Спектральное пространство - Spectral space

В математика, а спектральное пространство это топологическое пространство то есть гомеоморфный к спектр коммутативного кольца. Иногда его также называют связное пространство из-за связи с связные топосы.

Определение

Позволять Икс - топологическое пространство и пусть K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс) - множество всех компактный открытые подмножества из Икс. потом Икс как говорят спектральный если он удовлетворяет всем следующим условиям:

• Икс является компактный и Т₀.
• K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс) это основа открытых подмножеств Икс.
• K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс) является закрыт под конечные пересечения.
• Икс является трезвый, т.е. каждое непустое несводимый закрытое подмножество из Икс имеет (обязательно уникальный) общая точка.

Эквивалентные описания

Позволять Икс быть топологическим пространством. Каждое из следующих свойств эквивалентно свойству Икс быть спектральным:

1. Икс является гомеоморфный к проективный предел конечных Т₀-пространства.
2. Икс гомеоморфен спектр из ограниченная распределительная решетка L. В этом случае, L изоморфна (как ограниченная решетка) решетке K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс) (это называется Каменное изображение распределительных решеток).
3. Икс гомеоморфен спектр коммутативного кольца.
4. Икс топологическое пространство, определяемое Пространство Пристли.
5. Икс я сидела₀ пространство, чье Рамка открытых множеств когерентен (и каждый когерентный фрейм происходит таким образом из уникального спектрального пространства).

Характеристики

Позволять Икс - спектральное пространство и пусть K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс) быть как прежде. Потом:

• K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс) это ограниченная подрешетка подмножеств Икс.
• Каждый закрытый подпространство из Икс спектрально.
• Произвольное пересечение компактного и открытого подмножеств Икс (следовательно, элементов из K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс)) снова спектрально.
• Икс является Т₀ по определению, но в целом не Т₁.^[1] Фактически спектральное пространство - это T₁ если и только если это Хаусдорф (или T₂) тогда и только тогда, когда это логическое пространство если и только если K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс) это логическая алгебра.
• Икс можно рассматривать как попарно Stone Space.^[2]

Спектральные карты

А спектральная карта е: X → Y между спектральными пространствами Икс и Y - непрерывное отображение такое, что прообраз каждого открытого и компактного подмножества Y под ж снова компактный.

Категория спектральных пространств, в которых спектральные отображения являются морфизмами, есть двойной эквивалент в категорию ограниченных дистрибутивных решеток (вместе с морфизмами таких решеток).^[3] В этой антиэквивалентности спектральное пространство Икс соответствует решетке K^{${\displaystyle \circ }$}(Икс).

Рекомендации

• М. Хохстер (1969). Структура простых идеалов в коммутативных кольцах. Пер. Амер. Математика. Soc., 142 43—60
• Джонстон, Питер (1982), «II.3 Связанные места», Каменные Пространства, Cambridge University Press, стр. 62–69, ISBN  978-0-521-33779-3.
• Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства. Новые математические монографии. 35. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017/9781316543870. ISBN  9781107146723.

Сноски

1. СРЕДНИЙ. Архангельский, Л. Понтрягина (ред.) Общая топология I (1990) Спрингер-Верлаг ISBN  3-540-18178-4 (См. Пример 21, раздел 2.6.)
2. Г. Бежанишвили, Н. Бежанишвили, Д. Габелая, А. Курц, (2010). «Битопологическая двойственность для дистрибутивных решеток и алгебр Гейтинга». Математические структуры в информатике, 20.
3. (Джонстон 1982 )