{[2]стр. 311}. В частности, эта установка может быть использована для отображения групп когомологий пересечения

${displaystyle IH^{k}(X)=H^{k}(p_{*}IC^{ullet }{underline {mathbb {Q} }}_{X})}$

иметь чистый вес ${displaystyle k}$ Структура Ходжа.

Смотрите также

• Смешанные мотивы (математика)
• Когомологии Делиня

использованная литература

1. "Структура Ходжа с помощью фильтрованных $ mathcal {D} $ - модулей". www.numdam.org. Получено 2020-08-16.
2. Питерс, К. (Крис) (2008). Смешанные конструкции Ходжа. Springer Berlin Heidelberg. ISBN  978-3-540-77017-6. OCLC  1120392435.

• Руководство для молодых людей по смешанным модулям Ходжа