Порог перколяции - Percolation threshold

В порог перколяции математическая концепция в теория перколяции который описывает формирование связи на большие расстояния в случайный системы. Под порогом гигант связный компонент не существует; в то время как над ним существует гигантский компонент порядка размера системы. В машиностроении и приготовление кофе, перколяция представляет собой поток жидкости через пористая среда, но в мире математики и физики это обычно относится к упрощенным решетчатые модели случайных систем или сетей (графики ), и характер связности в них. Порог перколяции - это критическое значение вероятности оккупации п, или, в более общем смысле, критическая поверхность для группы параметров п₁, п₂, ..., такие, что бесконечное соединение (просачивание ) впервые возникает.

Модели перколяции

Наиболее распространенная модель перколяции состоит в том, чтобы взять регулярную решетку, например квадратную решетку, и превратить ее в случайную сеть, случайным образом «занимая» узлы (вершины) или связи (ребра) со статистически независимой вероятностью. п. На критическом пороге п_c, сначала появляются большие кластеры и связь на большие расстояния, и это называется порог перколяции. В зависимости от метода получения случайной сети различают перколяция сайта порог и просачивание облигаций порог. Более общие системы имеют несколько вероятностей п₁, п₂и др., причем переход характеризуется критическая поверхность или же многообразие. Можно также рассмотреть системы континуума, такие как перекрывающиеся диски и сферы, размещенные случайным образом, или отрицательное пространство (Швейцарский сыр модели).

В описанных до сих пор системах предполагалось, что занятость сайта или связи является полностью случайной - это так называемая Бернулли просачивание. Для континуальной системы случайное заполнение соответствует точкам, размещенным Пуассоновский процесс. Дальнейшие вариации включают коррелированную перколяцию, такую ​​как перколяционные кластеры, связанные с моделями ферромагнетиков Изинга и Поттса, в которых связи устанавливаются формулой Фортуина.Кастелейн метод.^[1] В бутстрап или же к-сб перколяции, сайты и / или связи сначала заняты, а затем последовательно удаляются из системы, если сайт не имеет хотя бы k соседи. Еще одна важная модель перколяции в другом класс универсальности в целом, это направленная перколяция, где возможность соединения вдоль связи зависит от направления потока.

За последние несколько десятилетий была проделана огромная работа по поиску точных и приблизительных значений порогов перколяции для множества этих систем. Точные пороги известны только для определенных двумерных решеток, которые могут быть разбиты на самодуальный массив, так что при преобразовании треугольник-треугольник система остается прежней. Исследования с использованием численных методов привели к многочисленным улучшениям алгоритмов и нескольким теоретическим открытиям.

Простая двойственность в двух измерениях подразумевает, что все полностью триангулированные решетки (например, треугольная, объединенная, двойная перекрестная, двойная мартини и асаноха или 3-12 дуальная, а также триангуляция Делоне) имеют пороговые значения мест, равные 1/2, и двойные решетки (квадратные, мартини-Б) имеют порог сцепления 1/2.

Обозначения типа (4,8²) происходит от Грюнбаум и Шепард,^[2] и указывает, что вокруг данной вершины, идя по часовой стрелке, сначала встречается квадрат, а затем два восьмиугольника. Помимо одиннадцати Архимедовы решетки состоит из правильных многоугольников, каждый узел которых эквивалентен, были изучены многие другие более сложные решетки с узлами различных классов.

Полосы ошибок в последней цифре или цифрах показаны числами в скобках. Таким образом, 0,729724 (3) означает 0,729724 ± 0,000003, а 0,74042195 (80) означает 0,74042195 ± 0,00000080. Планки ошибок по-разному представляют одно или два стандартных отклонения чистой ошибки (включая статистическую и ожидаемую систематическую ошибку) или эмпирический доверительный интервал.

Перколяция на двумерных решетках.

