Разложение Леви - Levi decomposition

Разложение Леви
ПолеТеория представлений
ПредполагаетсяВильгельм Киллинг
Эли Картан
Предполагается в1888
Первое доказательствоЭухенио Элиа Леви
Первое доказательство в1905

В Теория лжи и теория представлений, то Разложение Леви, предположил Вильгельм Киллинг[1] и Эли Картан[2] и доказано Эухенио Элиа Леви  (1905 ), утверждает, что любое конечномерное вещественное[требуется разъяснение ] Алгебра Ли г является полупрямым произведением разрешимый идеал и полупростой подалгебра. радикальный, максимальный разрешимый идеал, а другой - полупростая подалгебра, называемая Подалгебра Леви. Из разложения Леви следует, что любая конечномерная алгебра Ли является полупрямой продукт разрешимой алгебры Ли и полупростой алгебры Ли.

Если рассматривать как фактор-алгебру г, эта полупростая алгебра Ли также называется Фактор Леви из г. В определенной степени это разложение можно использовать для сведения проблем о конечномерных алгебрах Ли и групп Ли к разделению проблем об алгебрах Ли в этих двух специальных классах, разрешимых и полупростых.

Более того, Мальцев (1942) показал, что любые две подалгебры Леви сопрягать (внутренним) автоморфизмом вида

где z находится в нильрадикал (Теорема Леви – Мальцева.).

Аналогичный результат верен для ассоциативные алгебры и называется Основная теорема Веддерберна.

Расширения результатов

В теории представлений разложение Леви параболические подгруппы редуктивной группы необходимо для построения большого семейства так называемых параболически индуцированный представления. В Разложение Ленглендса является небольшим уточнением разложения Леви для параболических подгрупп, используемых в этом контексте.

Аналогичные утверждения справедливы для односвязных Группы Ли, и, как показано Джордж Мостоу, для алгебраических алгебр Ли и односвязных алгебраические группы над полем характеристика нуль.

Для большинства бесконечномерных алгебр Ли нет аналога разложения Леви; Например аффинные алгебры Ли имеют радикал, состоящий из их центра, но не могут быть записаны как полупрямое произведение центра и другой алгебры Ли. Разложение Леви также не работает для конечномерных алгебр над полями положительной характеристики.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Киллинг, W. (1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen". Mathematische Annalen. 31 (2): 252–290. Дои:10.1007 / BF01211904.
  2. ^ Картан, Эли (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Диссертация, Нет
  • Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли. Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0486638324. OCLC  6499793.
  • Леви, Эухенио Элиа (1905), "Sulla struttura dei gruppi finiti econtini", Атти делла Реале Академия делле Scienze ди Турин. (на итальянском), XL: 551–565, JFM  36.0217.02, заархивировано из оригинал 5 марта 2009 г. Печатается в: Opere Vol. 1, Edizione Cremonese, Рим (1959), стр. 101.
  • Мальцев, Анатолий И. (1942), «О представлении алгебры в виде прямой суммы радикала и полупростой подалгебры», С.Р. (Доклады) акад. Sci. URSS (N.S.), 36: 42–45, Г-Н  0007397, Zbl  0060.08004.

внешние ссылки