Теорема Ленгса - Langs theorem - Wikipedia

В алгебраическая геометрия, Теорема Лэнга, представлен Серж Ланг, гласит: если грамм связная гладкая алгебраическая группа через конечное поле ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$, затем, написав ${\displaystyle \sigma :G\to G,\,x\mapsto x^{q}}$ для Фробениуса морфизм разновидностей

${\displaystyle G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)}$ 

сюръективно. Обратите внимание, что ядро этой карты (т.е. ${\displaystyle G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})}$) точно ${\displaystyle G(\mathbf {F} _{q})}$.

Из теоремы следует, что ${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)}$ исчезает,^[1] и, следовательно, любой грамм-пучок на ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$ изоморфна тривиальному. Также теорема играет основную роль в теории конечные группы лиева типа.

Не обязательно, чтобы грамм аффинно. Таким образом, теорема применима и к абелевы разновидности (например., эллиптические кривые.) Фактически, это приложение было первоначальной мотивацией Лэнга. Если грамм аффинно, Фробениус ${\displaystyle \sigma }$ может быть заменено любым сюръективным отображением с конечным числом неподвижных точек (точное утверждение см. ниже).

Доказательство (приведенное ниже) действительно проходит для любого ${\displaystyle \sigma }$ что вызывает нильпотентный оператор на алгебре Ли грамм.^[2]

Теорема Лэнга – Стейнберга.

Steinberg  (1968 ) дал полезное улучшение теоремы.

Предположим, что F является эндоморфизмом алгебраической группы грамм. В Карта Lang это карта из грамм к грамм принимая грамм к грамм⁻¹F(грамм).

В Теорема Лэнга – Стейнберга. состояния^[3] что если F сюръективен и имеет конечное число неподвижных точек, и грамм является связной аффинной алгебраической группой над алгебраически замкнутым полем, то отображение Ланга сюръективно.

Доказательство теоремы Лэнга.

Определять:

${\displaystyle f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma (x).}$

Затем (отождествляя касательное пространство в точке а с касательным пространством в единичном элементе) имеем:

${\displaystyle (df_{a})_{e}=d(h\circ (x\mapsto (x^{-1},a,\sigma (x))))_{e}=dh_{(e,a,e)}\circ (-1,0,d\sigma _{e})=-1+d\sigma _{e}}$ 

куда ${\displaystyle h(x,y,z)=xyz}$. Следует ${\displaystyle (df_{a})_{e}}$ биективен, поскольку дифференциал Фробениуса ${\displaystyle \sigma }$ исчезает. С ${\displaystyle f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b)}(x)}$, мы также видим, что ${\displaystyle (df_{a})_{b}}$ биективен для любого б.^[4] Позволять Икс быть закрытием образа ${\displaystyle f_{1}}$. В гладкие точки из Икс образуют открытое плотное подмножество; таким образом, есть некоторые б в грамм такой, что ${\displaystyle f_{1}(b)}$ гладкая точка Икс. Поскольку касательное пространство к Икс в ${\displaystyle f_{1}(b)}$ и касательное пространство к грамм в б имеют одинаковую размерность, отсюда следует, что Икс и грамм имеют такое же измерение, поскольку грамм гладко. С грамм связано, образ ${\displaystyle f_{1}}$ то содержит открытое плотное подмножество U из грамм. Теперь, учитывая произвольный элемент а в грамм, по тем же рассуждениям образ ${\displaystyle f_{a}}$ содержит открытое плотное подмножество V из грамм. Перекресток ${\displaystyle U\cap V}$ непусто, но тогда это влечет а находится в образе ${\displaystyle f_{1}}$.

Примечания

1. Это «раскручивающееся определение». Здесь, ${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H^{1}(\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}),G({\overline {\mathbf {F} _{q}}}))}$ является Когомологии Галуа; ср. Милн, Теория поля классов.
2. Springer 1998, Упражнение 4.4.18. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSpringer1998 (помощь)
3. Стейнберг 1968, Теорема 10.1
4. Отсюда следует, что ${\displaystyle f_{a}}$ является эталь.

Рекомендации

• Т.А. Спрингер, "Линейные алгебраические группы", 2-е изд. 1998 г.
• Ланг, Серж (1956), "Алгебраические группы над конечными полями", Американский журнал математики, 78: 555–563, Дои:10.2307/2372673, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372673, МИСТЕР  0086367
• Стейнберг, Роберт (1968), Эндоморфизмы линейных алгебраических групп, Мемуары Американского математического общества, № 80, Providence, R.I .: Американское математическое общество, МИСТЕР  0230728