Этальный морфизм - Étale morphism

В алгебраическая геометрия, этальный морфизм (Французский:[и другие]) является морфизмом схемы то есть формально эталь и локально конечного представления. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в комплексной аналитической топологии. Они удовлетворяют гипотезам теорема о неявной функции, но поскольку открытые наборы в Топология Зарисского настолько велики, что они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, этальные отображения сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны при определении алгебраическая фундаментальная группа и этальная топология.

Слово эталь француз прилагательное, что означает «вялый», как в «слабом приливе», или, образно говоря, спокойный, неподвижный, то, что осталось для урегулирования.^[1]

Определение

Позволять ${ displaystyle phi: R to S}$ быть кольцевой гомоморфизм. Это делает ${ displaystyle S}$ ан ${ displaystyle R}$ -алгебра. Выберите монический многочлен ${ displaystyle f}$ в ${ Displaystyle R [х]}$ и многочлен ${ displaystyle g}$ в ${ Displaystyle R [х]}$ так что производная ${ displaystyle f '}$ из ${ displaystyle f}$ единица в ${ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$ . Мы говорим что ${ displaystyle phi}$ является стандартный эталон если ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ можно выбрать так, чтобы ${ displaystyle S}$ изоморфен как ${ displaystyle R}$ -алгебра к ${ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$ и ${ displaystyle phi}$ - каноническое отображение.

Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ быть морфизм схем. Мы говорим что ${ displaystyle f}$ является эталь тогда и только тогда, когда он имеет одно из следующих эквивалентных свойств:

${ displaystyle f}$ является плоский и G-неразветвленный.^[2]
${ displaystyle f}$ это гладкий морфизм и неразветвленный.^[2]
${ displaystyle f}$ плоский, локально конечного представления, и для каждого ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle Y}$ , волокно ${ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$ представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых является спектром конечного сепарабельного полевого расширения поля вычетов ${ Displaystyle каппа (у)}$ .^[2]
${ displaystyle f}$ плоский, локально конечного представления и для каждого ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle Y}$ и каждое алгебраическое замыкание ${ displaystyle k '}$ поля вычетов ${ Displaystyle каппа (у)}$ геометрическое волокно ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) otimes _ { kappa (y)} k '}$ представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых изоморфна ${ displaystyle { mbox {Spec}} к '}$ .^[2]
${ displaystyle f}$ это гладкий морфизм относительной размерности ноль.^[3]
${ displaystyle f}$ является гладким морфизмом и локально квазиконечный морфизм.^[4]
${ displaystyle f}$ локально конечного представления и локально является стандартным этальным морфизмом, т. е.
Для каждого ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$ , позволять ${ Displaystyle у = е (х)}$ . Тогда существует открытая аффинная окрестность Спецификация р из ${ displaystyle y}$ и открытое аффинное соседство Спецификация S из ${ displaystyle x}$ такой, что ж(Спецификация S) содержится в Спецификация р и такой, что гомоморфизм колец р → S индуцированный ${ displaystyle f}$ стандартная эталь.^[5]
${ displaystyle f}$ локально конечного представления и является формально эталь.^[2]
${ displaystyle f}$ локально конечного представления и формально этальна для отображений из локальных колец, то есть:
Позволять А быть местным кольцом и J быть идеалом А такой, что J² = 0. Набор Z = Спецификация А и Z₀ = Спецификация А/J, и разреши я : Z₀ → Z - каноническое замкнутое погружение. Позволять z обозначим замкнутую точку Z₀. Позволять час : Z → Y и грамм₀ : Z₀ → Икс быть морфизмами такими, что ж(грамм₀(z)) = час(я(z)). Тогда существует единственный Y-морфизм грамм : Z → Икс такой, что джи = грамм₀.^[6]

Предположить, что ${ displaystyle Y}$ местно нётерский и ж локально конечного типа. За ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$ , позволять ${ Displaystyle у = е (х)}$ и разреши ${ Displaystyle { шляпа { mathcal {O}}} _ {Y, y} to { hat { mathcal {O}}} _ {X, x}}$ - индуцированное отображение на завершенный местные кольца. Тогда следующие эквиваленты:

${ displaystyle f}$ эталь.
Для каждого ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$ индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах формально является этальным для адической топологии.^[7]
Для каждого ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$ , ${ displaystyle { hat { mathcal {O}}} _ {X, x}}$ это бесплатный ${ displaystyle { hat { mathcal {O}}} _ {Y, y}}$ -модуль и волокно ${ displaystyle { hat { mathcal {O}}} _ {X, x} / m_ {y} { hat { mathcal {O}}} _ {X, x}}$ - поле, которое является конечным сепарабельным расширением поля вычетов ${ Displaystyle каппа (у)}$ .^[7] (Здесь ${ displaystyle m_ {y}}$ максимальный идеал ${ displaystyle { hat { mathcal {O}}} _ {Y, y}}$ .)
ж формально этальна для отображений локальных колец со следующими дополнительными свойствами. Местное кольцо А можно предположить Артиниан. Если м максимальный идеал А, тогда J можно предположить, что удовлетворяет мДж = 0. Наконец, морфизм полей вычетов κ (у) → А / м можно считать изоморфизмом.^[8]

Если, кроме того, все отображения на полях вычетов ${ Displaystyle каппа (у) к каппа (х)}$ являются изоморфизмами, или если ${ Displaystyle каппа (у)}$ сепарабельно замкнуто, то ${ displaystyle f}$ этальна тогда и только тогда, когда для каждого ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$ , индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах является изоморфизмом.^[7]

Примеры

Любой открытое погружение этальна, потому что является локальным изоморфизмом.

Накрывающие пространства образуют примеры этальных морфизмов. Например, если ${ displaystyle d geq 1}$ является целым обратимым в кольце ${ displaystyle R}$ тогда

{ displaystyle { text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}, y] / (y ^ {d} -t)) to { text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}])}

это степень ${ displaystyle d}$ этальный морфизм.

Любой разветвленное покрытие ${ displaystyle pi: от X до Y}$ имеет неразветвленный локус

{ displaystyle pi: X_ {un} to Y_ {un}}

который является эталоном.

Морфизмы

{ displaystyle { text {Spec}} (L) to { text {Spec}} (K)}

индуцированные конечными сепарабельными расширениями поля этальны - они образуют арифметические накрытия с группой преобразований колоды, заданной ${ displaystyle { text {Gal}} (L / K)}$ .

Любой гомоморфизм колец вида ${ Displaystyle R к S = R [x_ {1}, ldots, x_ {n}] _ {g} / (f_ {1}, ldots, f_ {n})}$ , где все ${ displaystyle f_ {i}}$ - многочлены, а где Якобиан детерминант ${ displaystyle det ( partial f_ {i} / partial x_ {j})}$ единица в ${ displaystyle S}$ , является эталоном. Например морфизм ${ displaystyle mathbb {C} [t, t ^ {- 1}] to mathbb {C} [x, t, t ^ {- 1}] / (x ^ {n} -t)}$ этале и соответствует степени ${ displaystyle n}$ площадь покрытия ${ displaystyle mathbb {G} _ {m} in Sch / mathbb {C}}$ с группой ${ Displaystyle mathbb {Z} / п}$ преобразований колоды.

Продолжая предыдущий пример, предположим, что у нас есть морфизм ${ displaystyle f}$ гладких комплексных алгебраических многообразий. С ${ displaystyle f}$ задается уравнениями, мы можем интерпретировать его как карту комплексных многообразий. Когда бы якобиан ${ displaystyle f}$ не равно нулю, ${ displaystyle f}$ является локальным изоморфизмом комплексных многообразий теорема о неявной функции. В предыдущем примере иметь ненулевой якобиан - это то же самое, что быть этальным.

Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ - доминантный морфизм конечного типа с Икс, Y локально нётерский, неприводимый и Y нормальный. Если ж является неразветвленный, то это эталь.^[9]

Для поля K, любой K-алгебра А обязательно плоский. Следовательно, А является этальной алгеброй тогда и только тогда, когда она неразветвлена, что также эквивалентно

{ displaystyle A otimes _ {K} { bar {K}} cong { bar {K}} oplus ... oplus { bar {K}},}

куда ${ displaystyle { bar {K}}}$ это отделяемое закрытие поля K а правая часть представляет собой конечную прямую сумму, все слагаемые которой равны ${ displaystyle { bar {K}}}$ . Эта характеристика etale K-алгебры - это ступенька в переосмыслении классических Теория Галуа (видеть Теория Галуа Гротендика ).

