Комплексная дифференциальная форма - Complex differential form

В математика, а комплексная дифференциальная форма это дифференциальная форма на многообразие (обычно комплексное многообразие ), которому разрешено иметь сложный коэффициенты.

Сложные формы находят широкое применение в дифференциальная геометрия. На сложных многообразиях они являются фундаментальными и служат основой для большей части алгебраическая геометрия, Кэлерова геометрия, и Теория Ходжа. Над некомплексными многообразиями они также играют роль в изучении почти сложные конструкции, теория спиноры, и Структуры CR.

Обычно сложные формы рассматриваются из-за некоторой желательной декомпозиции, которую они допускают. Например, на комплексном многообразии любой комплексный k-форму можно однозначно разложить на сумму так называемых (п,q) -формы: примерно, клинья п дифференциалы голоморфных координат с q дифференциалы их комплексно сопряженных. Ансамбль (п,q) -формы становятся примитивным объектом изучения и определяют более тонкую геометрическую структуру на многообразии, чем k-форм. Даже более тонкие структуры существуют, например, в случаях, когда Теория Ходжа применяется.

Дифференциальные формы на комплексном многообразии

Предположим, что M это комплексное многообразие сложного измерения п. Тогда есть местный система координат состоящий из п комплексные функции z¹, ..., z^п такие, что переходы координат от одного патча к другому голоморфные функции этих переменных. Пространство сложных форм имеет богатую структуру, которая в основном зависит от того факта, что эти функции перехода являются голоморфными, а не просто гладкий; плавный.

Единые формы

Начнем со случая одноформ. Сначала разложите комплексные координаты на их действительную и мнимую части: z^j=Икс^j+иу^j для каждого j. Сдача

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

видно, что любую дифференциальную форму с комплексными коэффициентами можно однозначно записать в виде суммы

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Пусть Ω^1,0 - пространство сложных дифференциальных форм, содержащее только ${\displaystyle dz}$s и Ω^0,1 быть пространством форм, содержащим только ${\displaystyle d{\bar {z}}}$с. Можно показать по Уравнения Коши – Римана, что пространства Ω^1,0 и Ω^0,1 устойчивы относительно голоморфных замен координат. Другими словами, если сделать другой выбор ш_я голоморфной системы координат, то элементы Ω^1,0 преобразовать напряженно, как и элементы из Ω^0,1. Таким образом, пространства Ω^0,1 и Ω^1,0 определить сложный векторные пакеты на комплексном многообразии.

Формы высшей степени

Произведение клина сложных дифференциальных форм определяется так же, как и для вещественных форм. Позволять п и q - пара неотрицательных целых чисел ≤ п. Пространство Ω^{р, д} из (п,q) -форм определяется взятием линейных комбинаций клиновидных произведений п элементы из Ω^1,0 и q элементы из Ω^0,1. Символично,

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}}$

где есть п факторы Ω^1,0 и q факторы Ω^0,1. Так же, как и два пространства 1-форм, они устойчивы относительно голоморфных замен координат и, таким образом, определяют векторные расслоения.

Если E^k - пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k, то каждый элемент E^k однозначно выражается как линейная комбинация элементов из пространств Ω^{р, д} с п+q=k. Более лаконично, есть прямая сумма разложение

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Поскольку это разложение в прямую сумму устойчиво относительно голоморфных замен координат, оно также определяет разложение на векторное расслоение.

В частности, для каждого k и каждый п и q с п+q=k, существует каноническая проекция векторных расслоений

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

Операторы Dolbeault

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений ${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$ через

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

Внешняя производная сама по себе не отражает более жесткую сложную структуру многообразия.

С помощью d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить Операторы Dolbeault:

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Чтобы описать эти операторы в локальных координатах, пусть

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

куда я и J находятся мультииндексы. потом

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

Видны следующие свойства:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

Эти операторы и их свойства составляют основу Когомологии Дольбо и многие аспекты Теория Ходжа.

Голоморфные формы

Для каждого п, а голоморфный п-форма является голоморфным сечением расслоения Ω^{п, 0}. Тогда в локальных координатах голоморфный п-форму можно записать в виде

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

где ${\displaystyle f_{I}}$ являются голоморфными функциями. Эквивалентно (п, 0) -форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

В пучок голоморфных п-forms часто пишут Ω^п, хотя иногда это может приводить к путанице, поэтому многие авторы склонны принимать альтернативные обозначения.

Смотрите также

• Комплекс Дольбо
• Спектральная последовательность Фрелихера
• Дифференциал первого рода

Рекомендации

• П. Гриффитс; Дж. Харрис (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. п. 23-25. ISBN  0-471-05059-8.
• Уэллс, Р. О. (1973). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90419-0.
• Вуазен, Клэр (2008). Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521718015.