Prototile - Prototile

Эта форма апериодический Плитка Пенроуза имеет два прототипа, толстый ромб (показан синим на рисунке) и тонким ромбом (зеленым).

В математической теории мозаика, а прототип является одной из форм плитки в мозаике.^[1]

Определение

Тесселяция плоскости или любого другого пространства - это покрытие пространства закрыто формы, называемые плитками, которые имеют непересекающийся интерьеры. Некоторые плитки могут быть конгруэнтный одному или нескольким другим. Если S набор плиток в тесселяции, набор р форм называется набором прототипов, если в р конгруэнтны друг другу, и каждая плитка в S конгруэнтно одной из форм в р.^[2]

Можно выбрать множество различных наборов прототипов для мозаики: перемещение или вращение любого из прототипов создает другой допустимый набор прототипов. Однако каждый набор прототипов имеет одинаковые мощность, поэтому количество прототипов четко определено. Тесселяция называется моноэдральный если у него ровно один прототип.

Апериодичность

Нерешенная проблема в математике: Существует ли двумерный апериодический прототип? (больше нерешенных задач по математике)

Набор прототипов называется апериодическим, если каждый тайл с этими прототипами является апериодическая мозаика. Неизвестно, существует ли одна двумерная форма (называемая Эйнштейн )^[3] который образует прототип апериодической мозаики, но не какой-либо периодической мозаики. То есть существование одноэлементного (моноэдрального) апериодического прототипа множества является открытой проблемой. В Плитка Socolar-Taylor образует двумерные апериодические мозаики, но определяется комбинаторными условиями согласования, а не только своей формой. В более высоких измерениях проблема решена: Плитка Schmitt-Conway-Danzer является прототипом моноэдральной апериодической мозаики трехмерных Евклидово пространство, и не может периодически размещать мозаику в пространстве.

Рекомендации

1. Седерберг, Джудит Н. (2001), Курс современной геометрии, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 174, г. ISBN  978-0-387-98972-3.
2. Каплан, Крейг С. (2009), Вводная теория листов для компьютерной графики, Синтез лекций по компьютерной графике и анимации, издательство Morgan & Claypool Publishers, стр. 7, ISBN  978-1-60845-017-6.
3. Socolar, Джошуа Э. С .; Тейлор, Джоан М. (2012), «Принудительная непериодичность с помощью одной плитки», Математический интеллект, 34 (1): 18–28, arXiv:1009.1419, Дои:10.1007 / s00283-011-9255-у, МИСТЕР  2902144.