Теория Ходжа - Hodge theory - Wikipedia

В математика, Теория Ходжа, названный в честь В. В. Д. Ходж, это метод изучения группы когомологий из гладкое многообразие M с помощью уравнения в частных производных. Ключевое наблюдение состоит в том, что при наличии Риманова метрика на M, каждый класс когомологий имеет канонического представителя дифференциальная форма что исчезает под Лапласиан оператор метрики. Такие формы называются гармонический.

Теория была разработана Ходжем в 1930-х годах для изучения алгебраическая геометрия, и он построен на работе Жорж де Рам на когомологии де Рама. У него есть два основных приложения: Римановы многообразия и Кэлеровы многообразия. Основная мотивация Ходжа - изучение сложных проективные многообразия, охватывается последним случаем. Теория Ходжа стала важным инструментом в алгебраической геометрии, особенно благодаря ее связи с изучением алгебраические циклы.

Хотя теория Ходжа по сути зависит от действительных и комплексных чисел, ее можно применять к вопросам в теория чисел. В арифметических ситуациях инструменты п-адическая теория Ходжа дали альтернативные доказательства или аналогичные результаты классической теории Ходжа.

История

Поле алгебраическая топология еще зарождалась в 1920-х годах. Он еще не развил понятие когомология, а взаимодействие между дифференциальными формами и топологией было плохо изучено. В 1928 г. Эли Картан опубликовал заметку под названием Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos в котором он предложил, но не доказал, что дифференциальные формы и топология должны быть связаны. Прочитав ее, Жорж де Рам, тогда еще студент, сразу же почувствовал вдохновение. В своей диссертации 1931 года он доказал впечатляющий результат, который теперь называется теорема де Рама. К Теорема Стокса, интегрирование дифференциальных форм по единственное число цепи индуцирует для любого компактного гладкого многообразия M, билинейная пара

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$

Как было сказано изначально, теорема де Рама утверждает, что это идеальное сочетание, и поэтому каждый из членов в левой части является векторным пространством, двойственным друг другу. На современном языке теорема де Рама чаще формулируется как утверждение, что особые когомологии с действительными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама:

${\displaystyle H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).}$

Таким образом, первоначальное заявление де Рама является следствием Двойственность Пуанкаре.^[1]

Отдельно опубликована статья 1927 г. Соломон Лефшец использовал топологические методы для опровержения теорем Риман.^[2] Говоря современным языком, если ω₁ и ω₂ являются голоморфными дифференциалами на алгебраической кривой C, то их клин обязательно равно нулю, потому что C имеет только одно сложное измерение; следовательно, чашка продукта их классов когомологий равен нулю, и, когда его сделали явным, это дало Лефшецу новое доказательство Отношения Римана. Кроме того, если ω - ненулевой голоморфный дифференциал, то ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ является положительной формой объема, из которой Лефшец смог заново вывести неравенства Римана. В 1929 г. У. В. Д. Ходж узнал о работе Лефшеца. Он сразу заметил, что аналогичные принципы применимы к алгебраическим поверхностям. Точнее, если ω ненулевая голоморфная форма на алгебраической поверхности, то ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ положительный результат, поэтому чашка продукта ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ должно быть ненулевым. Следует, что ω сам должен представлять ненулевой класс когомологий, поэтому все его периоды не могут быть нулевыми. Это решило вопрос Севери.^[3]

Ходж считал, что эти методы должны быть применимы и к многомерным разновидностям. Его коллега Питер Фрейзер рекомендовал ему диссертацию де Рама. Читая тезис де Рама, Ходж понял, что действительная и мнимая части голоморфной 1-формы на римановой поверхности в некотором смысле двойственны друг другу. Он подозревал, что подобная двойственность должна существовать и в более высоких измерениях; эта двойственность теперь известна как Звездный оператор Ходжа. Далее он предположил, что у каждого класса когомологий должен быть выделенный представитель, обладающий тем свойством, что и он, и двойственный ему обращаются в нуль под действием оператора внешней производной; теперь они называются гармоническими формами. Ходж посвятил этой проблеме большую часть 1930-х годов. Его первая опубликованная попытка доказательства появилась в 1933 году, но он считал ее «в высшей степени грубой». Герман Вейль, один из самых блестящих математиков того времени, оказался не в состоянии определить, верно ли доказательство Ходжа или нет. В 1936 году Ходж опубликовал новое доказательство. Хотя Ходж считал новое доказательство намного более совершенным, Боненбласт обнаружил серьезную ошибку. Независимо, Герман Вейль и Кунихико Кодайра модифицировал доказательство Ходжа, чтобы исправить ошибку. Это установило искомый Ходжем изоморфизм между гармоническими формами и классами когомологий.

