Группа Вейля - Weil group

Для использования в других целях см. Группа Вейля – Шатле, Группа Морделла – Вейля, и Группа Вейля.

В математике Группа Вейля, представлен Weil  (1951 ), является модификацией абсолютная группа Галуа из местный или же глобальное поле, используется в теория поля классов. Для такого поля F, его группа Вейля обычно обозначается W_F. Существуют также модификации "конечного уровня" групп Галуа: если E/F это конечное расширение, то относительная группа Вейля из E/F является W_E/F = W_F/W c
E  (где верхний индекс c обозначает коммутаторная подгруппа ).

Подробнее о группах Вейля см. (Артин и Тейт 2009 ) или же (Тейт 1979 ) или же (Вайль 1951 ).

Группа Вейля классовой формации

В Группа Вейля из формирование класса с фундаментальные классы ты_E/F ∈ ЧАС²(E/F, А^F) является разновидностью модифицированной группы Галуа, используемой в различных формулировках теории полей классов, и в частности в Программа Langlands.

Если E/F нормальный слой, то (относительная) группа Вейля W_E/F из E/F это расширение

1 → А^F → W_E/F → Гал (E/F) → 1

соответствующие (используя интерпретацию элементов во втором групповые когомологии как центральные расширения) к фундаментальному классу ты_E/F в ЧАС²(Гал (E/F), А^F). Группа Вейля всей формации определяется как обратный предел групп Вейля всех слоевграмм/F, за F открытая подгруппа грамм.

Карта взаимности образования классов (грамм, А) индуцирует изоморфизм из А^грамм к абелианизации группы Вейля.

Группа Вейля архимедова локального поля

Для архимедовых локальных полей группу Вейля легко описать: для C это группа C^× ненулевых комплексных чисел, а для р это нерасщепляемое расширение группы Галуа порядка 2 посредством группы ненулевых комплексных чисел, и его можно отождествить с подгруппой C^× ∪ j C^× ненулевых кватернионов.

Группа Вейля конечного поля

Для конечных полей группа Вейля есть бесконечный циклический. Выдающийся генератор обеспечивается Автоморфизм Фробениуса. Некоторые терминологические соглашения, такие как арифметика Фробениуса, проследите до фиксации здесь генератора (как Фробениуса или его инверсии).

Группа Вейля локального поля

Для локального поля характеристики п > 0 группа Вейля - это подгруппа абсолютной группы Галуа элементов, которые действуют как степень автоморфизма Фробениуса на поле констант (объединение всех конечных подполей).

За п-адических полей группа Вейля является плотной подгруппой абсолютной группы Галуа и состоит из всех элементов, образ которых в группе Галуа поля вычетов является целой степенью автоморфизма Фробениуса.

Более конкретно, в этих случаях группа Вейля не имеет топологии подпространства, а скорее более тонкую топологию. Эта топология определяется тем, что инерционная подгруппа задается ее топологией подпространства и налагается, что она является открытой подгруппой группы Вейля. (Результирующая топология "локально проклятый ".)

Группа Вейля функционального поля

Для глобальных полей характеристики п> 0 (функциональные поля), группа Вейля является подгруппой абсолютной группы Галуа элементов, которые действуют как степень автоморфизма Фробениуса на поле констант (объединение всех конечных подполей).

Группа Вейля числового поля

Для числовых полей не существует известной «естественной» конструкции группы Вейля без использования коциклов для построения расширения. Отображение группы Вейля в группу Галуа сюръективно, и его ядро ​​является связной компонентой тождества группы Вейля, что довольно сложно.

Группа Вейля – Делиня

В Групповая схема Вейля – Делиня (или просто Группа Вейля – Делиня) W′_K неархимедова локального поля, K, является расширением группы Вейля W_K по одномерной аддитивной групповой схеме грамм_а, представлен Делинь (1973), 8.3.6). В этом расширении группа Вейля действует на аддитивную группу формулой

${displaystyle displaystyle wxw^{-1}=||w||x}$

куда ш действует на поле вычетов порядка q в качестве а→а^||ш|| с ||ш|| сила q.

В местная переписка Ленглендса для GL_п над K (теперь доказано) утверждает, что существует естественная биекция между классами изоморфизма неприводимых допустимых представлений GL_п(K) и некоторые п-мерные представления группы Вейля – Делиня K.

Группа Вейля – Делиня часто проявляется через свои представления. В таких случаях иногда принимают группу Вейля – Делиня W_K × SL(2,C) или же W_K × SU(2,р), или просто покончено с и Представления Вейля – Делиня из W_K вместо этого используются.^[1]

В архимедовом случае группа Вейля – Делиня просто определяется как группа Вейля.

Смотрите также

• Группа Ленглендс
• Теорема Шафаревича – Вейля

Примечания

1. Рорлих 1994

Рекомендации

• Артин, Эмиль; Тейт, Джон (2009) [1952], Теория поля классов, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-4426-7, МИСТЕР  0223335
• Делинь, Пьер (1973), "Константы функций функций L", Модульные функции одной переменной, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Конспект лекций по математике, 349, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 501–597, Дои:10.1007/978-3-540-37855-6_7, ISBN  978-3-540-06558-6, МИСТЕР  0349635
• Коттвиц, Роберт (1984), "Формула стабильного следа: закругленные термины", Математический журнал герцога, 51 (3): 611–650, CiteSeerX  10.1.1.463.719, Дои:10.1215 / S0012-7094-84-05129-9, МИСТЕР  0757954
• Рорлих, Дэвид (1994), "Эллиптические кривые и группа Вейля – Делиня", у Кисилевского, Херши; Мурти, М. Рам (ред.), Эллиптические кривые и связанные темы, Материалы и лекции по CRM, 4, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-6994-9
• Тейт, Дж. (1979), "Теоретические основы чисел", Автоморфные формы, представления и L-функции Часть 2, Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXIII, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 3–26, ISBN  978-0-8218-1435-2
• Вайль, Андре (1951), "Sur la theorie du corps de classes (О теории полей классов)", Журнал математического общества Японии, 3: 1–35, Дои:10.2969 / jmsj / 00310001, ISSN  0025-5645, перепечатанный в томе I его собрания статей, ISBN  0-387-90330-5