Пространство Фреше – Урысона - Fréchet–Urysohn space - Wikipedia

В области топология, а Пространство Фреше – Урысона это топологическое пространство Икс со свойством, что для каждого подмножества S ⊆ Икс то закрытие из S в Икс идентичен последовательный закрытие S в Икс. Пространства Фреше – Урысона - это особый тип последовательное пространство.

Пространства Фреше – Урысона являются наиболее общими учебный класс пространств, для которых последовательности Достаточно определить все топологические свойства подмножеств пространства. То есть пространства Фреше – Урысона - это именно те пространства, для которых знание того, какие последовательности сходятся к каким пределам (а какие - нет), достаточно, чтобы полностью определить топологию пространства. Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством, но не наоборот.

Помещение названо в честь Морис Фреше и Павел Урысон.

Определения

Смотрите также: Последовательное пространство

Позволять (Икс, τ) быть топологическое пространство.

В последовательное закрытие набора S в Икс это набор:

SeqCl S  :=  [ S ]_seq  :=  {  Икс ∈ Икс : существует последовательность s_• = (s_я)^∞
_я=1 в S такой, что s_• → Икс в (Икс, τ)}

кудаSeqCl_Икс S или жеSeqCl_{(Икс, τ)} S может быть написано, если нужна ясность.

Пространство (Икс, τ) считается Фреше – Урысон пробел, если для каждого подмножества подмножества S из Икс, Cl_Икс S = SeqCl_Икс S, где обозначает закрытие из S в Икс.

Последовательно открытые / закрытые наборы

Определения: Если S любое подмножество Икс тогда:

• последовательность Икс₁,  Икс₂,  ...  является в конце концов в S если существует положительное целое число N такой, что Икс_п ∈ S для всех целых чисел п ≥ N.
• S является последовательно открывать если каждая последовательность (Икс_п) в Икс сходится к точке S в конечном итоге в S;
  • Обычно, если Икс тогда понятно SeqCl S написано вместо SeqCl_Икс S.
• S является последовательно закрытый если S = SeqCl_Икс Sили, что то же самое, если всякий раз Икс_• = (Икс_я)_{я ∈ я} это последовательность в S сходится к Икс, тогда Икс также должен быть в S.
  • В дополнять последовательно открытого множества - это последовательно замкнутое множество, и наоборот.

ПозволятьSeqOpen (Икс, τ) обозначим множество всех последовательно открытых подмножеств топологического пространства (Икс, τ). НаборSeqOpen (Икс, τ) топология на Икс содержащий исходную топологию τ (т.е. τ ⊆ SeqOpen (Икс, τ)).

Сильное пространство Фреше – Урысона.

Топологическое пространство Икс это сильное пространство Фреше – Урысона если за каждую точку Икс ∈ Икс и каждая последовательность А₁, А₂, ... подмножеств пространства Икс такой, что ${\displaystyle x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}}}$, есть точки а₁ ∈ А₁,  а₂ ∈ А₂,  ... такой, что(а_я)^∞
_я=1 → Икс в (Икс, τ).

Вышеуказанные свойства могут быть выражены как принципы отбора.

Контраст с последовательными пространствами

Каждое открытое подмножество Икс последовательно открыто, и каждое закрытое множество последовательно закрывается. Обратное обычно неверно. Пространства, для которых верно обратное, называются последовательные пробелы; то есть последовательное пространство - это топологическое пространство, в котором каждое последовательно открытое подмножество обязательно открыто (или, что эквивалентно, пространство, в котором каждое последовательно замкнутое подмножество обязательно закрыто). Каждое пространство Фреше-Урысона является секвенциальным пространством, но есть секвенциальные пространства, которые не являются пространствами Фреше-Урысона.