Оглядываясь назад, становится ясно, что технические трудности теоремы существования на самом деле не потребовали каких-либо значительных новых идей, а просто осторожного расширения классических методов. Настоящая новинка, которая была главным вкладом Ходжа, заключалась в концепции гармонических интегралов и их связи с алгебраической геометрией. Этот триумф концепции над техникой напоминает аналогичный эпизод в творчестве великого предшественника Ходжа Бернхарда Римана.

—М. Ф. Атья, Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 - 7 июля 1975, Биографические воспоминания членов Королевского общества, т. 22, 1976, стр. 169–192.

Теория Ходжа для вещественных многообразий

Когомологии де Рама

Теория Ходжа ссылается на комплекс де Рама. Позволять M быть гладкое многообразие. Для натурального числа k, пусть Ω^k(M) быть настоящий векторное пространство гладкой дифференциальные формы степени k на M. Комплекс де Рама - это последовательность дифференциальные операторы

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,}$

куда d_k обозначает внешняя производная на Ω^k(M). Это коцепьевой комплекс в том смысле, что d_k+1 ∘ d_k = 0 (также написано d² = 0). Теорема де Рама гласит, что особые когомологии из M с действительными коэффициентами вычисляется комплексом де Рама:

${\displaystyle H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.}$

Операторы в теории Ходжа

Выберите риманову метрику грамм на M и напомним, что:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).}$

Метрика дает внутренний продукт на каждом волокне ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ путем расширения (см. Матрица грамиана ) скалярное произведение, индуцированное грамм от каждого котангенсного волокна ${\displaystyle T_{p}^{*}(M)}$ к его ${\displaystyle k^{th}}$ внешний продукт: ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$. В ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ внутренний продукт затем определяется как интеграл точечного внутреннего произведения данной пары k-формируется M по форме объема ${\displaystyle \sigma }$ связана с грамм. Явно, учитывая некоторые ${\displaystyle \omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)}$ у нас есть

${\displaystyle \langle \omega ,\tau \rangle \mapsto \int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .}$

Естественно, что указанное выше внутреннее произведение индуцирует норму, если эта норма конечна на некотором фиксированном k-форма:

${\displaystyle \langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,}$

тогда подынтегральная функция является вещественной функцией, интегрируемой с квадратом на M, оцениваемый в данной точке через его точечные нормы,

${\displaystyle \|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).}$

Рассмотрим сопряженный оператор из d в отношении этих внутренних продуктов:

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).}$

Тогда Лапласиан на формах определяется

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$

Это линейный дифференциальный оператор второго порядка, обобщающий лапласиан для функций на р^п. По определению форма на M является гармонический если его лапласиан равен нулю:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.}$

Лапласиан впервые появился в математическая физика. Особенно, Уравнения Максвелла говорят, что электромагнитный потенциал в вакууме представляет собой 1-форму А имеющая внешнюю производную dA = F, 2-форма, представляющая электромагнитное поле такое, что ΔА = 0 в пространстве-времени, рассматриваемом как Пространство Минковского размерности 4.

Каждая гармоническая форма α на закрыто Риманово многообразие закрыто, означающий, что dα = 0. В результате получается каноническое отображение ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )}$. Теорема Ходжа утверждает, что ${\displaystyle \varphi }$ является изоморфизмом векторных пространств.^[4] Другими словами, каждый реальный класс когомологий на M имеет уникального гармонического представителя. Конкретно, гармонический представитель - это единственная замкнутая форма минимума L² норма, представляющая данный класс когомологий. Теорема Ходжа доказана с помощью теории эллиптический уравнения в частных производных, с начальными аргументами Ходжа, дополненными Кодаира и другие в 1940-х годах.

