Отображение периодов - Period mapping

В математика, в области алгебраическая геометрия, то отображение периода связывает семьи Кэлеровы многообразия семьям Структуры Ходжа.

Теорема Эресмана

Основная статья: Теорема Эресмана

Позволять ж : Икс → B - голоморфный субмерсивный морфизм. Для точки б из B, обозначим слой ж над б к Икс_б. Зафиксируйте точку 0 в B. Теорема Эресмана гарантирует, что есть небольшой открытый район U около 0, в котором ж становится пучок волокон. Это, ж⁻¹(U) диффеоморфен Икс₀ × U. В частности, составная карта

${displaystyle X_{b}hookrightarrow f^{-1}(U)cong X_{0} imes U woheadrightarrow X_{0}}$

является диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм не уникален, потому что он зависит от выбора тривиализации. Тривиализация строится из гладких путей в U, и можно показать, что гомотопический класс диффеоморфизма зависит только от выбора гомотопического класса путей из б до 0. В частности, если U стягиваемо, существует четко определенный диффеоморфизм с точностью до гомотопии.

Диффеоморфизм из Икс_б к Икс₀ индуцирует изоморфизм групп когомологий

${displaystyle H^{k}(X_{b},mathbf {Z} )cong H^{k}(X_{b} imes U,mathbf {Z} )cong H^{k}(X_{0} imes U,mathbf {Z} )cong H^{k}(X_{0},mathbf {Z} ),}$

и поскольку гомотопические отображения индуцируют идентичные отображения на когомологиях, этот изоморфизм зависит только от гомотопического класса пути из б до 0.

Отображение локальных неполяризованных периодов

Предположим, что ж является правильный и это Икс₀ является разновидностью Кэлера. Условие Келера открыто, поэтому после возможной усадки U, Икс_б компактна и Келер для всех б в U. После усадки U далее мы можем предположить, что он стягиваемый. Тогда существует корректно определенный изоморфизм между группами когомологий Икс₀ и Икс_б. Эти изоморфизмы групп когомологий, вообще говоря, не сохраняют Структуры Ходжа из Икс₀ и Икс_б потому что они индуцированы диффеоморфизмами, а не биголоморфизмами. Позволять F^пЧАС^k(Икс_б, C) обозначить пй шаг Фильтрация Ходжа. Числа Ходжа Икс_б такие же, как у Икс₀,^[1] так что число б_п,k = тусклый F^пЧАС^k(Икс_б, C) не зависит от б. В карта периода это карта

${displaystyle {mathcal {P}}:Uightarrow F=F_{b_{1,k},ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},mathbf {C} )),}$

где F это разновидность флага цепочек подпространств размерностей б_п,k для всех п, который отправляет

${displaystyle bmapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},mathbf {C} ))_{p}.}$

Потому что Икс_б является кэлеровым многообразием, фильтрация Ходжа удовлетворяет условию Билинейные отношения Ходжа – Римана. Это означает, что

${displaystyle H^{k}(X_{b},mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},mathbf {C} )oplus {overline {F^{k-p+1}H^{k}(X_{b},mathbf {C} )}}.}$

Не все флаги подпространств удовлетворяют этому условию. Подмножество многообразия флагов, удовлетворяющее этому условию, называется неполяризованный локальный период и обозначается ${displaystyle {mathcal {D}}}$. ${displaystyle {mathcal {D}}}$ открытое подмножество многообразия флагов F.

Отображения локальных поляризованных периодов

Предположим теперь, что не только каждый Икс_б является кэлеровым, но существует кэлеровский класс, который голоморфно изменяется в б. Другими словами, предположим, что существует класс ω в ЧАС²(Икс, Z) так что для каждого б, ограничение ω_б от ω до Икс_б является классом Кэлера. ω_б определяет билинейная форма Q на ЧАС^k(Икс_б, C) по правилу

${displaystyle Q(xi ,eta )=int omega _{b}^{n-k}wedge xi wedge eta .}$

Эта форма голоморфно изменяется в б, и, следовательно, образ отображения периодов удовлетворяет дополнительным ограничениям, которые снова вытекают из билинейных соотношений Ходжа – Римана. Это:

1. Ортогональность: F^пЧАС^k(Икс_б, C) ортогонален F^{к - р + 1}ЧАС^k(Икс_б, C) относительно Q.
2. Положительная определенность: Для всех п + q = k, ограничение ${displaystyle extstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{p-q}Q}$ к примитивным классам типа (п, q) положительно определен.