Последовательные (соответственно, пространства Фреше-Урысона) можно рассматривать как именно те пространства Икс где для любого отдельно взятого подмножества S ⊆ Икс, знание каких последовательностей в Икс сходятся к какой точке (точкам) Икс (а каких нет) достаточно, чтобы определить, действительно ли S закрыт в Икс (соответственно, чтобы определить закрытие S в Икс).^{[примечание 1]} Таким образом, последовательные пространства - это те пространства Икс для каких последовательностей в Икс может использоваться как «тест» для определения того, является ли какое-либо данное подмножество открытым (или, что эквивалентно, закрытым) в Икс; или, иначе говоря, секвенциальные пространства - это те пространства, топологии которых можно полностью охарактеризовать с точки зрения сходимости последовательностей. В любом пространстве нет последовательно, существует подмножество, для которого этот "тест" дает "ложный положительный результат."^{[заметка 2]}

Характеристики

Позволять (Икс, τ) быть топологическим пространством. Тогда следующие эквиваленты:

1. Икс - пространство Фреше – Урысона;
2. Для каждого подмножества S ⊆ Икс, SeqCl_Икс S = Cl_Икс S;
3. Каждое подпространство Икс это последовательное пространство;
4. Для любого подмножества S ⊆ Икс то есть нет закрыт в Икс и для каждого Икс ∈ (Cl S)  ∖  S, существует последовательность в S что сходится к Икс.
   • Сравните это условие со следующей характеристикой последовательное пространство:

   Для любого подмножества S ⊆ Икс то есть нет закрыт в Икс, Существует немного Икс ∈ (Cl S)  ∖  S для которого существует последовательность в S что сходится к Икс.^[1]

   • Таким образом, из характеризации следует, что каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством.

Примеры

Каждый место с первым счетом является пространством Фреше – Урысона.

Характеристики

Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством. Обратное утверждение в целом неверно.^[2][3]

Смотрите также

• Аксиомы счетности
• Первое счетное пространство - Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестности
• Последовательное пространство - А топологическое пространство то есть можно охарактеризовать в терминах последовательностей

Примечания

1. Конечно, если бы вы могли использовать эти знания для определения все наборов в { Т : S ⊂ Т ⊆ Икс  }, которые закрыты, вы можете определить закрытие S. Эта интерпретация предполагает, что вы делаете это определение Только к данному набору S а не в другие наборы; иначе говоря, вы не можете одновременно применять этот "тест" к бесконечному множеству подмножеств (например, вы не можете использовать что-то похожее на аксиома выбора ). Именно в пространствах Фреше-Урысона замыкание множества S может быть определен без необходимости рассматривать какой-либо набор, кроме S.
2. Хотя этот "тест" (который пытается ответить "открыт ли этот набор (или закрыт)?") Потенциально может дать "ложное срабатывание", он никогда не может дать "ложноотрицательный; "это потому, что каждое открытое (соответственно закрытое) подмножество S обязательно последовательно открывается (соответственно, последовательно закрывается), поэтому этот «тест» никогда не будет указывать «ложь» для любого набора S это действительно открыто (или закрыто).

Рекомендации

1. Архангельский, А. и Понтрягин Л.С.,  Общая топология I, определение 9 стр.12
2. Engelking 1989, Пример 1.6.18
3. Ма, Дэн. "Заметка о пространстве Аренов". Получено 1 августа 2013.

• Архангельский, А. и Понтрягин Л.С. Общая топология I, Springer-Verlag, Нью-Йорк (1990) ISBN  3-540-18178-4.
• Бут, П. и Тиллотсон, А., Моноидальные замкнутые, декартово замкнутые и удобные категории топологических пространств Pacific J. Math., 88 (1980) стр. 35–53.
• Энгелькинг, Р., Общая топология, Heldermann, Берлин (1989). Исправленное и дополненное издание.
• Франклин, С. П. "Пространства, в которых последовательностей достаточно ", Фонд. Матем. 57 (1965), 107-115.
• Франклин, С. П. "Пространства, в которых достаточно последовательностей II ", Фонд. Матем. 61 (1967), 51-56.
• Горехэм, Энтони "Последовательная сходимость в топологических пространствах. "
• Стинрод, Н.Э., Удобная категория топологических пространств, Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.