Проклятая группа - Profinite group - Wikipedia

В математика, проконечные группы находятся топологические группы которые в определенном смысле собраны из конечные группы. У них много общих свойств с их конечными частными: например, оба Теорема Лагранжа и Теоремы Силова хорошо обобщаются на проконечные группы.^[1]

Некомпактным обобщением проконечной группы называется локально проконечная группа.

Определение

Проконечные группы могут быть определены любым из двух эквивалентных способов.

Первое определение

Проконечная группа - это топологическая группа, которая изоморфный к обратный предел из обратная система из дискретный конечные группы.^[2] В этом контексте обратная система состоит из направленный набор ${\displaystyle (I,\leq )}$, набор конечных групп ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\in I\}}$, каждый из которых имеет дискретную топологию и набор гомоморфизмы ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$ такой, что ${\displaystyle f_{i}^{i}}$ это личность на ${\displaystyle G_{i}}$ и коллекция удовлетворяет свойству композиции ${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$. Обратный предел установлен:

${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}j\geq i\right\}}$

оснащен относительный топология продукта. В категоричный термины, это частный случай лимит cofiltered строительство. Можно также определить обратный предел в терминах универсальная собственность.

Второе определение

Проконечная группа - это Хаусдорф, компактный, и полностью отключен топологическая группа:^[3] то есть топологическая группа, которая также является Каменное пространство. Учитывая это определение, можно восстановить первое определение, используя обратный предел ${\displaystyle \varprojlim G/N}$ куда ${\displaystyle N}$ пробегает открытые нормальные подгруппы ${\displaystyle G}$ упорядочено (обратным) включением.

Примеры

• Конечные группы проконечны, если задано дискретная топология.
• Группа п-адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ при добавлении бесконечен (на самом деле проциклический ). Это обратный предел конечных групп ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ куда п пробегает все натуральные числа и естественные карты ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ за ${\displaystyle n\geq m}$ используются для процесса ограничения. Топология на этой проконечной группе такая же, как топология, возникающая из p-адического нормирования на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Группа проконечные целые числа ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ является обратным пределом конечных групп ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ куда ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ и мы используем карты ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ за ${\displaystyle m|n}$ в лимитном процессе. Эта группа является продуктом всех групп ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, и это абсолютная группа Галуа любого конечного поля.
• В Теория Галуа из расширения полей бесконечной степени естественным образом порождает проконечные группы Галуа. В частности, если L/K это Расширение Галуа, мы рассматриваем группу грамм = Гал (L/K) состоящий из всех полевых автоморфизмов L которые сохраняют все элементы K фиксированный. Эта группа является обратным пределом конечных групп Gal (F/K), куда F пробегает все промежуточные поля такие, что F/K это конечный Расширение Галуа. Для предельного процесса мы используем гомоморфизмы ограничения Gal (F₁/K) → Гал (F₂/K), куда F₂ ⊆ F₁. Полученная топология на Gal (L/K) известен как Топология Крулля после Вольфганг Круль. Уотерхаус (1974) показало, что каждый проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа немного поле K, но (пока) нельзя контролировать, какое поле K будет в этом случае. Фактически, для многих областей K вообще не известно, какой именно конечные группы встречаются как группы Галуа над K. Это обратная задача Галуа для поляK. (Для некоторых полей K решена обратная проблема Галуа, например, поле рациональных функций от одной переменной над комплексными числами.) Не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа поля.^[4]
• В фундаментальные группы, рассматриваемые в алгебраической геометрии также проконечные группы, грубо говоря, потому что алгебра может «видеть» только конечные покрытия алгебраическое многообразие. В фундаментальные группы из алгебраическая топология, однако, в общем случае не проконечны: для любой заданной группы существует 2-мерный комплекс CW, фундаментальная группа которого равна ему (зафиксируйте представление группы; комплекс CW имеет одну 0-клетку, петлю для каждого генератора, и 2 ячейки для каждого отношения, чья карта присоединения соответствует отношению "очевидным" способом: например, для отношения abc = 1прикрепляемое отображение отслеживает генератор фундаментальных групп петель для а, б, и c чтобы. Вычисление следует из теорема ван Кампена.)
• Группа автоморфизмов локально конечное корневое дерево бесконечно.

Свойства и факты

• Каждый товар проконечных групп (сколь угодно много) проконечна; топология, возникающая из конечности, согласуется с топология продукта. Обратный предел обратной системы проконечных групп с непрерывными отображениями переходов проконечен, а функтор обратного предела точен на категории проконечных групп. Кроме того, проконечность - свойство расширения.
• Каждый закрыто подгруппа проконечной группы сама проконечна; топология, возникающая из конечности, согласуется с топология подпространства. Если N замкнутая нормальная подгруппа проконечной группы грамм, то факторная группа грамм/N бесконечно; топология, возникающая из конечности, согласуется с факторная топология.
• Поскольку каждая проконечная группа грамм компактно по Хаусдорфу, имеем Мера Хаара на грамм, что позволяет нам измерить "размер" подмножеств грамм, вычислить определенные вероятности и интегрировать функции на грамм.
• Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только тогда, когда она замкнута и имеет конечные индекс.
• Согласно теореме Николай Николов и Дэн Сигал в любой топологически конечно порожденной проконечной группе (т. е. проконечной группе, имеющей плотный конечно порожденная подгруппа ) подгруппы конечного индекса открыты. Это обобщает более ранний аналогичный результат Жан-Пьер Серр для топологически конечно порожденных группы pro-p. Доказательство использует классификация конечных простых групп.
• Как простое следствие приведенного выше результата Николова – Сигала, любой сюръективный гомоморфизм дискретных групп φ:грамм → ЧАС между проконечными группами грамм и ЧАС продолжается до тех пор, пока грамм топологически конечно порожден. Действительно, любая открытая подгруппа в ЧАС имеет конечный индекс, поэтому его прообраз в грамм также имеет конечный индекс, поэтому он должен быть открытым.
• Предполагать грамм и ЧАС топологически конечно порожденные проконечные группы, изоморфные как дискретные группы изоморфизмом ι. Тогда ι биективен и непрерывен по полученному результату. Кроме того, ι⁻¹ также непрерывно, поэтому ι - гомеоморфизм. Следовательно, топология топологически конечно порожденной проконечной группы однозначно определяется ее алгебраический структура.