Например, из теоремы Ходжа следует, что группы когомологий с действительными коэффициентами замкнутого многообразия являются конечномерный. (Правда, есть и другие способы доказать это.) Действительно, операторы ∆ эллиптические, а оператор ядро эллиптического оператора на замкнутом многообразии всегда является конечномерным векторным пространством. Еще одно следствие теоремы Ходжа состоит в том, что риманова метрика на замкнутом многообразии M определяет ценный внутренний продукт об интегральных когомологиях M по модулю кручение. Отсюда следует, например, что изображение группа изометрии из M в общая линейная группа GL (ЧАС^∗(M, Z)) конечна (поскольку группа изометрий решетка конечно).

Вариантом теоремы Ходжа является Разложение Ходжа. Это говорит о том, что существует единственное разложение любой дифференциальной формы ω на замкнутом римановом многообразии в виде суммы трех частей в виде

${\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,}$

в котором γ гармонично: Δγ = 0.^[5] Что касается L² метрики на дифференциальных формах, это дает ортогональную прямая сумма разложение:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).}$

Теория Ходжа эллиптических комплексов

Атья и Ботт определенный эллиптические комплексы как обобщение комплекса де Рама. Теорема Ходжа распространяется на этот случай следующим образом. Позволять ${\displaystyle E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}}$ быть векторные пакеты с метрикой на замкнутом гладком многообразии M с объемной формойdV. Предположим, что

${\displaystyle L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})}$

линейны дифференциальные операторы действующий на C^∞ сечения этих векторных расслоений и что индуцированная последовательность

${\displaystyle 0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0}$

представляет собой эллиптический комплекс. Введите прямые суммы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}}$

и разреши L^∗ быть соплеменником L. Определите эллиптический оператор Δ = LL^∗ + L^∗L. Как и в случае де Рама, это дает векторное пространство гармонических сечений

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.}$

Позволять ${\displaystyle H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}}$ - ортогональная проекция, и пусть грамм быть Оператор Грина для Δ. В Теорема Ходжа затем утверждает следующее:^[6]

1. ЧАС и грамм четко определены.
2. Id = ЧАС + Δграмм = ЧАС + граммΔ
3. LG = GL, L^∗грамм = GL^∗
4. Когомологии комплекса канонически изоморфны пространству гармонических сечений, ${\displaystyle H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})}$в том смысле, что каждый класс когомологий имеет своего единственного гармонического представителя.

В этой ситуации также существует разложение Ходжа, обобщающее приведенное выше утверждение для комплекса де Рама.

Теория Ходжа для комплексных проективных многообразий

Основная статья: Структура Ходжа

Позволять Икс быть гладкий комплексное проективное многообразие, означающее, что Икс закрытый комплексное подмногообразие некоторых сложное проективное пространство CP^N. К Теорема Чоу, комплексные проективные многообразия автоматически алгебраичны: они определяются обращением в нуль однородный многочлен уравнения на CP^N. В стандартная риманова метрика на CP^N индуцирует риманову метрику на Икс который имеет сильную совместимость со сложной структурой, что делает Икс а Кэлерово многообразие.

Для комплексного многообразия Икс и натуральное число р, каждый C^∞ р-форма на Икс (с комплексными коэффициентами) можно однозначно записать как сумму формы тип (п, q) с п + q = р, означающие формы, которые можно локально записать как конечную сумму членов, причем каждый член принимает форму

${\displaystyle f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}}$

с ж а С^∞ функция и z_s и ш_s голоморфные функции. На кэлеровом многообразии (п, q) компоненты гармонической формы снова гармоничны. Поэтому для любого компактный Кэлерово многообразие Икс, теорема Ходжа дает разложение когомология из Икс с комплексными коэффициентами как прямая сумма комплексных векторных пространств:^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

Фактически, это разложение не зависит от выбора кэлеровой метрики (но для общего компактного комплексного многообразия аналогичного разложения нет). С другой стороны, разложение Ходжа действительно зависит от структуры Икс как комплексное многообразие, а группа ЧАС^р(Икс, C) зависит только от основного топологическое пространство из Икс.

Кусок ЧАС^п,q(Икс) разложения Ходжа можно отождествить с когерентные когомологии пучков группа, которая зависит только от Икс как комплексное многообразие (не по выбору кэлеровой метрики):^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),}$

где Ω^п обозначает пучок голоморфных п-форма на Икс. Например, ЧАС^п,0(Икс) - пространство голоморфных п-форма на Икс. (Если Икс проективно, Серр с ГАГА Из теоремы следует, что голоморфный п-форма на всех Икс фактически является алгебраическим.)