Характеристики

Этальные морфизмы сохраняются при изменении состава и основы.
Этальные морфизмы локальны на источнике и на основании. Другими словами, ${ displaystyle f: от X до Y}$ этальна тогда и только тогда, когда для каждого покрытия ${ displaystyle X}$ открытыми подсхемами ограничение ${ displaystyle f}$ каждой из открытых подсхем покрытия этальна, а также тогда и только тогда, когда для каждого покрытия ${ displaystyle Y}$ открытыми подсхемами индуцированные морфизмы ${ displaystyle f _ {(U)}: X times _ {Y} U to U}$ является эталоном для каждой подсхемы ${ displaystyle U}$ покрытия. В частности, можно проверить свойство быть этальным на открытых аффинах. ${ displaystyle V = operatorname {Spec} (B) to U = operatorname {Spec} (A)}$ .
Продукт конечного семейства этальных морфизмов этален.
Для конечного семейства морфизмов ${ Displaystyle {е _ { альфа}: от X _ { alpha} до Y }}$ , несвязное объединение ${ displaystyle coprod f _ { alpha}: coprod X _ { alpha} to Y}$ этален тогда и только тогда, когда каждый ${ displaystyle f _ { alpha}}$ эталь.
Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ и ${ displaystyle g: Y to Z}$ , и предположим, что ${ displaystyle g}$ неразветвленный и ${ displaystyle gf}$ эталь. потом ${ displaystyle f}$ эталь. В частности, если ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle X '}$ эталонные ${ displaystyle Y}$ , то любой ${ displaystyle Y}$ -морфизм между ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle X '}$ эталь.
Квази-компактный этальные морфизмы квазиконечный.
Морфизм ${ displaystyle f: от X до Y}$ является открытым погружением тогда и только тогда, когда оно эталонно и радиальный.^[10]
Если ${ displaystyle f: от X до Y}$ этальна и сюръективна, то ${ Displaystyle тусклый X = тусклый Y}$ (конечно или иначе).

Теорема об обратной функции

Этальные морфизмы

ж: Икс → Y

являются алгебраическим аналогом локальных диффеоморфизмы. Точнее, морфизм между гладкими многообразиями является этальным в точке тогда и только тогда, когда дифференциал между соответствующими касательные пространства является изоморфизмом. Это, в свою очередь, именно то условие, которое необходимо для того, чтобы карта между коллекторы является локальным диффеоморфизмом, т.е. для любой точки у ∈ Y, существует открыто район U из Икс так что ограничение ж к U является диффеоморфизмом. Этот вывод неверен в алгебраической геометрии, потому что топология слишком грубая. Например, рассмотрим проекцию ж из парабола

у = Икс²

к у-ось. Этот морфизм этален во всех точках, кроме начала координат (0, 0), потому что дифференциал задается равенством 2Икс, которая в этих точках не обращается в нуль.

Однако нет (Зарисский- ) местная инверсия ж, только потому, что квадратный корень не является алгебраическое отображение, не задаваемые полиномами. Однако есть выход из этой ситуации, используя этальную топологию. Точное утверждение выглядит следующим образом: если ${ displaystyle f: от X до Y}$ этальна и конечна, то для любой точки у лежа в Y, существует этальный морфизм V → Y содержащий у в его образе (V можно рассматривать как эталонную открытую окрестность у), что при замене базы ж к V, тогда ${ displaystyle X times _ {Y} от V до V}$ (первый член будет прообразом V к ж если V были открытой окрестностью Зарисского) является конечным дизъюнктным объединением открытых подмножеств, изоморфных V. Другими словами, étale-locally в Y, морфизм ж является топологическим конечным покрытием.

Для гладкого морфизма ${ displaystyle f: от X до Y}$ относительного измерения п, étale-locally в Икс И в Y, ж открытое погружение в аффинное пространство ${ displaystyle mathbb {A} _ {Y} ^ {n}}$ . Это эталонный аналог структурной теоремы о погружения.

Смотрите также

Чистота (алгебраическая геометрия)

Библиография

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МИСТЕР 0463157
Гротендик, Александр; Жан Дьедонне (1964), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la коллаборация Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 20: 5–259, Дои:10.1007 / bf02684747
Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1964), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la коллаборация Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 20: 5–259, Дои:10.1007 / bf02684747
Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la сотрудничество де Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 32: 5–333, Дои:10.1007 / BF02732123
Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Париж: Société Mathématique de France, xviii + 327, arXiv:math.AG/0206203, ISBN 978-2-85629-141-2
Дж. С. Милн (1980), Этальные когомологии, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN 0-691-08238-3
Дж. С. Милн (2008). Лекции по этальным когомологиям

[1] fr: Trésor de la langue française informatisé, "этальная" статья

[Corollaire-2] а ^б ^c ^d ^е EGA IV₄, Corollaire 17.6.2.

[3] EGA IV₄, Corollaire 17.10.2.

[4] EGA IV₄, Corollaire 17.6.2 и Corollaire 17.10.2.

[5] Милн, Этальные когомологии, Теорема 3.14.

[6] EGA IV₄, Corollaire 17.14.1.

[formal-7] а ^б ^c EGA IV₄, Предложение 17.6.3

[8] EGA IV₄, Предложение 17.14.2

[9] SGA1, Exposé I, 9.11

[10] EGA IV₄, Теорема 17.9.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]