Комплексная группа отражений - Complex reflection group

В математика, а комплексная группа отражений это конечная группа действуя на конечномерный сложный векторное пространство который создается сложные размышления: нетривиальные элементы, фиксирующие сложный гиперплоскость точечно.

Сложные группы рефлексии возникают при изучении теория инвариантов из кольца многочленов. В середине 20 века они были полностью классифицированы в работах Шепарда и Тодда. Особые случаи включают симметричная группа перестановок, диэдральные группы, и вообще все конечные действительные группы отражений ( Группы Кокстера или же Группы Вейля, включая группы симметрии правильные многогранники ).

Определение

(Сложное) отражение р (иногда также называют псевдоотражение или же унитарное отражение) конечномерного комплексного векторного пространства V это элемент ${displaystyle rin GL (V)}$ конечного порядка, который поточечно фиксирует сложную гиперплоскость, т. е. фиксированное пространство ${displaystyle operatorname {Fix} (r): = operatorname {ker} (r-operatorname {Id} _ {V})}$ имеет коразмерность 1.

А (конечный) комплексная группа отражений ${displaystyle Wsubseteq GL (V)}$ конечная подгруппа в ${displaystyle GL (V)}$ который создается отражениями.

Характеристики

Любая реальная группа отражений становится сложной группой отражений, если мы расширим скаляры из р к C. В частности, все Группы Кокстера или же Группы Вейля привести примеры сложных групп отражений.

Сложная группа отражений W является несводимый если только W-инвариантным собственным подпространством соответствующего векторного пространства является начало координат. В этом случае размерность векторного пространства называется классифицировать из W.

В Число Кокстера ${displaystyle h}$ неприводимой комплексной группы отражений W ранга ${displaystyle n}$ определяется как ${displaystyle h = {frac {| {mathcal {R}} | + | {mathcal {A}} |} {n}}}$ куда ${displaystyle {mathcal {R}}}$ обозначает множество отражений, а ${displaystyle {mathcal {A}}}$ обозначает множество отражающих гиперплоскостей. В случае реальных групп отражений это определение сводится к обычному определению числа Кокстера для конечных систем Кокстера.

Классификация

Любая комплексная группа отражений является продуктом неприводимых комплексных групп отражений, действующих на сумме соответствующих векторных пространств.^[1] Итак, достаточно классифицировать неприводимые комплексные группы отражений.

Неприводимые комплексные группы отражений были классифицированы по Г. К. Шепард и Дж. А. Тодд (1954 ). Они доказали, что каждая неприводимая принадлежала бесконечному семейству. грамм(м, п, п) в зависимости от 3 положительных целочисленных параметров (с п разделение м) или был одним из 34 исключительных случаев, которые они пронумеровали от 4 до 37.^[2] Группа грамм(м, 1, п) это обобщенная симметрическая группа; эквивалентно, это венок симметрической группы Sym (п) циклической группой порядка м. В качестве матричной группы ее элементы могут быть реализованы в виде мономиальные матрицы чьи ненулевые элементы мth корни единства.

Группа грамм(м, п, п) является индекс-п подгруппа грамм(м, 1, п). грамм(м, п, п) имеет порядок м^пп!/п. В качестве матриц его можно реализовать как подмножество, в котором произведение ненулевых элементов представляет собой (м/п) -го корня из единства (а не просто мй корень). Алгебраически, грамм(м, п, п) это полупрямой продукт абелевой группы порядка м^п/п симметрической группой Sym (п); элементы абелевой группы имеют вид (θ^а₁, θ^а₂, ..., θ^а_п), куда θ это примитивный мкорень -й степени из единицы и ∑а_я ≡ 0 мод п, и Sym (п) действует перестановками координат.^[3]

Группа грамм(м,п,п) действует несводимо на C^п кроме случаев м = 1, п > 1 (симметрическая группа) и грамм(2, 2, 2) ( Кляйн четыре группы ). В этих случаях, C^п разбивается как сумма неприводимых представлений размерностей 1 и п − 1.

Особые случаи грамм(м, п, п)

Группы Кокстера

Когда м = 2, представление, описанное в предыдущем разделе, состоит из матриц с действительными элементами, и, следовательно, в этих случаях грамм(м,п,п) - конечная группа Кокстера. Особенно:^[4]

грамм(1, 1, п) имеет тип А_п−1 = [3,3,...,3,3] = ...; симметрическая группа порядка п!
грамм(2, 1, п) имеет тип B_п = [3,3,...,3,4] = ...; то гипероктаэдрическая группа порядка 2^пп!
грамм(2, 2, п) имеет тип D_п = [3,3,...,3^1,1] = ..., порядок 2^пп!/2.