Пороги на архимедовых решетках

это картинка^[3] 11 Архимедовых Решеток или однородных мозаик, в которых все многоугольники правильные и каждая вершина окружена одной и той же последовательностью многоугольников. Обозначение »(3⁴, 6) ", например, означает, что каждая вершина окружена четырьмя треугольниками и одним шестиугольником. См. Также Равномерные мозаики.

• 

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
3-12 или (3, 12^2 )	3	3	0.807900764 ... = (1-2 sin (π/18))^1/2[4]	0.74042195(80),[5] 0.74042077(2)[6] 0.740420800(2),[7] 0.7404207988509(8),[8][9] 0.740420798850811610(2),[10]
Пересекать, усеченная трехгексагональная (4, 6, 12)	3	3	0.746,[11] 0.750,[12] 0.747806(4),[4] 0.7478008(2)[8]	0.6937314(1),[8] 0.69373383(72),[5] 0.693733124922(2)[10]
квадратный восьмиугольник, плитка для ванной, 4-8, усеченный квадрат (4, 8^2)	3	-	0.729,[11] 0.729724(3),[4] 0.7297232(5)[8]	0.6768,[13] 0.67680232(63),[5] 0.6768031269(6),[8] 0.6768031243900113(3),[10]
соты (6^3)	3	3	0.6962(6),[14] 0.697040230(5),[8] 0.6970402(1),[15] 0.6970413(10),[16] 0.697043(3),[4]	0,652703645 ... = 1-2 греха (π / 18), 1+ п^3-3п^2=0[17]
кагоме (3, 6, 3, 6)	4	4	0,652703645 ... = 1-2 sin (π/18)[17]	0.5244053(3),[18] 0.52440516(10),[16] 0.52440499(2),[15] 0.524404978(5),[6] 0.52440572...,[19] 0.52440500(1),[7] 0.524404999173(3),[8][9] 0.524404999167439(4)[20] 0.52440499916744820(1)[10]
Рубин,[21] ромбогексагональный (3, 4, 6, 4)	4	4	0.620,[11] 0.621819(3),[4] 0.62181207(7)[8]	0.52483258(53),[5] 0.5248311(1),[8] 0.524831461573(1)[10]
квадрат (4^4)	4	4	0.59274(10),[22] 0.59274605079210(2),[20] 0.59274601(2),[8] 0.59274605095(15),[23] 0.59274621(13),[24] 0.59274621(33),[25] 0.59274598(4),[26][27] 0.59274605(3),[15] 0.593(1),[28] 0.591(1),[29]0.569(13)[30]	1/2
курносый шестиугольник, кленовый лист[31] (3^4,6)	5	5	0.579[12] 0.579498(3)[4]	0.43430621(50),[5] 0.43432764(3),[8] 0.4343283172240(6),[10]
пренебрежительный квадрат, пазл (3^2, 4, 3, 4 )	5	5	0.550,[11][32] 0.550806(3)[4]	0.41413743(46),[5] 0.4141378476(7),[8] 0.4141378565917(1),[10]
фриз, удлиненно-треугольный (3^3, 4^2)	5	5	0.549,[11] 0.550213(3),[4] 0.5502(8)[33]	0.4196(6)[33], 0.41964191(43),[5] 0.41964044(1),[8] 0.41964035886369(2) [10]
треугольная (3^6)	6	6	1/2	0,347296355 ... = 2 sin (π/18), 1 + п^3 − 3п = 0[17]

Примечание: иногда вместо сот используется «шестиугольная», хотя в некоторых областях треугольная решетка также называется шестиугольная решетка. z = масса координационный номер.

2d-решетки с расширенными и комплексными окрестностями

В этом разделе sq-1,2,3 соответствует квадрату (NN + 2NN + 3NN) ^[34]и т.д. Эквивалент квадратному-2N + 3N + 4N ^[35], кв (1,2,3)^[36]. tri = треугольная, hc = соты.

