Число Милнора - Milnor number

В математике и особенно теория сингулярности, то Число Милнора, названный в честь Джон Милнор, является инвариантом ростка функции.

Если ж является комплекснозначным голоморфным функция росток тогда число Милнора ж, обозначенный μ(ж), является либо неотрицательным целое число, или бесконечный. Это можно рассматривать как геометрический инвариантный и алгебраический инвариантный. Вот почему он играет важную роль в алгебраическая геометрия и теория сингулярности.

Определение

Рассмотрим голоморфный сложный функция росток

${\displaystyle f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\ }$

и обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ то звенеть всех функциональных микробов ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$. Каждый уровень функции представляет собой сложную гиперповерхность в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, поэтому мы будем называть ${\displaystyle f}$ гиперповерхность необычность.

Предположим, это изолированная особенность: в случае голоморфных отображений говорят, что особенность гиперповерхности ${\displaystyle f}$ является особенным в ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ если это градиент ${\displaystyle \nabla f}$ равен нулю в ${\displaystyle 0}$. Особая точка изолирована, если она является единственной особой точкой в ​​достаточно малом район. В частности, кратность градиента

${\displaystyle \mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f}$

конечно. этот номер ${\displaystyle \mu (f)}$ - число Милнора особенности ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle 0}$.

Геометрическая интерпретация

Милнор изначально^[1] представил ${\displaystyle \mu (f)}$ в геометрическом выражении следующим образом. Все волокна ${\displaystyle f^{-1}(c)}$ для ценностей ${\displaystyle c}$ рядом с ${\displaystyle 0}$ неособые многообразия реальной размерности ${\displaystyle 2(n-1)}$. Их пересечение с небольшим открытым диском ${\displaystyle D_{\epsilon }}$ сосредоточен на ${\displaystyle 0}$ гладкое многообразие ${\displaystyle F}$ называется волокном Милнора. С точностью до диффеоморфизма ${\displaystyle F}$ не зависит от ${\displaystyle c}$ или же ${\displaystyle \epsilon }$ если они достаточно маленькие. Он также диффеоморфен слою Карта расслоения Милнора.

Волокно Милнора ${\displaystyle F}$ гладкое многообразие размерности ${\displaystyle 2(n-1)}$ и имеет то же самое гомотопический тип как букет из ${\displaystyle \mu (f)}$ сферы ${\displaystyle S^{n-1}}$. Это означает, что его середина Бетти число ${\displaystyle b_{n-1}(F)}$ равно числу Милнора и имеет гомология точки размером меньше, чем ${\displaystyle n-1}$. Например, комплексная плоская кривая около каждой особой точки ${\displaystyle z_{0}}$ волокно Милнора гомотопно клин ${\displaystyle \mu _{z_{0}}(f)}$ круги (Число Милнора - это локальное свойство, поэтому оно может иметь разные значения в разных особых точках).

Таким образом, мы имеем равенства

Число Милнора = количество сфер в клин = средний Бетти число из ${\displaystyle F}$ = степень карты ${\displaystyle z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}}$ на ${\displaystyle S_{\epsilon }}$ = кратность градиента ${\displaystyle \nabla f}$

Еще один способ взглянуть на число Милнора: возмущение. Мы говорим, что точка - это вырожденная особая точка, или что ж имеет вырожденную особенность, при ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$ если ${\displaystyle z_{0}}$ особая точка и Матрица Гессе всех частных производных второго порядка имеет нуль детерминант в ${\displaystyle z_{0}}$:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.}$

Мы предполагаем, что ж имеет вырожденную особенность в 0. Мы можем говорить о кратности этой вырожденной особенности, думая о том, сколько точек бесконечно мало приклеен. Если мы сейчас возмущать образ ж определенным устойчивым образом изолированная вырожденная особенность в 0 расщепится на другие изолированные особенности, которые невырождены! Количество таких изолированных невырожденных особенностей будет числом бесконечно склеенных точек.

А именно, возьмем другой росток функции грамм неособое в нуле, и рассмотрим росток новой функции h: = f + εg куда ε очень маленький. Когда ε = 0, тогда h = f. Функция час называется морсификация из ж. Вычислить особенности час, и действительно, это может быть вычислительно невозможно. Это количество баллов, которые были бесконечно мало склеенные, эта локальная кратность ж, в точности число Милнора ж.

Дальнейшие вклады^[2] придают смысл числу Милнора с точки зрения размерности пространства версальные деформации, т.е. число Милнора - это минимальная размерность параметрического пространства деформаций, несущего всю информацию о начальной особенности.