В Номер Ходжа час^п,q(Икс) означает размерность комплексного векторного пространства ЧАС^п.q(Икс). Это важные инварианты гладкого комплексного проективного многообразия; они не меняются, когда сложная структура Икс изменяется непрерывно, но они, вообще говоря, не являются топологическими инвариантами. Среди свойств чисел Ходжа: Симметрия Ходжа час^п,q = час^q,п (потому что ЧАС^п,q(Икс) это комплексно сопряженный из ЧАС^q,п(Икс)) и час^п,q = час^{п−п,п−q} (к Двойственность Серра ).

Числа Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) можно перечислить в Ходжа алмаз (показано в случае комплексного измерения 2):

		час^2,2
	час^2,1		час^1,2
час^2,0		час^1,1		час^0,2
	час^1,0		час^0,1
		час^0,0

В Бетти числа из Икс являются суммой чисел Ходжа в данной строке. Например, каждая гладкая проективная изгиб из род грамм есть алмаз Ходжа

	1
грамм		грамм
	1

Другой пример: каждый K3 поверхность есть алмаз Ходжа

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Основное применение теории Ходжа состоит в том, что нечетные числа Бетти б_2а+1 гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) являются четное, симметрией Ходжа. Это неверно для компактных комплексных многообразий в целом, как показывает пример Поверхность хопфа, который диффеоморфный к S¹ × S³ и, следовательно, имеет б₁ = 1.

«Кэлеровский пакет» представляет собой мощный набор ограничений на когомологии гладких комплексных проективных многообразий (или компактных кэлеровых многообразий), основанный на теории Ходжа. Результаты включают Теорема Лефшеца о гиперплоскости, то жесткая теорема Лефшеца, а Билинейные отношения Ходжа-Римана.^[9] Теория Ходжа и расширения, такие как неабелева теория Ходжа также дают строгие ограничения на возможные фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий.

Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа

Основная статья: Гипотеза Ходжа

Позволять Икс - гладкое комплексное проективное многообразие. Сложное подмногообразие Y в Икс из коразмерность п определяет элемент группы когомологий ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$. Более того, получившийся класс обладает специальным свойством: его образ в комплексных когомологиях ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$ лежит в средней части разложения Ходжа, ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$. В Гипотеза Ходжа предсказывает обратное: каждый элемент ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ образ которого в комплексных когомологиях лежит в подпространстве ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ должен иметь положительное целое кратное, которое является ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-линейная комбинация классов комплексных подмногообразий Икс. (Такая линейная комбинация называется алгебраический цикл на Икс.)

Ключевым моментом является то, что разложение Ходжа - это разложение когомологий с комплексными коэффициентами, которое обычно не происходит из разложения когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами. В результате пересечение

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$

может быть намного меньше, чем вся группа ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/}$кручение, даже если число Ходжа ${\displaystyle h^{p,p}}$ большой. Короче говоря, гипотеза Ходжа предсказывает, что возможные «формы» сложных подмногообразий Икс (как описано когомологиями) определяются Структура Ходжа из Икс (комбинация интегральных когомологий с разложением Ходжа комплексных когомологий).

В (1,1) -теорема Лефшеца говорит, что гипотеза Ходжа верна для п = 1 (даже целиком, то есть без необходимости использования положительного целого кратного в инструкции).

Структура Ходжа разновидности Икс описывает интегралы алгебраических дифференциальных форм на Икс над гомология классы в Икс. В этом смысле теория Ходжа связана с основным вопросом исчисление: «формулы» для интеграла от алгебраическая функция. Особенно, определенные интегралы алгебраических функций, известных как периоды, возможно трансцендентные числа. Сложность гипотезы Ходжа отражает непонимание таких интегралов в целом.

Пример: для гладкой комплексной проективной поверхности K3 Икс, группа ЧАС²(Икс, Z) изоморфен Z²², и ЧАС^1,1(Икс) изоморфна C²⁰. Их пересечение может иметь ранг от 1 до 20; этот ранг называется Число Пикар из Икс. В пространство модулей всех проективных K3-поверхностей имеет счетно бесконечный набор компонентов комплексной размерности 19. Подпространство K3 поверхностей с числом Пикара а имеет размерность 20−а.^[10] (Таким образом, для большинства проективных K3-поверхностей пересечение ЧАС²(Икс, Z) с ЧАС^1,1(Икс) изоморфна Z, но для "особых" поверхностей K3 пересечение может быть больше.)