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
кв-1, кв-2, кв-3, кв-5	4	0.5927...[34][35] (квадратный сайт)
кв-1,2, кв-2,3, кв-3,5	8	0.407...[34][35][37] (квадратное соответствие)	0.25036834(6),[15] 0.2503685,[38] 0.2543684(4) [39]
кв-1,3	8	0.337[34][35]	0.2214995[38]
кв-2,5: 2NN + 5NN	8	0.337[35]
hc-1,2,3: соты-NN + 2NN + 3NN	12	0.300[36]
три-1,2: треугольный-NN + 2NN	12	0.295[36]
три-2,3: треугольный-2NN + 3NN	12	0.232020(36),[40]
кв-4: кв-4NN	8	0.270...[35]
кв-1,5: кв-НН + 5НН	8 (г ≤ 2)	0.277[35]
кв-1,2,3: квадрат-NN + 2NN + 3NN	12	0.292,[41] 0.290(5) [42] 0.289,[12]0.288,[34][35]	0.1522203[38]
кв-2,3,5: квадрат-2NN + 3NN + 5NN	12	0.288[35]
кв-1,4: кв-НН + 4НН	12	0.236[35]
кв-2,4: квадрат-2NN + 4NN	12	0.225[35]
три-4: треугольный-4НН	12	0.192450(36)[40]
три-1,2,3: треугольный-NN + 2NN + 3NN	18	0.225,[41] 0.215,[12] 0.215459(36)[40]
кв-3,4: 3NN + 4NN	12	0.221[35]
кв-1,2,5: NN + 2NN + 5NN	12	0.240[35]	0.13805374[38]
кв-1,3,5: NN + 3NN + 5NN	12	0.233[35]
кв-4,5: 4NN + 5NN	12	0.199[35]
кв-1,2,4: NN + 2NN + 4NN	16	0.219[35]
кв-1,3,4: NN + 3NN + 4NN	16	0.208[35]
кв-2,3,4: 2NN + 3NN + 4NN	16	0.202[35]
кв-1,4,5: NN + 4NN + 5NN	16	0.187[35]
кв-2,4,5: 2NN + 4NN + 5NN	16	0.182[35]
кв-3,4,5: 3NN + 4NN + 5NN	16	0.179[35]
кв-1,2,3,5: NN + 2NN + 3NN + 5NN	16	0.208[35]	0.1032177[38]
три-4,5: 4НН + 5НН	18	0.140250(36),[40]
sq-1,2,3,4: NN + 2NN + 3NN + 4NN (r≤${displaystyle {sqrt {5}}}$)	20	0.196[35] 0.196724(10)[43]	0.0841509[38]
sq-1,2,4,5: NN + 2NN + 4NN + 5NN	20	0.177[35]
sq-1,3,4,5: NN + 3NN + 4NN + 5NN	20	0.172[35]
sq-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	20	0.167[35]
sq-1,2,3,5,6: NN + 2NN + 3NN + 5NN + 6NN	20		0.0783110[38]
sq-1,2,3,4,5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN (r≤${displaystyle {sqrt {8}}}$)	24	0.164[35]
три-1,4,5: NN + 4NN + 5NN	24	0.131660(36)[40]
sq-1, ..., 6: NN + ... + 6NN (r≤3)	28	0.142[12]	0.0558493[38]
три-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	30	0.117460(36)[40]
три-1,2,3,4,5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	36	0.115,[12] 0.115740(36)[40]
sq-1, ..., 7: NN + ... + 7NN (r≤${displaystyle {sqrt {10}}}$)	36	0.113[12]	0.04169608[38]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 4	40	0.105(5)[42]
sq- (1, ..., 8: NN + .. + 8NN (r≤${displaystyle {sqrt {13}}}$)	44	0.095765(5),[43] 0.095[32]
sq-1, ..., 9: NN + .. + 9NN	48	0.086 [12]	0.02974268[38]
кв-1, ..., 11: NN + ... + 11NN	60		0.02301190(3)[38]
кв-1, ... (г ≤ 7)	148		0.008342595[39]
кв-1, ..., 32: NN + ... + 32NN	224		0.0053050415(33)[38]
sq-1, ..., 86: NN + ... + 86NN (r≤15)	708		0.001557644(4)[44]
sq-1, ..., 141: NN + ... + 141NN (r≤${displaystyle {sqrt {389}}}$)	1224		0.000880188(90)[38]
sq-1, ..., 185: NN + ... + 185NN (r≤23)	1652		0.000645458(4)[44]
sq-1, ..., 317: NN + ... + 317NN (r≤31)	3000		0.000349601(3)[44]
sq-1, ..., 413: NN + ... + 413NN (r≤${displaystyle {sqrt {1280}}}$)	4016		0.0002594722(11)[38]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 6	84	0.049(5)[42]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 8	144	0.028(5)[42]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 10	220	0.019(5)[42]
2х2 квадрата внахлест *		0.58365(2) [43]
3x3 квадрата с перекрытием *		0.59586(2) [43]