Алгебраическая интерпретация

Используя некоторые алгебраический методов, мы можем вычислить число Милнора ж легко. К ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ обозначить звенеть функциональных микробов ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$. К ${\displaystyle J_{f}}$ обозначить Якобианский идеал из ж:

${\displaystyle J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}:1\leq i\leq n\right\rangle .}$

Локальная алгебра ж тогда дается частное алгебра

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}:={\mathcal {O}}/J_{f}.}$

Обратите внимание, что это фактор-пространство на самом деле будет векторное пространство, хотя он может и не быть конечномерным. Тогда число Милнора равно комплексной размерности локальной алгебры:

${\displaystyle \mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {A}}_{f}\ .}$

Из формулы Гильберта следует Nullstellensatz который ${\displaystyle \mu (f)}$ конечно тогда и только тогда, когда начало координат изолированные критическая точка ж; то есть существует окрестность 0 в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ так что единственная критическая точка ж внутри этой окрестности находится в 0.

Примеры

Здесь мы приводим несколько отработанных примеров в двух переменных. Работа только с одной слишком проста и не дает представления о методах, тогда как работа с тремя переменными может быть довольно сложной. Два - хорошее число. Также мы придерживаемся полиномов. Если ж только голоморфный а не полином, то мы могли бы работать с степенной ряд расширение ж.

1

Рассмотрим росток функции с невырожденной особенностью в 0, скажем ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$. Якобианский идеал просто ${\displaystyle \langle 2x,2y\rangle =\langle x,y\rangle }$. Далее мы вычисляем локальную алгебру:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle x,y\rangle =\langle 1\rangle .}$

Чтобы понять, почему это так, мы можем использовать Лемма Адамара который говорит, что мы можем написать любую функцию ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}}$ в качестве

${\displaystyle h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)}$

для некоторой постоянной k и функции ${\displaystyle h_{1}}$ и ${\displaystyle h_{2}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ (где либо ${\displaystyle h_{1}}$ или же ${\displaystyle h_{2}}$ или оба могут быть точно равны нулю). Итак, по модулю функциональных кратных Икс и y, мы можем написать час как константа. Пространство постоянных функций натянуто на 1, поэтому ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}=\langle 1\rangle }$

Следует, что μ(ж) = 1. Легко проверить, что для любого ростка функции грамм с невырожденной особенностью в 0 получаем μ(грамм) = 1.

Отметим, что применение этого метода к ростку неособой функции грамм мы получили μ(грамм) = 0.

2

Позволять ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+xy^{2}}$, тогда

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle 3x^{2}+y^{2},xy\rangle =\langle 1,x,y,x^{2}\rangle .}$

Так что в этом случае ${\displaystyle \mu (f)=4}$.

3

Можно показать, что если ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}}$ тогда ${\displaystyle \mu (f)=\infty .}$

Это может быть объяснил тем, что ж особа в каждой точке Икс-ось.

Версальные деформации

Позволять ж иметь конечное число Милнора μ, и разреши ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{\mu }}$ быть основа для локальной алгебры, рассматриваемой как векторное пространство. Тогда миниверсальная деформация ж дан кем-то

${\displaystyle F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),}$

${\displaystyle F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),}$

куда ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }}$Эти деформации (или разворачивается ) представляют большой интерес во многих областях науки.^{[нужна цитата ]}

Инвариантность

Мы можем собрать вместе ростки функций, чтобы построить классы эквивалентности. Одна стандартная эквивалентность А-эквивалентность. Мы говорим, что ростки двух функций ${\displaystyle f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ находятся А-эквивалентно, если есть диффеоморфизм микробы ${\displaystyle \phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)}$ и ${\displaystyle \psi :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ такой, что ${\displaystyle f\circ \phi =\psi \circ g}$: существует диффеоморфная замена переменной в обоих домен и классифицировать который берет ж к грамм.

Число Милнора не дает полного инварианта для ростков функций. У нас есть это, если ж и грамм находятся А-эквивалентно тогда μ(ж) = μ(граммОбратное неверно: существуют ростки функций ж и грамм с μ(ж) = μ(грамм) которые не А-эквивалент. Чтобы увидеть это, подумайте ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}}$ и ${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{5}}$. У нас есть ${\displaystyle \mu (f)=\mu (g)=4}$ но ж и грамм явно не А-эквивалентно, поскольку Матрица Гессе из ж равен нулю, а грамм не является (и ранг гессиана А-инвариантна, как нетрудно убедиться).

Рекомендации

1. Милнор, Джон (1969). Особые точки сложных гиперповерхностей. Анналы математических исследований. Princeton University Press.
2. Арнольд, В.; Гусейн-Заде, С.М .; Варченко, А. (1988). Особенности дифференцируемых отображений. Том 2. Биркхойзер.

• Арнольд, В.; Гусейн-Заде, С.М .; Варченко, А. (1985). Особенности дифференцируемых отображений. Том 1. Биркхойзер.
• Гибсон, Кристофер Г. (1979). Особые точки гладких отображений.. Исследования по математике. Питман.
• Милнор, Джон (1963). Теория Морса. Анналы математических исследований. Princeton University Press.
• Милнор, Джон (1969). Особые точки сложных гиперповерхностей. Анналы математических исследований. Princeton University Press.