Валентинер группа - Valentiner group

Не путать с Groupe Valentine.

В математике Валентинер группа идеальное тройное покрытие переменная группа на 6 баллов, и является группа порядка 1080. Его обнаружил Герман Валентинер  (1889 ) в виде действия А₆ на комплексной проективной плоскости и исследовалась далее Виман (1896 г.).

Все совершенные чередующиеся группы имеют идеальные двойные покрытия. В большинстве случаев это универсальное центральное расширение. Два исключения: А₆ (чье идеальное тройное покрытие - группа Валентинера) и А₇, универсальные центральные расширения которой имеют центры порядка 6.

Представления

• Переменная группа А₆ действует на комплексной проективной плоскости, и Гербальди (1898) показал, что группа действует на 6 коник Теорема Гербальди. Это дает гомоморфизм PGL₃(C), и поднятие этого на тройное покрытие GL₃(C) - группа Валентинера. Это вложение можно определить над полем, порожденным корнями 15-й степени из единицы.
• Произведение группы Валентинера на группу порядка 2 является трехмерным комплексная группа отражений порядка 2160, порожденного 45 комплексными отражениями порядка 2. Инварианты образуют полиномиальная алгебра с образующими 6, 12 и 30 степеней.
• Группа Валентинера имеет сложные неприводимые верные групповые представления размерности 3, 3, 3, 3, 6, 6, 9, 9, 15, 15.
• Валентинеровскую группу можно представить как мономиальные симметрии гексакод, 3-мерное подпространство F⁶
  ₄ охватывает (001111), (111100) и (0101ωω), где элементы конечного поля F₄ равны 0, 1, ω, ω.
• Группа PGL₃(F₄) действует на 2-мерной проективной плоскости над F₄ и действует транзитивно на его гиперовалы (наборы из 6 точек, три из которых не находятся на линии). Подгруппа, фиксирующая гиперовал, является копией знакопеременной группы А₆. Подъем этого к тройной крышке GL₃(F₄) PGL₃(F₄) - группа Валентинера.
• Креспо и Хайто (2005) описал представления группы Валентинера как группу Галуа и отдал приказ 3 дифференциальное уравнение с группой Valentiner в качестве дифференциальная группа Галуа.

Рекомендации

• Кобл, Артур Б. (1911), «Сведение шестого уравнения к форме-задаче Валентинера», Mathematische Annalen, 70 (3): 337–350, Дои:10.1007 / BF01564501, ISSN  0025-5831
• Красс, Скотт (1999), «Решение секстики итерацией: исследование сложной геометрии и динамики», Экспериментальная математика, 8 (3): 209–240, arXiv:математика / 9903111, Дои:10.1080/10586458.1999.10504401, ISSN  1058-6458, МИСТЕР  1724156
• Креспо, Тереза; Хайто, Збигнев (2005), «Валентинерская группа как группа Галуа», Труды Американского математического общества, 133 (1): 51–56, Дои:10.1090 / S0002-9939-04-07539-2, ISSN  0002-9939, МИСТЕР  2085152
• Гербальди, Франческо (1898), "Sul gruppo semplice di 360 collineazioni piane", Mathematische Annalen, 50 (2–3): 473–476, Дои:10.1007 / BF01448080, ISSN  0025-5831
• Валентинер, Х. (1889 г.), "De endelige Transformations-gruppers Theori", Виденкабернес Сельскабс Скрифтер (на датском), 6
• Виман, А. (1896 г.), "Ueber eine einfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen", Mathematische Annalen, 47 (4): 531–556, Дои:10.1007 / BF01445800, ISSN  0025-5831, JFM  27.0103.03