Аппроксимально конечная группа - Residually finite group

в математический поле теория групп, а группа грамм является финитно аппроксимируемая или же конечно аппроксимируемый если для каждого элемента грамм это не идентичность в грамм Существует гомоморфизм час из грамм конечной группе, такой что

Есть несколько эквивалентных определений:

  • Группа финитно аппроксимируема, если для каждого неединичного элемента в группе существует нормальная подгруппа конечных индекс не содержащие этот элемент.
  • Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда пересечение всех ее подгрупп конечного индекса тривиально.
  • Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда пересечение всех ее нормальных подгрупп конечного индекса тривиально.
  • Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее можно вложить внутрь прямой продукт семейства конечных групп.

Примеры

Примеры финитно аппроксимируемых групп: конечные группы, бесплатные группы, конечно порожденный нильпотентные группы, почти полициклические группы, конечно порожденный линейные группы, и фундаментальные группы из 3-х коллектор.

Подгруппы финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируемы, а прямые произведения финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируемы. Любой обратный предел финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируема. В частности, все проконечные группы финитно аппроксимируемы.

Примеры не аппроксимируемых конечных групп можно построить, используя тот факт, что все конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы являются Группы Хопфа. Например, Баумслаг – Солитэр группа B(2, 3) не является хопфовым и, следовательно, не аппроксимируемо конечным.

Конечная топология

Каждая группа грамм может быть превращен в топологическая группа взяв за основу открытых окрестностей единицы совокупность всех нормальных подгрупп конечного индекса в грамм. Результирующий топология называется проконечная топология на грамм. Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее проконечная топология Хаусдорф.

Группа, циклические подгруппы которой замкнуты в проконечной топологии, называется группой Группы, каждая из конечно порожденных подгрупп которых замкнута в проконечной топологии, называются подгруппа отделимая (также LERF, за локально расширенный финитно аппроксимируемыйГруппа, в которой каждый класс сопряженности замкнуто в проконечной топологии называется сопряженность отделимая.

Многообразия финитно аппроксимируемых групп

Один вопрос: каковы свойства разнообразие все группы которых финитно аппроксимируемы? Два результата по этому поводу:

  • Любое многообразие, содержащее только финитно аппроксимируемые группы, порождается Группа.
  • Для любого многообразия, содержащего только финитно аппроксимируемые группы, оно содержит такую ​​конечную группу, что все члены вложены в прямое произведение этой конечной группы.

Смотрите также

внешняя ссылка