Здесь NN = ближайший сосед, 2NN = второй ближайший сосед (или следующий ближайший сосед), 3NN = третий ближайший сосед (или следующий-следующий ближайший сосед) и т.д. В некоторых статьях они также называются 2N, 3N, 4N соответственно. ^[34].

• Для квадратов внахлест ${displaystyle p_{c}}$(site) - это чистая доля занятых сайтов. ${displaystyle phi _{c}}$ аналогично ${displaystyle phi _{c}}$ в перколяции континуума. Случай системы 2 × 2 эквивалентен перколяции квадратной решетки NN + 2NN + 3NN + 4NN или sq-1,2,3,4 с порогом ${displaystyle 1-(1-phi _{c})^{1/4}=0.196724(10)ldots }$ с ${displaystyle phi _{c}=0.58365(2)}$^[43]. Система 3 × 3 соответствует кв-1,2,3,4,5,6,7,8 с z= 44 и ${displaystyle p_{c}=1-(1-phi _{c})^{1/9}=0.095765(5)ldots }$. Для более крупных перекрывающихся квадратов см. ^[43].

Приближенные формулы для порогов архимедовых решеток

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(3, 12^2 )	3
(4, 6, 12)	3
(4, 8^2)	3		0.676835..., 4п^3 + 3п^4 − 6 п^5 − 2 п^6 = 1[45]
соты (6^3)	3
кагоме (3, 6, 3, 6)	4		0.524430..., 3п^2 + 6п^3 − 12 п^4+ 6 п^5 − п^6 = 1[46]
(3, 4, 6, 4)	4
квадрат (4^4)	4		1/2 (точно)
(3^4,6 )	5		0.434371..., 12п^3 + 36п^4 − 21п^5 − 327 п^6 + 69п^7 + 2532п^8 − 6533 п^9 + 8256 п^10 − 6255п^11 + 2951п^12 − 837 п^13 + 126 п^14 − 7п^15 = 1[нужна цитата ]
курносый квадрат, пазл (3^2, 4, 3, 4 )	5
(3^3, 4^2)	5
треугольная (3^6)	6	1/2 (точно)

Перколяция связей между сайтами в 2D

Просачивание связи сайта (оба порога применяются одновременно к одной системе).

Квадратная решетка:

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
квадрат	4	4	0.615185(15)[47]	0.95
			0.667280(15)[47]	0.85
			0.732100(15)[47]	0.75
			0.75	0.726195(15)[47]
			0.815560(15)[47]	0.65
			0.85	0.615810(30)[47]
			0.95	0.533620(15)[47]

Сотовая (шестиугольная) решетка:

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
соты	3	3	0.7275(5)[48]	0.95
			0. 0.7610(5)[48]	0.90
			0.7986(5)[48]	0.85
			0.80	0.8481(5)[48]
			0.8401(5)[48]	0.80
			0.85	0.7890(5)[48]
			0.90	0.7377(5)[48]
			0.95	0.6926(5)[48]

* Дополнительные значения см. Исследование перколяции межцентровых связей^[48]

Примерная формула сотовой решетки

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог	Примечания
(6^3) соты	3	3	${displaystyle p_{b}p_{s}[1-({sqrt {p_{bc}}}/(3-p_{bc}))({sqrt {p_{b}}}-{sqrt {p_{bc}}})]=p_{bc}}$, При равенстве: ps = pб = 0.82199	приблизительная формула, пs = проблема сайта, пб = проблема облигаций, pдо н.э = 1-2 грех (π/18)[16], точно в пs=1, пб= pдо н.э.