В поляризованная локальная область периодов - это подмножество неполяризованной локальной области периодов, флаги которой удовлетворяют этим дополнительным условиям. Первое условие - это закрытое состояние, а второе - открытое состояние, и, следовательно, поляризованная локальная область периодов является локально замкнутым подмножеством неполяризованной локальной области периодов и множества флагов. F. Отображение периода определяется так же, как и раньше.

Область поляризованного локального периода и отображение поляризованного периода все еще обозначаются ${displaystyle {mathcal {D}}}$ и ${displaystyle {mathcal {P}}}$, соответственно.

Отображение глобальных периодов

Сосредоточение внимания только на отображении локальных периодов игнорирует информацию, присутствующую в топологии базового пространства. B. Отображения глобальных периодов построены таким образом, чтобы эта информация оставалась доступной. Сложность построения глобальных отображений периодов связана с тем, что монодромия из B: Больше не существует единственного гомотопического класса диффеоморфизмов, связывающих слои Икс_б и Икс₀. Вместо этого различные гомотопические классы путей в B индуцируют, возможно, различные гомотопические классы диффеоморфизмов и, следовательно, возможно различные изоморфизмы групп когомологий. Следовательно, для каждого волокна больше не существует четко определенного флага. Вместо этого флаг определяется только до действия фундаментальной группы.

В неполяризованном случае определите группа монодромии Γ как подгруппа в GL (ЧАС^k(Икс₀, Z)), состоящий из всех автоморфизмов, индуцированных гомотопическим классом кривых в B как указано выше. Многообразие флагов является факторгруппой группы Ли по параболической подгруппе, а группа монодромии является арифметической подгруппой группы Ли. В глобальный неполяризованный период является фактором локальной неполяризованной области периодов по действию Γ (таким образом, это набор двойные классы ). В поляризованном случае требуется, чтобы элементы группы монодромии также сохранили билинейную форму Q, а глобальная поляризованная периодическая область строится как фактор по Γ аналогичным образом. В обоих случаях отображение периодов занимает точку B классу фильтрации Ходжа на Икс_б.

Характеристики

Гриффитс доказал, что отображение периодов голоморфно. Его теорема трансверсальности ограничивает диапазон отображения периода.

Матрицы периодов

Фильтрация Ходжа может быть выражена в координатах с использованием матриц периодов. Выберем базис δ₁, ..., δ_р для безкручения части k-я группа интегральных гомологий ЧАС_k(Икс, Z). Исправить п и q с п + q = k, и выберем базис ω₁, ..., ω_s для гармонические формы типа (п, q). В матрица периодов из Икс₀ по этим базам - матрица

${displaystyle Omega ={Big (}int _{delta _{i}}omega _{j}{Big )}_{1leq ileq r,1leq jleq s}.}$

Элементы матрицы периодов зависят от выбора базиса и от сложной структуры. Δs можно варьировать, выбирая матрицу Λ в SL (р, Z), а ωs можно варьировать выбором матрицы А в GL (s, C). Матрица периодов эквивалент в Ω, если его можно записать как АΩΛ для некоторого выбора А и Λ.

Случай эллиптических кривых

Рассмотрим семейство эллиптических кривых

${displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-lambda )}$

где λ - любое комплексное число, не равное нулю или единице. Фильтрация Ходжа на первой группе когомологий кривой состоит из двух шагов: F⁰ и F¹. Однако, F⁰ - вся группа когомологий, поэтому единственный интересный член фильтрации - это F¹, который ЧАС^1,0, пространство голоморфных гармонических 1-форм.

