Алгебра Шура - Schur algebra

В математике Алгебры Шура, названный в честь Иссай Шур, являются некоторыми конечномерными алгебры тесно связан с Двойственность Шура – ​​Вейля между общий линейный и симметричный группы. Они используются, чтобы связать теории представления из этих двух группы. Их использованию способствовала влиятельная монография Дж. А. Грин впервые опубликовано в 1980 году.^[1] Название «алгебра Шура» принадлежит Грина. В модульном случае (над бесконечным поля положительной характеристики) алгебры Шура использовали Гордон Джеймс и Карин Эрдманн показать, что (все еще открытые) проблемы вычисления чисел разложения для общих линейных групп и симметрических групп фактически эквивалентны.^[2] Алгебры Шура использовались Фридлендером и Суслин доказать конечное порождение когомология конечных групповые схемы.^[3]

Строительство

Алгебра Шура ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ можно определить для любого коммутативное кольцо ${\displaystyle k}$ и целые числа ${\displaystyle n,r\geq 0}$. Рассмотрим алгебра ${\displaystyle k[x_{ij}]}$ из многочлены (с коэффициентами в ${\displaystyle k}$) в ${\displaystyle n^{2}}$ коммутирующие переменные ${\displaystyle x_{ij}}$, 1 ≤ я, j ≤ ${\displaystyle n}$. Обозначим через ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$ однородные многочлены степени ${\displaystyle r}$. Элементы ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$ находятся k-линейные комбинации одночленов, образованные умножением ${\displaystyle r}$ генераторов ${\displaystyle x_{ij}}$ (с возможностью повторения). Таким образом

${\displaystyle k[x_{ij}]=\bigoplus _{r\geq 0}A_{k}(n,r).}$

Сейчас же, ${\displaystyle k[x_{ij}]}$ имеет естественный коалгебра структура с коумножением ${\displaystyle \Delta }$ и считать ${\displaystyle \varepsilon }$ гомоморфизмы алгебр, заданные на образующих формулой

${\displaystyle \Delta (x_{ij})=\textstyle \sum _{l}x_{il}\otimes x_{lj},\quad \varepsilon (x_{ij})=\delta _{ij}\quad }$    (Дельта Кронекера ).

Поскольку коумножение является гомоморфизмом алгебр, ${\displaystyle k[x_{ij}]}$ это биалгебра. Легко проверить, что ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$ является подкоалгеброй биалгебры ${\displaystyle k[x_{ij}]}$, для каждого р ≥ 0.

Определение. Алгебра Шура (в степени ${\displaystyle r}$) - алгебра ${\displaystyle S_{k}(n,r)=\mathrm {Hom} _{k}(A_{k}(n,r),k)}$. То есть, ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ является линейным двойником ${\displaystyle A_{k}(n,r)}$.

Это общий факт, что линейная двойной коалгебры ${\displaystyle A}$ является алгеброй естественным образом, где умножение в алгебре индуцируется дуализирующим коумножение в коалгебре. Чтобы увидеть это, позвольте

${\displaystyle \Delta (a)=\textstyle \sum a_{i}\otimes b_{i}}$

и, учитывая линейные функционалы ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle A}$, определим свой продукт как линейный функционал, задаваемый формулой

${\displaystyle \textstyle a\mapsto \sum f(a_{i})g(b_{i}).}$

Элементом единицы для этого умножения функционалов является счетчик в ${\displaystyle A}$.

Основные свойства

• Одно из самых основных свойств выражает ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ как централизаторную алгебру. Позволять ${\displaystyle V=k^{n}}$ быть пространством ранга ${\displaystyle n}$ вектор-столбец над ${\displaystyle k}$, и сформировать тензор мощность

${\displaystyle V^{\otimes r}=V\otimes \cdots \otimes V\quad (r{\text{ factors}}).}$

Тогда симметричная группа ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{r}}$ на ${\displaystyle r}$ букв действует естественным образом на тензорном пространстве перестановкой мест, и один имеет изоморфизм

${\displaystyle S_{k}(n,r)\cong \mathrm {End} _{{\mathfrak {S}}_{r}}(V^{\otimes r}).}$

Другими словами, ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ можно рассматривать как алгебру эндоморфизмы тензорного пространства, коммутирующего с действием симметричная группа.

• ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ свободен ${\displaystyle k}$ ранга, присвоенного биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n^{2}+r-1}{r}}}$.
• Различные базы ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ известны, многие из которых индексируются парами полустандартных Молодые картины формы ${\displaystyle \lambda }$, в качестве ${\displaystyle \lambda }$ варьируется по набору перегородки из ${\displaystyle r}$ в не более чем ${\displaystyle n}$ части.
• В случае k бесконечное поле, ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ можно также отождествить с обертывающей алгеброй (в смысле Г. Вейля) для действия общая линейная группа ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$ действующее на тензорное пространство (через диагональное действие на тензоры, индуцированное естественным действием ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$ на ${\displaystyle V=k^{n}}$ дается умножением матриц).
• Алгебры Шура «определены над целыми числами». Это означает, что они удовлетворяют следующему изменению свойства скаляров:

${\displaystyle S_{k}(n,r)\cong S_{\mathbb {Z} }(n,r)\otimes _{\mathbb {Z} }k}$

для любого коммутативного кольца ${\displaystyle k}$.

• Алгебры Шура являются естественными примерами квазинаследственных алгебр.^[4] (по определению Клайна, Паршалла и Скотта), и поэтому гомологический характеристики. В частности, алгебры Шура имеют конечные глобальное измерение.

Обобщения

• Обобщенные алгебры Шура (связано с любым редуктивным алгебраическая группа ) были введены Донкиным в 1980-х годах.^[5] Они также являются квази-наследственными.
• Примерно в то же время Диппер и Джеймс^[6] представил квантованные алгебры Шура (или же q-алгебры Шура для краткости), которые представляют собой тип q-деформации описанных выше классических алгебр Шура, в которой симметрическая группа заменяется соответствующей Алгебра Гекке а общую линейную группу - подходящим квантовая группа.
• Это также обобщенные q-алгебры Шура, которые получаются путем обобщения работ Диппера и Джеймса так же, как Донкин обобщал классические алгебры Шура.^[7]
• Есть и другие обобщения, такие как аффинные q-алгебры Шура^[8] связанный с аффинным Кац – Муди Алгебры Ли и другие обобщения, такие как круговые q-алгебры Шура^[9] связанных с алгебрами Арики-Койке (которые являются q-деформациями некоторых сложные группы отражений ).

Изучение этих различных классов обобщений составляет активную область современных исследований.

Рекомендации

1. Дж. А. Грин, Полиномиальные представления GL_п, Springer Lecture Notes 830, Springer-Verlag 1980. МИСТЕР2349209, ISBN  978-3-540-46944-5, ISBN  3-540-46944-3
2. Карин Эрдманн, Числа разложения для симметрических групп и композиционные факторы модулей Вейля. Журнал алгебры 180 (1996), 316–320. Дои:10.1006 / jabr.1996.0067 МИСТЕР1375581
3. Эрик Фридлендер и Андрей Суслин, Когомологии конечных групповых схем над полем. Inventiones Mathematicae 127 (1997), 209--270. МИСТЕР1427618 Дои:10.1007 / s002220050119
4. Эдвард Клайн, Брайан Паршалл и Леонард Скотт, Конечномерные алгебры и высшие весовые категории. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik [Crelle's Journal] 391 (1988), 85–99. МИСТЕР0961165
5. Стивен Донкин, Об алгебрах Шура и родственных алгебрах, I. Журнал алгебры 104 (1986), 310–328. Дои:10.1016/0021-8693(86)90218-8 МИСТЕР0866778
6. Ричард Диппер и Гордон Джеймс, Алгебра q-Шура. Труды Лондонской математики. Общество (3) 59 (1989), 23–50. Дои:10.1112 / плмс / с3-59.1.23 МИСТЕР0997250
7. Стивен Доти. Представление обобщенных q-алгебр Шура. Теория представлений 7 (2003), 196--213 (электронная). Дои:10.1090 / S1088-4165-03-00176-6
8. Р. М. Грин, Аффинная алгебра q-Шура. Журнал алгебры 215 (1999), 379--411. Дои:10.1006 / jabr.1998.7753
9. Ричард Диппер, Гордон Джеймс и Эндрю Матас, Циклотомические алгебры q-Шура. Математика. Zeitschrift 229 (1998), 385--416. Дои:10.1007 / PL00004665 МИСТЕР1658581

дальнейшее чтение

• Стюарт Мартин, Алгебры Шура и теория представлений, Издательство Кембриджского университета 1993. МИСТЕР2482481, ISBN  978-0-521-10046-5
• Эндрю Матас, Алгебры Ивахори-Гекке и алгебры Шура симметрической группы, Серия университетских лекций, том 15, Американское математическое общество, 1999. МИСТЕР1711316, ISBN  0-8218-1926-7
• Герман Вейль, Классические группы. Их инварианты и представления. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1939. МИСТЕР0000255, ISBN  0-691-05756-7