Архимедовы двойники (решетки Лавеса)

Решетки Лавеса двойственны решеткам Архимеда. Рисунки из.^[3] Смотрите также Равномерные мозаики.

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Каир пятиугольный D (3^2,4,3,4)=(2/3)(5^3)+(1/3)(5^4)	3,4	3⅓	0.6501834(2),[8] 0.650184(5)[3]	0.585863... = 1 − пc^связь(3^2,4,3,4)
Пятиугольник D (3^3,4^2)=(1/3)(5^4)+(2/3)(5^3)	3,4	3⅓	0.6470471(2),[8] 0.647084(5),[3] 0.6471(6)[33]	0.580358... = 1 − пc^связь(3^3,4^2), 0.5800(6)[33]
D (3^4,6)=(1/5)(4^6)+(4/5)(4^3)	3,6	3 3/5	0.639447[3]	0.565694... = 1 − пc^связь(3^4,6 )
игральные кости, ромбовидная плитка D (3,6,3,6) = (1/3) (4^6) + (2/3)(4^3)	3,6	4	0.5851(4),[49] 0.585040(5)[3]	0.475595... = 1 − пc^связь(3,6,3,6 )
рубиновый двойной D (3,4,6,4) = (1/6) (4^6) + (2/6)(4^3) + (3/6)(4^4)	3,4,6	4	0.582410(5)[3]	0.475167... = 1 − пc^связь(3,4,6,4 )
Юнион Джек, квадратная черепица тетракис D (4,8^2) = (1/2)(3^4) + (1/2)(3^8)	4,8	6	1/2	0.323197... = 1 − пc^связь(4,8^2 )
разделенный пополам шестиугольник,[50] крест двойной D (4,6,12) = (1/6) (3^12)+(2/6)(3^6)+(1/2)(3^4)	4,6,12	6	1/2	0.306266... = 1 − пc^связь(4,6,12)
асаноха (лист конопли)[51] D (3, 12^2)=(2/3)(3^3)+(1/3)(3^12)	3,12	6	1/2	0.259579... = 1 − пc^связь(3, 12^2)

2-однородные решетки

Верхние 3 решетки: # 13 # 12 # 36
Нижние 3 решетки: # 34 # 37 # 11

^[2]

2 верхние решетки: # 35 # 30
Снизу 2 решетки: # 41 # 42

^[2]

4 верхних решетки: # 22 # 23 # 21 # 20
Нижние 3 решетки: # 16 # 17 # 15

^[2]

2 верхние решетки: # 31 # 32
Нижняя решетка: # 33

^[2]