ЧАС^1,0 одномерна, поскольку кривая эллиптическая и для всех λ натянута на дифференциальную форму ω = dx/у. Чтобы найти явных представителей группы гомологий кривой, заметим, что кривую можно представить в виде графика многозначной функции

${displaystyle y={sqrt {x(x-1)(x-lambda )}}}$

на Сфера Римана. Точки ветвления этой функции находятся в нуле, единице, λ и бесконечности. Сделайте два разреза ветки: один идет от нуля до одного, а другой - от λ до бесконечности. Они исчерпывают точки ветвления функции, поэтому они разрезают многозначную функцию на два однозначных листа. Исправить небольшой ε> 0. На одном из этих листов нарисуйте кривую γ (т) = 1/2 + (1/2 + ε) exp (2πЭто). При достаточно малых ε эта кривая окружает разрез ветви [0, 1] и не соответствует срезанной ветке [λ, ∞]. Теперь проследим еще одну кривую δ (т), который начинается на одном листе как δ (т) = 1 + 2 (λ - 1) t за 0 ≤ t ≤ 1/2 и продолжается на другом листе как δ (т) = λ + 2 (1 - λ) (t - 1/2) за 1/2 ≤ t ≤ 1. Каждая половина этой кривой соединяет точки 1 и λ на двух листах римановой поверхности. От Теорема Зейферта – ван Кампена группа гомологий кривой не имеет ранга два. Поскольку кривые встречаются в одной точке, 1 + ε, ни один из их классов гомологий не является собственным кратным некоторому другому классу гомологий, и, следовательно, они образуют основу ЧАС₁. Таким образом, матрица периодов для этого семейства

${displaystyle {egin{pmatrix}int _{gamma }omega int _{delta }omega end{pmatrix}}.}$

Первую запись этой матрицы мы будем обозначать сокращенно как А, а второй как B.

Билинейная форма √−1Q положительно определен, потому что локально мы всегда можем записать ω как f dz, следовательно

${displaystyle {sqrt {-1}}int _{X_{0}}omega wedge {ar {omega }}={sqrt {-1}}int _{X_{0}}|f|^{2},dzwedge d{ar {z}}>0.}$

По двойственности Пуанкаре γ и δ соответствуют классам когомологий γ^* и δ^* которые вместе составляют основу ЧАС¹(Икс₀, Z). Отсюда следует, что ω можно записать как линейную комбинацию γ^* и δ^*. Коэффициенты задаются вычислением ω относительно дуальных базисных элементов γ и δ:

${displaystyle omega =Agamma ^{*}+Bdelta ^{*}.}$

Когда мы переписываем положительную определенность Q в этих терминах у нас есть

${displaystyle {sqrt {-1}}int _{X_{0}}A{ar {B}}gamma ^{*}wedge {ar {delta }}^{*}+{ar {A}}B{ar {gamma }}^{*}wedge delta ^{*}=int _{X_{0}}operatorname {Im} ,(2{ar {A}}B{ar {gamma }}^{*}wedge delta ^{*})>0}$

Поскольку γ^* и δ^* являются целыми, они не меняются при сопряжении. Кроме того, поскольку γ и δ пересекаются в одной точке, и одна точка является генератором ЧАС₀, чашечное произведение γ^* и δ^* фундаментальный класс Икс₀. Следовательно, этот интеграл равен ${displaystyle operatorname {Im} ,2{ar {A}}B}$. Интеграл строго положительный, поэтому ни А ни B может быть нулевым.

После изменения масштаба ω можно считать, что матрица периодов равна (1 τ) для некоторого комплексного числа τ со строго положительной мнимой частью. Это устраняет двусмысленность, исходящую от GL (1, C) действие. Действие SL (2, Z) тогда обычное действие модульная группа в верхней полуплоскости. Следовательно, область периодов - это Сфера Римана. Это обычная параметризация эллиптической кривой как решетки.

Смотрите также

• Теория Ходжа
• Якобиева многообразие
• Модульная группа

Рекомендации

1. Вуазен, Предложение 9.20.

Расчеты

• Явный расчет матриц периодов для кривых вида ${displaystyle x^{m}+y^{n}=1}$ - включает примеры
• Явный расчет матриц периодов для гиперэллиптических кривых - включает примеры
• Алгоритм вычисления периодов гиперповерхностей

Общее

• Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I, II

Приложения

• Кривые Шимуры в геометрическом месте гиперэллиптических якобианов третьего рода

внешняя ссылка

• Энциклопедия математики Спрингера запись для отображения периодов