Локально проконечная группа - Locally profinite group

В математике локально проконечная группа Хаусдорф топологическая группа в которой каждая окрестность единицы содержит компактную открытую подгруппу. Эквивалентно, локально проконечная группа - это топологическая группа, которая Хаусдорф, локально компактный, и полностью отключен. Более того, локально проконечная группа компактна тогда и только тогда, когда она проклятый; это объясняет терминологию. Основными примерами локально проконечных групп являются дискретные группы и п-адическая группа Ли. Непримеры - это действительные группы Ли, которые имеют нет мелкой подгруппы.

В локально проконечной группе замкнутая подгруппа локально проконечна, и каждая компактная подгруппа содержится в открытой компактной подгруппе.

Примеры

Важные примеры локально проконечных групп взяты из алгебраическая теория чисел. Позволять F быть неархимедов местное поле. Тогда оба F и ${\displaystyle F^{\times }}$ локально проконечны. В более общем смысле матричное кольцо ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(F)}$ и общая линейная группа ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$ локально проконечны. Другой пример локально проконечной группы - абсолютная Группа Вейля неархимедова локального поля: это контрастирует с тем фактом, что абсолютная группа Галуа таких является бесконечным (в частности, компактным).

Представления локально проконечной группы

Позволять грамм - локально проконечная группа. Тогда гомоморфизм групп ${\displaystyle \psi :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ является непрерывным тогда и только тогда, когда у него есть открытое ядро.

Позволять ${\displaystyle (\rho ,V)}$ быть сложным представлением грамм.^[1] ${\displaystyle \rho }$ как говорят гладкий если V это союз ${\displaystyle V^{K}}$ куда K пробегает все открытые компактные подгруппы K. ${\displaystyle \rho }$ как говорят допустимый если он гладкий и ${\displaystyle V^{K}}$ конечномерна для любой открытой компактной подгруппы K.

Теперь мы делаем общее предположение, что ${\displaystyle G/K}$ не более чем счетно для всех открытых компактных подгрупп K.

Двойное пространство ${\displaystyle V^{*}}$ несет действие ${\displaystyle \rho ^{*}}$ из грамм данный ${\displaystyle \langle \rho ^{*}(g)\alpha ,v\rangle =\langle \alpha ,\rho ^{*}(g^{-1})v\rangle }$. В целом, ${\displaystyle \rho ^{*}}$ не гладко. Таким образом, положим ${\displaystyle {\widetilde {V}}=\bigcup _{K}(V^{*})^{K}}$ куда ${\displaystyle K}$ действует через ${\displaystyle \rho ^{*}}$ и установить ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}=\rho ^{*}}$. Гладкое представление ${\displaystyle ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$ затем называется противоположный или гладкий дуал ${\displaystyle (\rho ,V)}$.

Контравариантный функтор

${\displaystyle (\rho ,V)\mapsto ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$

из категории гладких представлений грамм себе точно. Более того, следующие эквивалентны.

• ${\displaystyle \rho }$ допустимо.
• ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$ допустимо.^[2]
• Канонический грамм-модульная карта ${\displaystyle \rho \to {\widetilde {\widetilde {\rho }}}}$ является изоморфизмом.

Когда ${\displaystyle \rho }$ допустимо, ${\displaystyle \rho }$ неприводимо тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$ неприводимо.

Предположение о счетности вначале действительно необходимо, поскольку существует локально проконечная группа, допускающая неприводимое гладкое представление ${\displaystyle \rho }$ такой, что ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$ не является неприводимым.

Алгебра Гекке локально проконечной группы

Смотрите также: Алгебра Гекке локально компактной группы

Позволять ${\displaystyle G}$ - унимодулярная локально проконечная группа такая, что ${\displaystyle G/K}$ не более чем счетно для всех открытых компактных подгрупп K, и ${\displaystyle \mu }$ левая мера Хаара на ${\displaystyle G}$. Позволять ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$ обозначим пространство локально постоянных функций на ${\displaystyle G}$ с компактной опорой. С мультипликативной структурой, заданной

${\displaystyle (f*h)(x)=\int _{G}f(g)h(g^{-1}x)d\mu (g)}$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$ не обязательно становится единственно ассоциативным ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебра. Она называется алгеброй Гекке. грамм и обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$. Алгебра играет важную роль в изучении гладких представлений локально проконечных групп. Действительно, имеется следующее: для гладкого представления ${\displaystyle (\rho ,V)}$ из грамм, мы определяем новое действие на V:

${\displaystyle \rho (f)=\int _{G}f(g)\rho (g)d\mu (g).}$

Таким образом, мы имеем функтор ${\displaystyle \rho \mapsto \rho }$ из категории гладких представлений ${\displaystyle G}$ в категорию невырожденных ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$-модули. Здесь «невырожденный» означает ${\displaystyle \rho ({\mathfrak {H}}(G))V=V}$. Тогда дело в том, что функтор эквивалентен.^[3]

Примечания

1. Мы не ставим топологию на V; поэтому на представление нет топологического условия.
2. Блондель, следствие 2.8.
3. Блондель, Предложение 2.16.

Рекомендации

• Коринн Блондель, Основная теория представлений редуктивных p-адических групп. [1]
• Бушнелл, Колин Дж .; Хенниар, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / 3-540-31511-Х, ISBN  978-3-540-31486-8, МИСТЕР  2234120
• Милн, Дж. (1988), Канонические модели (смешанных) многообразий Шимуры и автоморфные векторные расслоения, МИСТЕР  1044823