Гиперподключенное пространство - Hyperconnected space

Термин компьютерные сети см. гиперсоединение.

Для гипер-связности в графах узловых связей см. Connectivity_ (graph_theory) # Супер-_и_ гипер-подключение.

В математической области топология, а сверхсвязанное пространство^[1] или неприводимое пространство^[2] это топологическое пространство Икс это не может быть записано как объединение двух собственных замкнутых множеств (непересекающихся или не пересекающихся). Название неприводимое пространство предпочтительнее в алгебраическая геометрия.

Для топологического пространства Икс следующие условия эквивалентны:

• Нет двух непустых открытые наборы находятся непересекающийся.
• Икс не может быть записано как объединение двух собственно закрытые наборы.
• Каждое непустое открытое множество плотный в Икс.
• В интерьер каждого собственного замкнутого множества пусто.
• Каждое подмножество плотно или нигде не плотно в Икс.

Пространство, удовлетворяющее любому из этих условий, называется сверхсвязанный или несводимый.

An неприводимое множество является подмножеством топологического пространства, для которого топология подпространства неприводимо. Некоторые авторы не считают пустой набор быть несводимым (даже если это бессмысленно удовлетворяет указанным выше условиям).

Примеры

Два примера гиперсвязных пространств из топология набора точек являются конфинитная топология на любом бесконечном множестве и топология правильного порядка на ${displaystyle mathbb {R} }$.

В алгебраической геометрии, взяв спектр кольца чья уменьшенное кольцо является область целостности является неприводимым топологическим пространством - применяя решеточная теорема к нильрадикал, который находится внутри каждого простого числа, чтобы показать, что спектр фактор-отображения является гомеоморфизмом, это сводится к неприводимости спектра области целостности. Например, схемы

${displaystyle { ext{Spec}}left({frac {mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}ight)}$ , ${displaystyle { ext{Proj}}left({frac {mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}ight)}$

неприводимы, поскольку в обоих случаях многочлены, определяющие идеал, являются неприводимыми многочленами (что означает, что они не имеют нетривиальной факторизации). Непримеру дается нормальный делитель пересечения

${displaystyle { ext{Spec}}left({frac {mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}ight)}$

поскольку основное пространство представляет собой объединение аффинных плоскостей ${displaystyle mathbb {A} _{x,y}^{2}}$, ${displaystyle mathbb {A} _{x,z}^{2}}$, и ${displaystyle mathbb {A} _{y,z}^{2}}$. Другой не пример дается схемой

${displaystyle { ext{Proj}}left({frac {mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}ight)}$

где ${displaystyle f_{4}}$ является неприводимым однородным многочленом степени 4. Это объединение двух кривых рода 3 (по формула род – степень )

${displaystyle { ext{Proj}}left({frac {mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w)}}ight),{ ext{ }}{ ext{Proj}}left({frac {mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w)}}ight)}$

Гиперсвязность против связности

Каждое сверхсвязанное пространство одновременно связанный и локально связанный (хотя не обязательно соединенный путём или локально соединенный путём ).

Обратите внимание, что в определении гиперсвязности замкнутые множества не обязательно должны быть непересекающимися. Это контрастирует с определением связности, в котором открытые множества не пересекаются.

Например, пространство действительных чисел стандартной топологии связно, но не гиперподключен. Это потому, что его нельзя записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, но мочь можно записать как объединение двух (не пересекающихся) замкнутых множеств.

Свойства

• (Непустые) открытые подмножества сверхсвязного пространства «большие» в том смысле, что каждое из них плотно в Икс и любая их пара пересекается. Таким образом, гиперсвязанное пространство не может быть Хаусдорф если он не содержит только одну точку.

• Каждое сверхсвязанное пространство одновременно связанный и локально связанный (хотя не обязательно соединенный путём или локально соединенный путём ).

• Поскольку закрытие каждого непустого открытого множества в гиперсвязном пространстве - это все пространство, которое является открытым множеством, каждое сверхсвязное пространство является экстремально отключенный.

• В непрерывный образ гиперсвязанного пространства гиперсвязан.^[3] В частности, любая непрерывная функция из гиперсвязного пространства в хаусдорфово пространство должна быть постоянной. Отсюда следует, что всякое сверхсвязное пространство псевдокомпактный.

• Каждое открытое подпространство гиперсвязного пространства гиперсвязно.^[4]

Доказательство: Позволять ${displaystyle Usubset X}$ быть открытым подмножеством. Любые два непересекающихся открытых подмножества ${displaystyle U}$ сами были бы непересекающимися открытыми подмножествами ${displaystyle X}$. Так что хотя бы один из них должен быть пустым.

• В более общем смысле, каждое плотное подмножество гиперсвязного пространства гиперсвязно.

Доказательство: Предположим ${displaystyle S}$ плотное подмножество ${displaystyle X}$ и ${displaystyle S=S_{1}cup S_{2}}$ с участием ${displaystyle S_{1}}$, ${displaystyle S_{2}}$ закрыт в ${displaystyle S}$. потом ${displaystyle X={overline {S}}={overline {S_{1}}}cup {overline {S_{2}}}}$. поскольку ${displaystyle X}$ гиперсвязно, одно из двух замыканий - это все пространство ${displaystyle X}$, сказать ${displaystyle {overline {S_{1}}}=X}$. Это означает, что ${displaystyle S_{1}}$ плотно в ${displaystyle S}$, а так как он закрыт в ${displaystyle S}$, он должен быть равен ${displaystyle S}$.

