Пространство T1 - T1 space

Аксиомы разделения в топологические пространства
Колмогоров классификация
Т0	(Колмогоров)
Т1	(Фреше)
Т2	(Хаусдорф)
Т2½	(Урысон)
полностью T2	(полностью Хаусдорф)
Т3	(обычный Хаусдорф)
Т3½	(Тихонов)
Т4	(нормальный Хаусдорф)
Т5	(совершенно нормально Хаусдорф)
Т6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В топология и смежные отрасли математика, а Т₁ Космос это топологическое пространство в котором для каждой пары различных точек каждая имеет район не содержащие другой точки.^[1] An р₀ Космос тот, в котором это верно для каждой пары топологически различимый точки. Свойства T₁ и R₀ являются примерами аксиомы разделения.

Определения

Позволять Икс быть топологическое пространство и разреши Икс и y быть точками в Икс. Мы говорим что Икс и y возможно отделенный если каждый лежит в район который не содержит другой точки.

• Икс это Т₁ Космос если любые два отчетливый указывает в Икс разделены.
• Икс является р₀ Космос если любые два топологически различимый указывает в Икс разделены.

В₁ пространство также называют доступное пространство или Тихоновское пространство, или пространство с Топология Фреше и R₀ пространство также называют симметричное пространство. (Период, термин Fréchet space также есть совершенно другое значение в функциональный анализ. По этой причине термин Т₁ Космос является предпочтительным. Также существует понятие Пространство Фреше – Урысона как тип последовательное пространство. Период, термин симметричное пространство имеет другое значение.)

Характеристики

Если Икс является топологическим пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. Икс я сидела₁ Космос.
2. Икс это Т₀ Космос и R₀ Космос.
3. Пункты закрыты в Икс; т.е. учитывая любые Икс ∈ Икс, одноэлементный набор { Икс } это закрытый набор.
4. Каждое подмножество Икс является пересечением всех содержащих его открытых множеств.
5. Каждый конечный набор закрыто.^[2]
6. Каждый cofinite набор из Икс открыт.
7. В фиксированный ультрафильтр в Икс сходится только к Икс.
8. Для каждого подмножества S из Икс и каждая точка Икс ∈ Икс, Икс это предельная точка из S если и только если каждый открытый район из Икс содержит бесконечно много точек S.

Если Икс является топологическим пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. Икс является R₀ Космос.
2. Учитывая любые Икс ∈ Икс, то закрытие из { Икс } содержит только точки, топологически неотличимые от Икс.
3. Для любых двух точек z и y в пространстве, Икс находится в закрытии { y } если и только если y находится в закрытии { Икс }.
4. В предварительный заказ специализации на Икс является симметричный (и, следовательно, отношение эквивалентности ).
5. Фиксированный ультрафильтр на Икс сходится только к точкам, которые топологически неотличимы от Икс.
6. Каждый открытый набор это союз закрытые наборы.

В любом топологическом пространстве мы имеем в качестве свойств любых двух точек следующие импликации

отделенный ⇒ топологически различимый ⇒ отчетливый

Если первая стрелка может быть перевернута, пробел R₀. Если вторую стрелку можно перевернуть, пробел Т₀. Если составная стрелка может быть перевернута, пробел равен T.₁. Пространство T₁ тогда и только тогда, когда это R₀ и т₀.

Отметим, что конечное T₁ пространство обязательно дискретный (так как каждый набор закрыт).

Примеры

• Пространство Серпинского представляет собой простой пример топологии T₀ но не Т₁.
• В топология перекрывающихся интервалов представляет собой простой пример топологии T₀ но не Т₁.
• Каждый слабо хаусдорфово пространство это T₁ но в целом обратное неверно.
• В конфинитная топология на бесконечный набор представляет собой простой пример топологии T₁ но не Хаусдорф (Т₂). Это следует из того, что никакие два открытых множества конфинитной топологии не пересекаются. В частности, пусть Икс быть набором целые числа, и определим открытые наборы О_А быть теми подмножествами Икс которые содержат все, кроме конечный подмножество А из Икс. Затем с учетом различных целых чисел Икс и y:

• открытый набор О_{Икс} содержит y но нет Икс, и открытый набор О_{y} содержит Икс и нет y;
• эквивалентно, каждый одиночный набор {Икс} является дополнением открытого множества О_{Икс}, так что это закрытый набор;

так что получившееся пространство T₁ по каждому из приведенных выше определений. Это пространство не T₂, поскольку пересечение любых двух открытых множеств О_А и О_B является О_А∪B, который никогда не бывает пустым. В качестве альтернативы набор четных целых чисел компактный но нет закрыто, что было бы невозможно в хаусдорфовом пространстве.

