Каменное пространство - Stone space

В топология и смежные области математика, а Каменное пространство, также известный как бесконечное пространство,^[1] это компактный полностью отключен Пространство Хаусдорфа.^[2] Каменные пространства названы в честь Маршалл Харви Стоун который ввел и изучил их в 1930-х гг. в ходе своего исследования Булевы алгебры, который завершился его теорема о представлении булевых алгебр.

Эквивалентные условия

Следующие условия на топологическом пространстве Икс эквивалентны:^[2][1]

• Икс это каменное пространство;
• Икс является гомеоморфный к проективный предел (в категория топологических пространств ) обратной системы конечных дискретные пространства;
• Икс компактный и полностью отделен;
• X компактно, Т₀ , и нульмерный (в смысле малый индуктивный размер );
• Икс является последовательный и Хаусдорф.

Примеры

Важные примеры каменных пространств включают конечные дискретные пространства, то Кантор набор и пространство Z_п из п-адические целые числа, где п есть ли простое число. Обобщая эти примеры, любые товар конечных дискретных пространств является пространством Стоуна, а топологическое пространство, лежащее в основе любого проконечная группа Каменное пространство. В Каменно-чешская компактификация натуральных чисел с дискретной топологией или любого дискретного пространства есть пространство Стоуна.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

Основная статья: Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

Каждому Булева алгебра B мы можем связать каменное пространство S(B) следующим образом: элементы S(B) являются ультрафильтры на B, а топология на S(B), называется Каменная топология, порождается множествами вида {F∈S(B) : б∈F}, где б является элементом B.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна булевой алгебре Clopen наборы Каменного пространства S(B); и, кроме того, каждое каменное пространство Икс гомеоморфно пространству Стоуна, принадлежащему булевой алгебре открыто-замкнутых множеств Икс. Эти задания функториальный, и получаем теоретико-категориальная двойственность между категорией булевых алгебр (с гомоморфизмами как морфизмами) и категорией пространств Стоуна (с непрерывными отображениями как морфизмами).

Теорема Стоуна привела к возникновению ряда аналогичных двойств, теперь все вместе известных как Каменные дуальности.

дальнейшее чтение

• Питер Джонстон, Каменные Пространства, Издательство Кембриджского университета, 1982 г.

Смотрите также

• Компактификация Камень – Чех # Строительство с использованием ультрафильтров

использованная литература

1. Каменное пространство в nLab
2. «Каменный космос», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]