Редуктивная алгебра Ли - Reductive Lie algebra - Wikipedia

В математика, а Алгебра Ли является редуктивный если это присоединенное представительство является полностью сводимый, откуда и название. Более конкретно, алгебра Ли редуктивна, если она прямая сумма из полупростая алгебра Ли и абелева алгебра Ли: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}};}$ ниже приведены альтернативные характеристики.

Примеры

Самый простой пример - алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ из ${\displaystyle n\times n}$ матрицы с коммутатором в виде скобки Ли или, более абстрактно, как эндоморфизм алгебра п-размерный векторное пространство, ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$ Это алгебра Ли общая линейная группа GL (п), и является редуктивным, так как разлагается как ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus {\mathfrak {k}},}$ соответствующий бесследный матрицы и скалярные матрицы.

Любой полупростая алгебра Ли или же абелева алгебра Ли является a fortiori редуктивный.

По реальным числам, компактные алгебры Ли редуктивны.

Определения

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем характеристики 0 называется редуктивным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. В присоединенное представительство (действие в скобках) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является полностью сводимый (а прямая сумма неприводимых представлений).
2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ допускает точное, вполне приводимое конечномерное представление.
3. В радикальный из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ равен центру: ${\displaystyle {\mathfrak {r}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   Радикал всегда содержит центр, но не обязательно равен ему.

4. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ прямая сумма полупростого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{0}}$ и его центр ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}):}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   Сравните с Разложение Леви, которая разлагает алгебру Ли на ее радикал (разрешимый, а не абелев, вообще говоря) и подалгебру Леви (полупростую).

5. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является прямой суммой полупростой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ и абелева алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}.}$
6. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ представляет собой прямую сумму простых идеалов: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\textstyle {\sum {\mathfrak {g}}_{i}}.}$

Некоторые из этих эквивалентностей легко увидеть. Например, центр и радикал ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {a}},}$ а если радикал равен центру, разложение Леви дает разложение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$ Далее, простые алгебры Ли и тривиальная одномерная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ главные идеалы.

Характеристики

Редуктивные алгебры Ли являются обобщением полупростых алгебр Ли и имеют много общих свойств с ними: многие свойства полупростых алгебр Ли зависят только от того факта, что они редуктивны. Примечательно, что унитарный трюк из Герман Вейль работает для редуктивных алгебр Ли.

Связанный редуктивные группы Ли представляют значительный интерес: Программа Langlands основан на предпосылке, что то, что делается для одной редуктивной группы Ли, должно быть сделано для всех.^{[требуется разъяснение ]}

Пересечение редуктивных алгебр Ли и разрешимых алгебр Ли является в точности абелевыми алгебрами Ли (в отличие от пересечения полупростых и разрешимых алгебр Ли тривиально).

внешняя ссылка

• Алгебра Ли, редуктивная, Онищик, в Энциклопедия математики, ISBN  1-4020-0609-8, SpringerLink