Этот пример предлагает несколько различных ролей, которые теория Ходжа играет в сложной алгебраической геометрии. Во-первых, теория Ходжа дает ограничения на то, какие топологические пространства могут иметь структуру гладкого комплексного проективного многообразия. Во-вторых, теория Ходжа дает информацию о пространстве модулей гладких комплексных проективных многообразий с заданным топологическим типом. В лучшем случае Теорема Торелли Это означает, что многообразие с точностью до изоморфизма определяется своей структурой Ходжа. Наконец, теория Ходжа дает информацию о Группа чау алгебраических циклов на данном многообразии. Гипотеза Ходжа касается образа карта цикла от групп Чоу до обычных когомологий, но теория Ходжа также дает информацию о ядре отображения цикла, например, используя промежуточные якобианы которые построены из конструкции Ходжа.

Обобщения

Смешанная теория Ходжа, разработан Пьер Делинь, распространяет теорию Ходжа на все комплексные алгебраические многообразия, не обязательно гладкие или компактные. А именно, когомологии любого комплексного алгебраического многообразия имеют более общий тип разложения a смешанная структура Ходжа.

Другое обобщение теории Ходжа на особые многообразия дает гомология пересечения. А именно, Морихико Сайто показал, что гомологии пересечений любого комплексного проективного многообразия (не обязательно гладкого) имеют чистую структуру Ходжа, как и в гладком случае. Фактически, весь пакет Кэлера распространяется на гомологии пересечения.

Фундаментальный аспект комплексной геометрии состоит в том, что существуют непрерывные семейства неизоморфных комплексных многообразий (которые все диффеоморфны как вещественные многообразия). Филип Гриффитс понятие о вариация структуры Ходжа описывает, как структура Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия Икс меняется, когда Икс меняется. С геометрической точки зрения это равносильно изучению отображение периода связаны с семейством разновидностей. Теория Сайто о Модули Ходжа является обобщением. Грубо говоря, смешанный модуль Ходжа на многообразии Икс является пучком смешанных структур Ходжа над Икс, как это произошло бы из семейства разновидностей, которые не обязательно должны быть гладкими или компактными.

Смотрите также

• Возможная теория

Примечания

1. Чаттерджи, Сришти; Оджангурен, Мануэль (2010), Взгляд на эпоху де Рама (PDF), рабочий документ, EPFL
2. Лефшец, Соломон, "Соответствия между алгебраическими кривыми", Ann. математики. (2), т. 28, № 1, 1927, с. 342–354.
3. Майкл Атья, Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 г. - 7 июля 1975 г., Биогр. Мемс пал. Р. Соц., 1976, т. 22. С. 169–192.
4. Уорнер (1983), теорема 6.11.
5. Уорнер (1983), теорема 6.8.
6. Уэллс (2008), теорема IV.5.2.
7. Хайбрехтс (2005), следствие 3.2.12.
8. Хайбрехтс (2005), следствие 2.6.21.
9. Huybrechts (2005), разделы 3.3 и 5.2; Гриффитс и Харрис (1994), разделы 0.7 и 1.2; Voisin (2007), т. 1, гл. 6, и v. 2, ch. 1.
10. Гриффитс и Харрис (1994), стр. 594.

Рекомендации

• Арапура, Дону, Вычисление некоторых чисел Ходжа (PDF)
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. ISBN  0-471-05059-8. МИСТЕР  0507725.
• Ходж, В. В. Д. (1941), Теория и приложения гармонических интегралов., Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-35881-1, МИСТЕР  0003947
• Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия: введение, Springer, ISBN  3-540-21290-6, МИСТЕР  2093043
• Вуазен, Клэр (2007) [2002], Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тт.), Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511615344, ISBN  978-0-521-71801-1, МИСТЕР  1967689
• Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Springer, ISBN  0-387-90894-3, МИСТЕР  0722297
• Уэллс-младший, Раймонд О. (2008) [1973], Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях., Тексты для выпускников по математике, 65 (3-е изд.), Springer, Дои:10.1007/978-0-387-73892-5, HDL:10338.dmlcz / 141778, ISBN  978-0-387-73891-8, МИСТЕР  2359489