Унитарный трюк - Unitarian trick

В математика, то унитарный трюк это устройство в теория представлений из Группы Ли, представлен Адольф Гурвиц  (1897 ) для специальной линейной группы и Герман Вейль для общих полупростых групп. Он применяется, чтобы показать, что теория представлений некоторой группы грамм качественно контролируется другими компактная группа K. Важным примером является тот, в котором грамм это комплекс общая линейная группа, и K то унитарная группа действуя на векторы одинакового размера. Из того, что представления K находятся полностью сводимый, то же самое делается для грамм, по крайней мере, в конечных размерах.

Отношения между грамм и K которая движет этой связью, традиционно выражается в терминах, Алгебра Ли из K это реальная форма из этого грамм. В теории алгебраические группы, отношения также можно поставить, что K это плотное подмножество из грамм, для Топология Зарисского.

Уловка работает для редуктивные группы Ли, из которых важным случаем являются полупростые группы Ли.

Теорема Вейля

Основная статья: Теорема Вейля о полной сводимости

В полная сводимость конечномерных линейных представлений компактных групп или связных полупростые группы Ли и сложный полупростые алгебры Ли иногда идет под именем Теорема Вейля.[1] Связанный результат, что универсальный чехол компактной полупростой группы Ли также компактна, также носит одноименное название.[2]

История

Адольф Гурвиц показал, как интеграция по компактная группа Ли может быть использован для построения инвариантов в случаях унитарных групп и компактных ортогональные группы. Иссай Шур в 1924 г. показал, что этот метод применяется для демонстрации полной сводимости представлений таких групп посредством построения инвариантного внутреннего произведения. Вейль распространил метод Шура на комплексные полупростые алгебры Ли, показав, что у них есть компактная реальная форма.[3]

Примечания

  1. ^ «Полностью сводимый набор», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  2. ^ "Группа Ли, компактная", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  3. ^ Николя Бурбаки, Группы Ли и алгебры Ли (1989), стр. 426.

Рекомендации

  • В. С. Варадараджан, Введение в гармонический анализ полупростых групп Ли (1999), стр. 49.
  • Вульф Россманн, Группы Ли: введение через линейные группы (2006), стр. 225.
  • Роу Гудман, Нолан Р. Уоллах, Симметрия, представления и инварианты (2009), стр. 171.
  • Гурвиц, А. (1897), "Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration", Nachrichten Ges. Wiss. Гёттинген: 71–90