• Замкнутое подпространство гиперсвязного пространства не обязательно гиперсвязно.

Контрпример: ${displaystyle Bbbk ^{2}}$ с участием ${displaystyle Bbbk }$ ан алгебраически замкнутое поле (таким образом бесконечный) гиперсвязан^[5] в Топология Зарисского, в то время как ${displaystyle V=Z(XY)=Z(X)cup Z(Y)subset Bbbk ^{2}}$ закрыт и не гиперподключен.

• В закрытие любого неприводимого множества неприводимо.^[6]

Доказательство: Предположим ${displaystyle Ssubseteq X}$ где ${displaystyle S}$ неприводимо и написать ${displaystyle operatorname {Cl} _{X}(S)=Fcup G}$ для двух замкнутых подмножеств ${displaystyle F,Gsubseteq operatorname {Cl} _{X}(S)}$ (и, следовательно, в ${displaystyle X}$). ${displaystyle F':=Fcap S,,G':=Gcap S}$ закрыты в ${displaystyle S}$ и ${displaystyle S=F'cup G'}$ что подразумевает ${displaystyle Ssubseteq F}$ или ${displaystyle Ssubseteq G}$, но потом ${displaystyle operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$ или ${displaystyle operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$ по определению закрытие.

• Пространство ${displaystyle X}$ который можно записать как ${displaystyle X=U_{1}cup U_{2}}$ с участием ${displaystyle U_{1},U_{2}subset X}$ открытый и неприводимый такой, что ${displaystyle U_{1}cap U_{2}eq emptyset }$ неприводимо.^[7]

Доказательство: Во-первых, заметим, что если ${displaystyle V}$ непустое открытое множество в ${displaystyle X}$ тогда он пересекает оба ${displaystyle U_{1}}$ и ${displaystyle U_{2}}$; действительно, предположим ${displaystyle V_{1}:=U_{1}cap Veq emptyset }$, тогда ${displaystyle V_{1}}$ плотно в ${displaystyle U_{1}}$, таким образом ${displaystyle exists xin operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})cap U_{2}=U_{1}cap U_{2}eq emptyset }$ и ${displaystyle xin U_{2}}$ это точка закрытия из ${displaystyle V_{1}}$ что подразумевает ${displaystyle V_{1}cap U_{2}eq emptyset }$ и тем более ${displaystyle V_{2}:=Vcap U_{2}eq emptyset }$. Сейчас же ${displaystyle V=Vcap (U_{1}cup U_{2})=V_{1}cup V_{2}}$ и принимая закрытие ${displaystyle operatorname {Cl} _{X}(V)supseteq {operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})cup {operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}cup U_{2}=X,}$ следовательно ${displaystyle V}$ непустое открытое и плотное подмножество ${displaystyle X}$. Поскольку это верно для любого непустого открытого подмножества, ${displaystyle X}$ неприводимо.

Неснижаемые компоненты

An неприводимая составляющая^[8] в топологическом пространстве - это максимальное неприводимое подмножество (т. е. неприводимое множество, которое не содержится ни в каком большем неприводимом множестве). Неприводимые компоненты всегда замкнуты.

Каждое неприводимое подмножество пространства Икс содержится в (не обязательно единственной) неприводимой компоненте Икс.^[9] В частности, каждая точка Икс содержится в некоторой неприводимой компоненте Икс. в отличие от связанные компоненты пространства неприводимые компоненты не обязательно должны быть непересекающимися (т.е. они не должны образовывать раздел ). В общем, неприводимые компоненты будут перекрываться.

Неприводимые компоненты хаусдорфова пространства - это просто одиночные наборы.

Поскольку каждое неприводимое пространство связно, неприводимые компоненты всегда будут лежать в компонентах связности.

Каждые Нетерово топологическое пространство имеет конечное число неприводимых компонент.^[10]

Смотрите также

• Сверхсвязанное пространство
• Трезвое пространство
• Геометрически неприводимый

Заметки

1. Steen & Seebach, стр. 29
2. https://stacks.math.columbia.edu/tag/004U
3. Бурбаки, Николас (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7. Springer. п. 95. ISBN  978-3-540-64239-8.
4. Бурбаки, Николас (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7. Springer. п. 95. ISBN  978-3-540-64239-8.
5. Перрин, Дэниел (2008). Алгебраическая геометрия. Введение. Springer. п. 14. ISBN  978-1-84800-055-1.
6. https://stacks.math.columbia.edu/tag/004W
7. Бурбаки, Николас (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7. Springer. п. 95. ISBN  978-3-540-64239-8.
8. https://stacks.math.columbia.edu/tag/004V
9. https://stacks.math.columbia.edu/tag/004W
10. https://stacks.math.columbia.edu/tag/0050

использованная литература

• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, Г-Н  0507446
• «Гиперподключенное пространство». PlanetMath.