Кроме того, когда м = п и п = 2, группа грамм(п, п, 2) - это группа диэдра порядка 2п; в качестве группы Кокстера введите я₂(п) = [п] = (и группа Вейля грамм₂ когда п = 6).

Другие частные случаи и совпадения

Единственные случаи, когда две группы грамм(м, п, п) изоморфны как комплексные группы отражений^{[требуется разъяснение ]} это что грамм(ма, па, 1) изоморфна грамм(мб, pb, 1) для любых натуральных чисел а, б (и оба изоморфны циклическая группа порядка м/п). Однако есть и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.

Группы грамм(3, 3, 2) и грамм(1, 1, 3) изоморфны симметрической группе Sym (3). Группы грамм(2, 2, 3) и грамм(1, 1, 4) изоморфны симметрической группе Sym (4). Обе грамм(2, 1, 2) и грамм(4, 4, 2) изоморфны группа диэдра порядка 8. И группы грамм(2п, п, 1) циклические порядка 2, как и грамм(1, 1, 2).

Список неприводимых комплексных групп отражений

В первых трех строках этого списка есть несколько дубликатов; подробности см. в предыдущем разделе.

ST - число Шепарда – Тодда группы отражений.
Классифицировать - размерность комплексного векторного пространства, на котором действует группа.
Структура описывает структуру группы. Символ * обозначает центральный продукт двух групп. Для ранга 2 фактор по (циклическому) центру - это группа вращений тетраэдра, октаэдра или икосаэдра (Т = Alt (4), О = Sym (4), я = Alt (5) порядков 12, 24, 60), как указано в таблице. Для обозначения 2¹⁺⁴, видеть особая группа.
Заказ количество элементов в группе.
Размышления описывает количество отражений: 2⁶4¹² означает, что имеется 6 отражений второго порядка и 12 отражений четвертого порядка.
Градусы дает степени фундаментальных инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группы номер 4 образуют кольцо многочленов с двумя образующими степеней 4 и 6.