Бесконечное завершение

Для произвольной группы ${\displaystyle G}$, существует связанная проконечная группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$, то бесконечное завершение из ${\displaystyle G}$.^[3] Он определяется как обратный предел групп ${\displaystyle G/N}$, куда ${\displaystyle N}$ проходит через нормальные подгруппы в ${\displaystyle G}$ конечных индекс (эти нормальные подгруппы частично заказанный по включению, что переводится в обратную систему естественных гомоморфизмов между факторами). Существует естественный гомоморфизм ${\displaystyle \eta :G\rightarrow {\widehat {G}}}$, а изображение ${\displaystyle G}$ при этом гомоморфизме плотный в ${\displaystyle {\widehat {G}}}$. Гомоморфизм ${\displaystyle \eta }$ инъективен тогда и только тогда, когда группа ${\displaystyle G}$ является финитно аппроксимируемая (т.е.${\displaystyle \bigcap {N}=1}$, где пересечение пробегает все нормальные подгруппы конечного индекса). Гомоморфизм ${\displaystyle \eta }$ характеризуется следующими универсальная собственность: для любой проконечной группы ${\displaystyle H}$ и любой гомоморфизм групп ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$, существует единственный непрерывный групповой гомоморфизм ${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$ с ${\displaystyle f=g\eta }$.

Инд-конечные группы

Есть понятие инд-конечная группа, что является концептуальным двойной проконечным группам; то есть группа грамм инд-конечно, если это прямой предел индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа.) Обычная терминология другая: группа грамм называется локально конечный если каждый конечно порожденный подгруппа конечно. Фактически, это эквивалентно «инд-конечности».

Применяя Понтрягинская двойственность, видно, что абелевский проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние просто абелевы торсионные группы.

Проективные проконечные группы

Проконечная группа проективный если у него есть подъемное имущество для каждого расширения. Это эквивалентно тому, что грамм проективен, если для любого сюръективного морфизма из проконечного ЧАС → грамм Существует раздел грамм → ЧАС.^[5][6]

Проективность проконечной группы грамм эквивалентно любому из двух свойств:^[5]

• то когомологическая размерность CD(грамм) ≤ 1;
• для каждого прайма п Силовский п-подгруппы грамм бесплатно проп-группы.

Каждая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа из псевдоалгебраически замкнутое поле. Этот результат обусловлен Александр Любоцкий и Лу ван ден Дрис.^[7]

Проциклическая группа

Проклинательная группа ${\displaystyle G}$ является проциклический если он топологически порождается одним элементом ${\displaystyle \sigma }$ т.е. ${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }}}$ подгруппы ${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$.^[8]

Топологическая группа ${\displaystyle G}$ если проциклический тогда и только тогда ${\displaystyle G\cong \prod _{p}G_{p}}$ куда ${\displaystyle p}$ колеблется во всех рациональные простые числа и ${\displaystyle G_{p}}$ изоморфен либо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ или же ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$.^[9]

Смотрите также

• Локально циклическая группа
• Группа ПРО-П
• Бесконечное целое число
• Остаточная собственность (математика)
• Аппроксимально конечная группа
• Хаусдорфово завершение

Рекомендации

1. 1944-, Уилсон, Джон С. (Джон Стюарт) (1998). Конечные группы. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  9780198500827. OCLC  40658188.
2. Ленстра, Хендрик. "Проклятые группы" (PDF). Лейденский университет.
3. Оссерман, Брайан. «Обратные пределы и проконечные группы» (PDF). Калифорнийский университет в Дэвисе. Архивировано из оригинал (PDF) на 2018-12-26.
4. Фрид и Джарден (2008) стр. 497
5. Серр (1997) стр. 58
6. Фрид и Джарден (2008) стр. 207
7. Фрид и Джарден (2008), стр. 208,545
8. Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. Дои:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN  978-3-642-08473-7.
9. «МО. Разложение проциклических групп». MathOverflow.

• Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (3-е изд. Изм.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.
• Николов, Николай; Сегал, Дэн (2006). «О конечно порожденных проконечных группах. I. Сильная полнота и равномерные оценки». arXiv:math.GR/0604399..
• Николов, Николай; Сегал, Дэн (2006). «О конечно порожденных проконечных группах. II. Произведения в квазипростых группах». arXiv:math.GR/0604400..
• Ленстра, Хендрик (2003), Проконечные группы (PDF), выступление в Обервольфах.
• Любоцкий Александр (2001), «Книжное обозрение», Бюллетень Американского математического общества, 38 (4): 475–479, Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00914-4. Рецензия на несколько книг о проконечных группах.
• Серр, Жан-Пьер (1994), Cohomologie galoisienne, Конспект лекций по математике (на французском языке), 5 (5-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-58002-7, МИСТЕР  1324577, Zbl  0812.12002. Серр, Жан-Пьер (1997), Когомологии Галуа, Перевод Патрика Иона, Springer-Verlag, ISBN  3-540-61990-9, Zbl  0902.12004
• Уотерхаус, Уильям С. (1974), «Проконечные группы есть группы Галуа», Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 42 (2): 639–640, Дои:10.2307/2039560, JSTOR  2039560, Zbl  0281.20031.