• Приведенный выше пример можно немного изменить, чтобы создать двупунктовая конфинитная топология, который является примером R₀ пространство, которое не является ни T₁ ни R₁. Позволять Икс снова быть набором целых чисел, и используя определение О_А из предыдущего примера определите подоснование открытых наборов грамм_Икс для любого целого Икс быть грамм_Икс = О_{{Икс, Икс+1}} если Икс является четное число, и грамм_Икс = О_{{Икс-1, Икс}} если Икс странно. Тогда основа топологии задаются конечными перекрестки подбазисных множеств: задано конечное множество А, открытые наборы Икс находятся

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

Полученное пространство не является T₀ (а значит, и не T₁), поскольку точки Икс и Икс + 1 (для Икс четные) топологически неразличимы; но в остальном он по сути эквивалентен предыдущему примеру.

• В Топология Зарисского на алгебраическое многообразие (более алгебраически замкнутое поле ) является T₁. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что точка с местные координаты (c₁,...,c_п) это нулевой набор из многочлены Икс₁-c₁, ..., Икс_п-c_п. Таким образом, точка закрыта. Однако этот пример хорошо известен как пространство, которое не Хаусдорф (Т₂). Топология Зарисского по сути является примером конфинитной топологии.
• Топология Зарисского на коммутативное кольцо (то есть простое спектр кольца ) является T₀ но не в общем, T₁.^[3] Чтобы увидеть это, обратите внимание, что замыкание одноточечного набора - это набор всех главные идеалы которые содержат точку (и, следовательно, топология T₀). Однако это закрытие максимальный идеал, и единственные замкнутые точки являются максимальными идеалами и, следовательно, не содержатся ни в одном из открытых множеств топологии, и, следовательно, пространство не удовлетворяет аксиоме T₁. Чтобы прояснить этот пример: топология Зарисского для коммутативного кольца А задается следующим образом: топологическое пространство - это множество Икс из всех главные идеалы из А. В база топологии задается открытыми множествами О_а главных идеалов, которые делают нет содержать а в А. Несложно убедиться, что это действительно основа: так О_а ∩ О_б = О_ab и О₀ = Ø и О₁ = Икс. Замкнутые множества топологии Зарисского - это множества первичных идеалов, которые делать содержать а. Обратите внимание, как этот пример тонко отличается от приведенного выше примера конфинитной топологии: точки в топологии, как правило, не замкнуты, тогда как в T₁ пространство, точки всегда закрыты.
• Каждый полностью отключен пространство T₁, поскольку каждая точка является связный компонент и поэтому закрыт.

Обобщения на другие виды пространств

Условия "T₁", "Р₀", а их синонимы применимы и к таким вариациям топологических пространств, как равномерные пространства, Пространства Коши, и пространства сходимости Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, заключается в том, что пределы фиксированных ультрафильтров (или постоянных сети ) уникальны (для T₁ пространства) или единственное с точностью до топологической неразличимости (для R₀ пробелы).

Как выясняется, равномерные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда R₀, поэтому T₁ условие в этих случаях сводится к T₀ состояние. Но R₀ само по себе может быть интересным условием для других видов пространств сходимости, таких как претопологические пространства.

Рекомендации

1. Архангельский (1990). См. Раздел 2.6.
2. Архангельский (1990) См. Предложение 13, раздел 2.6.
3. Архангельский (1990). См. Пример 21, раздел 2.6.

• Уиллард, Стивен (1998). Общая топология. Нью-Йорк: Дувр. С. 86–90. ISBN  0-486-43479-6.
• Фолланд, Джеральд (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр.116. ISBN  0-471-31716-0.
• СРЕДНИЙ. Архангельский, Л. Понтрягина (ред.) Общая топология I (1990) Спрингер-Верлаг ISBN  3-540-18178-4.