ST	Классифицировать	Структура и названия	Имена Кокстера	Заказ	Размышления	Градусы	Codegrees
1	п−1	Симметричная группа грамм(1,1,п) = Sym (п)		п!	2^{п(п − 1)/2}	2, 3, ...,п	0,1,...,п − 2
2	п	грамм(м,п,п) м > 1, п > 1, п\|м (грамм(2,2,2) приводимо)		м^пп!/п	2^{мин(п−1)/2},d^{пφ (d)} (d\|м/п, d > 1)	м,2м,..,(п − 1)м; мин/п	0,м,..., (п − 1)м если п < м; 0,м,...,(п − 2)м, (п − 1)м − п если п = м
2	2	грамм(п,1,2) п > 1,	p [4] 2 или	2п²	2^п,d^{2φ (d)} (d\|п, d > 1)	п; 2p	0,п
2	2	Группа диэдра грамм(п,п,2) п > 2	[p] или	2п	2^п	2,п	0,п-2
3	1	Циклическая группа грамм(п,1,1) = Z_п	[п]⁺ или же	п	d^{φ (d)} (d\|п, d > 1)	п	0
4	2	W (L₂), Z₂.Т	3 [3] 3 или , ⟨2,3,3⟩	24	3⁸	4,6	0,2
5	2	Z₆.Т	3 [4] 3 или	72	3¹⁶	6,12	0,6
6	2	Z₄.Т	3 [6] 2 или	48	2⁶3⁸	4,12	0,8
7	2	Z₁₂.Т	‹3,3,3›₂ или ⟨2,3,3⟩₆	144	2⁶3¹⁶	12,12	0,12
8	2	Z₄.О	4 [3] 4 или	96	2⁶4¹²	8,12	0,4
9	2	Z₈.О	4 [6] 2 или или ⟨2,3,4⟩₄	192	2¹⁸4¹²	8,24	0,16
10	2	Z₁₂.О	4 [4] 3 или	288	2⁶3¹⁶4¹²	12,24	0,12
11	2	Z₂₄.О	⟨2,3,4⟩₁₂	576	2¹⁸3¹⁶4¹²	24,24	0,24
12	2	Z₂.О= GL₂(F₃)	⟨2,3,4⟩	48	2¹²	6,8	0,10
13	2	Z₄.О	⟨2,3,4⟩₂	96	2¹⁸	8,12	0,16
14	2	Z₆.О	3 [8] 2 или	144	2¹²3¹⁶	6,24	0,18
15	2	Z₁₂.О	⟨2,3,4⟩₆	288	2¹⁸3¹⁶	12,24	0,24
16	2	Z₁₀.я, ⟨2,3,5⟩ ×Z₅	5 [3] 5 или	600	5⁴⁸	20,30	0,10
17	2	Z₂₀.я	5 [6] 2 или	1200	2³⁰5⁴⁸	20,60	0,40
18	2	Z₃₀.я	5 [4] 3 или	1800	3⁴⁰5⁴⁸	30,60	0,30
19	2	Z₆₀.я	⟨2,3,5⟩₃₀	3600	2³⁰3⁴⁰5⁴⁸	60,60	0,60
20	2	Z₆.я	3 [5] 3 или	360	3⁴⁰	12,30	0,18
21	2	Z₁₂.я	3 [10] 2 или	720	2³⁰3⁴⁰	12,60	0,48
22	2	Z₄.я	⟨2,3,5⟩₂	240	2³⁰	12,20	0,28
23	3	Ш (В₃) = Z₂ × PSL₂(5)	[5,3],	120	2¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W (Дж₃(4)) = Z₂ × PSL₂(7), Кляйн	[1 1 1⁴]⁴,	336	2²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W (L₃) = W (P₃) = 3¹⁺².SL₂(3) Гессен	3[3]3[3]3,	648	3²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W (M₃) =Z₂ ×3¹⁺².SL₂(3) Гессен	2[4]3[3]3,	1296	2⁹ 3²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W (Дж₃(5)) = Z₂ ×(Z₃.Alt (6)), Валентинер	[1 1 1⁵]⁴, [1 1 1⁴]⁵,	2160	2⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28	4	W (F₄) = (SL₂(3) * SL₂(3)).(Z₂ × Z₂)	[3,4,3],	1152	2¹²⁺¹²	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W (N₄) = (Z₄*2^{1 + 4}) .Символ (5)	[1 1 2]⁴,	7680	2⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	Ш (В₄) = (SL₂(5) * SL₂(5)).Z₂	[5,3,3],	14400	2⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W (EN₄) = W (O₄) = (Z₄*2^{1 + 4}) .Sp₄(2)		46080	2⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W (L₄) = Z₃ × Sp₄(3)	3[3]3[3]3[3]3,	155520	3⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W (K₅) = Z₂ × Ω₅(3) = Z₂ × PSp₄(3)= Z₂ × БП₄(2)	[1 2 2]³,	51840	2⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W (K₆)= Z₃.Ω⁻ ₆(3).Z₂, Группа Митчелла	[1 2 3]³,	39191040	2¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	МЫ₆) = ТАК₅(3) = O⁻ ₆(2) = PSp₄(3).Z₂ = БП₄(2).Z₂	[3^2,2,1],	51840	2³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	МЫ₇) = Z₂ × Sp₆(2)	[3^3,2,1],	2903040	2⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	МЫ₈)= Z₂.O⁺ ₈(2)	[3^4,2,1],	696729600	2¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Для получения дополнительной информации, в том числе диаграмм, презентаций и кодовых диаграмм сложных групп отражений, см. Таблицы в (Michel Broué, Gunter Malle & Raphaël Rouquier1998 ).

Градусы

Шепард и Тодд доказали, что конечная группа, действующая в комплексном векторном пространстве, является комплексной группой отражений тогда и только тогда, когда ее кольцо инвариантов является кольцом многочленов (Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда. ). За ${displaystyle ell}$ будучи классифицировать группы отражений, степени ${displaystyle d_ {1} leq d_ {2} leq ldots leq d_ {ell}}$ образующих кольца инвариантов называются степени W и перечислены в графе «градусы» выше. Они также показали, что многие другие инварианты группы определяются степенями следующим образом:

Центр неприводимой группы отражений циклический, порядка наибольшего общего делителя степеней.
Порядок сложной группы отражений является произведением ее степеней.
Количество отражений - это сумма степеней минус ранг.
Неприводимая комплексная группа отражений получается из реальной группы отражений тогда и только тогда, когда она имеет инвариант степени 2.
Степени d_я удовлетворяют формуле ${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {ell} (q + d_ {i} -1) = sum _ {win W} q ^ {dim (V ^ {w})}.}$

Codegrees

За ${displaystyle ell}$ будучи классифицировать группы отражений кодегреи ${displaystyle d_ {1} ^ {*} geq d_ {2} ^ {*} geq ldots geq d_ {ell} ^ {*}}$ W можно определить как ${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {ell} (q-d_ {i} ^ {*} - 1) = sum _ {win W} det (w) q ^ {dim (V ^ {w})} .}$

Для реальной группы отражений кодовые степени - это степени минус 2.
Количество отражающих гиперплоскостей - это сумма кодовых степеней плюс ранг.

Хорошо сгенерированные сложные группы отражения

По определению, каждая комплексная группа отражений порождается своими отражениями. Однако множество отражений не является минимальным порождающим множеством, и любые неприводимые комплексные группы отражений ранга $п$ имеет минимальный порождающий набор, состоящий либо из $п$ или же $п + 1$ размышления. В первом случае группа называется хорошо сформированный.

Свойство быть хорошо сформированным эквивалентно условию ${displaystyle d_ {i} + d_ {i} ^ {*} = d_ {ell}}$ для всех ${displaystyle 1leq ileq ell}$ . Так, например, из классификации можно считать, что группа $грамм (м, п, п)$ хорошо генерируется тогда и только тогда, когда п = 1 или м.

Для неприводимых хорошо порожденных комплексных групп отражений Число Кокстера $час$ определенная выше, равна наибольшей степени, ${displaystyle h = d_ {ell}}$ . Приводимая комплексная группа отражений называется хорошо порожденной, если она является продуктом неприводимых хорошо порожденных комплексных групп отражений. Каждая конечная действительная группа отражений хорошо порождена.

Группы шепардов

Хорошо сгенерированные сложные группы отражений включают подмножество, называемое Группы шепардов. Эти группы являются группами симметрии правильные комплексные многогранники. В частности, к ним относятся группы симметрии правильных вещественных многогранников. Группы Шепарда можно охарактеризовать как комплексные группы отражений, допускающие "Кокстеровское" представление с линейной диаграммой. То есть с группой Шепарда связаны положительные целые числа $п 1, \dots, п п$ и $q 1, \dots, q п - 1$ такой, что есть генераторная установка $s 1, \dots, s п$ удовлетворение отношений

{displaystyle (s_ {i}) ^ {p_ {i}} = 1}

за

я = 1, \dots, п

,

{displaystyle s_ {i} s_ {j} = s_ {j} s_ {i}}

если

{displaystyle | i-j |> 1}

,

и

{displaystyle s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} s_ {i + 1} cdots = s_ {i + 1} s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} cdots}

где продукты с обеих сторон имеют

q я

условия, для

я = 1, \dots, п - 1

.

Эта информация иногда собирается в символе типа Кокстера. $п 1 [q 1] п 2 [q 2] \dots [q п - 1] п п$ , как показано в таблице выше.

Среди групп в бесконечной семье $грамм (м, п, п)$ , группы Шепарда - это те, в которых $п = 1$ . Есть также 18 исключительных групп Шепардов, три из которых настоящие.^[5]^[6]

Матрицы Картана

Расширенный Матрица Картана определяет Унитарную группу. Группы шепардов ранга п группа есть п генераторы.

Обычные матрицы Картана имеют диагональные элементы 2, а унитарные отражения не имеют этого ограничения.^[7]

Например, группа ранга 1, p [], , определяется матрицей 1 × 1 [1- ${displaystyle e ^ {2pi i / p}}$ ].

Данный: ${displaystyle zeta _ {p} = e ^ {2pi i / p}, omega zeta _ {3} = e ^ {2pi i / 3} = {frac {1} {2}} (- 1 + i {sqrt { 3}}), zeta _ {4} = e ^ {2pi i / 4} = i, zeta _ {5} = e ^ {2pi i / 5} = {frac {1} {4}} (left ({ sqrt {5}} - 1ight) + i {sqrt {2 (5+ {sqrt {5}})}}), au = {frac {1+ {sqrt {5}}} {2}}, lambda = { гидроразрыв {1 + i {sqrt {7}}} {2}}, omega = {frac {-1 + i {sqrt {3}}} {2}}}$ .

