Теорема Шафаревича – Вейля - Shafarevich–Weil theorem

В алгебраическая теория чисел, то Теорема Шафаревича – Вейля связывает фундаментальный класс Расширение Галуа локальных или глобальных полей в расширение Группы Галуа. Он был представлен Шафаревич (1946 ) для локальных полей и Weil (1951 ) для глобальных полей.

Заявление

Предположим, что F это глобальное поле, K является нормальным продолжением F, и L является абелевым расширением K. Тогда группа Галуа Gal (L/F) является расширением группы Gal (K/F) абелевой группой Gal (L/K), и это расширение соответствует элементу группы когомологий H²(Гал (K/F), Гал (L/K)). С другой стороны, теория полей классов дает фундаментальный класс в H²(Гал (K/F),я_K) и карту закона взаимности из я_K к Гал (L/K). Теорема Шафаревича – Вейля утверждает, что класс расширения Gal (L/F) является образом фундаментального класса при гомоморфизме групп когомологий, индуцированном отображением закона взаимности (Артин и Тейт 2009, стр.246).

Шафаревич сформулировал свою теорему для локальных полей в терминах алгебр с делением, а не фундаментального класса (Weil 1967 ). В этом случае с L максимальное абелево расширение Kрасширение Gal (L/F) соответствует по отображению взаимности нормализатору K в алгебре с делением степени [K:F] над F, а теорема Шафаревича утверждает, что инвариант Хассе этой алгебры с делением равен 1 / [K:F]. Связь с предыдущей версией теоремы состоит в том, что алгебры с делением соответствуют элементам второй группы когомологий (группа Брауэра) и при этом соответствии алгебра с делением с инвариантом Хассе 1 / [K:F] соответствует фундаментальному классу.

Теорема Шафаревича – Вейля - Shafarevich–Weil theorem

Заявление

Рекомендации