Ранг 1
Группа		Картан	Группа		Картан
2[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 2end {matrix}} ight]}$	3[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 1-omega end {matrix}} ight]}$
4[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 1-iend {matrix}} ight]}$	5[]		${displaystyle left [{egin {matrix} 1-zeta _ {5} end {matrix}} ight]}$

2 место
Группа		Картан	Группа		Картан
грамм₄	3[3]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -omega & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₅	3[4]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -2omega & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$
грамм₆	2[6]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 1-omega + iomega ^ {2} & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₈	4[3]4	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-i & 1 -i & 1-iend {smallmatrix}} ight]}$
грамм₉	2[6]4	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 (1+ {sqrt {2}}) zeta _ {8} & 1 + iend {smallmatrix}} ight]}$	грамм₁₀	3[4]4	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -i-omega & 1-iend {smallmatrix}} ight]}$
грамм₁₄	3[8]2	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 1-omega + omega ^ {2} {sqrt {2}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₁₆	5[3]5	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-zeta _ {5} & 1 -zeta _ {5} & 1-zeta _ {5} end {smallmatrix}} ight]}$
грамм₁₇	2[6]5	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 1-zeta _ {5} -izeta ^ {3} & 1-zeta _ {5} end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₁₈	3[4]5	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 -omega -zeta _ {5} & 1-zeta _ {5} end {smallmatrix}} ight]}$
грамм₂₀	3[5]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & 1 omega (au -2) & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₂₁	2[10]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 1-omega -iomega ^ {2} au & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$

3 место
Группа		Картан	Группа		Картан
грамм₂₂	<5,3,2>₂	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & au + i-1 & -i + 1 - au -i-1 & 2 & i i-1 & -i & 2end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₂₃	[5,3]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - au & 0 - au & 2 & -1 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
грамм₂₄	[1 1 1⁴]⁴	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & -lambda -1 & 2 & -1 1 + lambda & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₂₅	3[3]3[3]3	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & omega ^ {2} & 0 -omega ^ {2} & 1-omega & -omega ^ {2} 0 & omega ^ {2} & 1-omega end {smallmatrix}} полет ]}$
грамм₂₆	3[3]3[4]2	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-omega & -omega ^ {2} & 0 omega ^ {2} & 1-omega & -1 0 & -1 + omega & 2end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₂₇	[1 1 1⁵]⁴	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - au & -omega - au & 2 & -omega ^ {2} - omega ^ {2} & omega & 2end {smallmatrix}} ight]}$

4 место
Группа			Картан	Группа			Картан
грамм₂₈	[3,4,3]		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -2 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₂₉	[1 1 2]⁴		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & i + 1 & 0 -1 & 2 & -i & 0 -i + 1 & i & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
грамм₃₀	[5,3,3]		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - au & 0 & 0 - au & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	грамм₃₂	3[3]3[3]3		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1-омега & omega ^ {2} & 0 & 0 -omega ^ {2} & 1-omega & -omega ^ {2} & 0 0 & omega ^ {2} & 1-omega & omega ^ {2} 0 & 0 & -omega ^ {2} & 1-omega end {smallmatrix}} ight]}$

5 место
Группа			Картан	Группа			Картан
грамм₃₁	О₄		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & i + 1 & 0 & -i + 1 -1 & 2 & -i & 0 & 0 -i + 1 & i & 2 & -1 & -i + 1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 i + 1 & 0 & i + 1 & -1 & 2end {smallmatrix }} ight]}$	грамм₃₃	[1 2 2]³		${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -omega & 0 0 & -1 & -omega ^ {2} & 2 & -omega ^ {2} 0 & 0 & 0 & -omega & 2end {smallmatrix }} ight]}$

внешняя ссылка

Система вычислительной алгебры MAGMA страница

[1] Лерер и Тейлор, теорема 1.27.

[2] Лерер и Тейлор, стр. 271.

[3] Лерер и Тейлор, Раздел 2.2.

[4] Лерер и Тейлор, пример 2.11.

[5] Питер Орлик, Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое изображение для групп Шепард. Mathematische Annalen. Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI: 10.1007 / s002080200001 [1]

[6] Кокстер, Х. С. М.; Регулярные сложные многогранники, Издательство Кембриджского университета, 1974.

[7] Унитарные группы отражений, стр.91-93

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]