#	Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
41	(1/2)(3,4,3,12) + (1/2)(3, 12^2)	4,3	3.5	0.7680(2)[52]	0.67493252(36)[нужна цитата ]
42	(1/3)(3,4,6,4) + (2/3)(4,6,12)	4,3	3​^1⁄3	0.7157(2)[52]	0.64536587(40)[нужна цитата ]
36	(1/7)(3^6) + (6/7)(3^2,4,12)	6,4	4 ​^2⁄7	0.6808(2)[52]	0.55778329(40)[нужна цитата ]
15	(2/3)(3^2,6^2) + (1/3)(3,6,3,6)	4,4	4	0.6499(2)[52]	0.53632487(40)[нужна цитата ]
34	(1/7)(3^6) + (6/7)(3^2,6^2)	6,4	4 ​^2⁄7	0.6329(2)[52]	0.51707873(70)[нужна цитата ]
16	(4/5)(3,4^2,6) + (1/5)(3,6,3,6)	4,4	4	0.6286(2)[52]	0.51891529(35)[нужна цитата ]
17	(4/5)(3,4^2,6) + (1/5)(3,6,3,6)*	4,4	4	0.6279(2)[52]	0.51769462(35)[нужна цитата ]
35	(2/3)(3,4^2,6) + (1/3)(3,4,6,4)	4,4	4	0.6221(2)[52]	0.51973831(40)[нужна цитата ]
11	(1/2)(3^4,6) + (1/2)(3^2,6^2)	5,4	4.5	0.6171(2)[52]	0.48921280(37)[нужна цитата ]
37	(1/2)(3^3,4^2) + (1/2)(3,4,6,4)	5,4	4.5	0.5885(2)[52]	0.47229486(38)[нужна цитата ]
30	(1/2)(3^2,4,3,4) + (1/2)(3,4,6,4)	5,4	4.5	0.5883(2)[52]	0.46573078(72)[нужна цитата ]
23	(1/2)(3^3,4^2) + (1/2)(4^4)	5,4	4.5	0.5720(2)[52]	0.45844622(40)[нужна цитата ]
22	(2/3)(3^3,4^2) + (1/3)(4^4)	5,4	4 ​^2⁄3	0.5648(2)[52]	0.44528611(40)[нужна цитата ]
12	(1/4)(3^6) + (3/4)(3^4,6)	6,5	5 ​^1⁄4	0.5607(2)[52]	0.41109890(37)[нужна цитата ]
33	(1/2)(3^3,4^2) + (1/2)(3^2,4,3,4)	5,5	5	0.5505(2)[52]	0.41628021(35)[нужна цитата ]
32	(1/3)(3^3,4^2) + (2/3)(3^2,4,3,4)	5,5	5	0.5504(2)[52]	0.41549285(36)[нужна цитата ]
31	(1/7)(3^6) + (6/7)(3^2,4,3,4)	6,5	5 ​^1⁄7	0.5440(2)[52]	0.40379585(40)[нужна цитата ]
13	(1/2)(3^6) + (1/2)(3^4,6)	6,5	5.5	0.5407(2)[52]	0.38914898(35)[нужна цитата ]
21	(1/3)(3^6) + (2/3)(3^3,4^2)	6,5	5 ​^1⁄3	0.5342(2)[52]	0.39491996(40)[нужна цитата ]
20	(1/2)(3^6) + (1/2)(3^3,4^2)	6,5	5.5	0.5258(2)[52]	0.38285085(38)[нужна цитата ]

Неоднородная 2-однородная решетка

2-х однородная решетка # 37

На этом рисунке показано что-то похожее на 2-однородную решетку # 37, за исключением того, что не все многоугольники правильные - вместо двух квадратов есть прямоугольник - и размер многоугольников изменен. Эта решетка находится в изорадиальном представлении, в котором каждый многоугольник вписан в круг с единичным радиусом. Два квадрата в 2-однородной решетке теперь должны быть представлены как один прямоугольник, чтобы удовлетворять изорадиальному условию. Решетка показана как черные края, двойная решетка - красными пунктирными линиями. Зеленые кружки показывают изорадиальную связь как для исходной, так и для двойственной решеток. Желтые многоугольники выделяют три типа многоугольников на решетке, а розовые многоугольники выделяют два типа многоугольников на двойной решетке. Решетка имеет типы вершин (1/2) (3³,4²) + (1/2) (3,4,6,4), а двойственная решетка имеет типы вершин (1/15) (4⁶)+(6/15)(4²,5²)+(2/15)(5³)+(6/15)(5², 4). Критическая точка - это место, где более длинные связи (как в решетке, так и в двойной решетке) имеют вероятность заполнения p = 2 sin (π / 18) = 0,347296 ... что является порогом перколяции связей на треугольной решетке, а более короткие связи имеют заполнение вероятность 1 - 2 sin (π / 18) = 0,652703 ..., которая представляет собой перколяцию связей на гексагональной решетке. Эти результаты следуют из изорадиального условия^[53] но также следуют из применения преобразования звезда-треугольник к некоторым звездам на сотовой решетке. Наконец, его можно обобщить на наличие трех различных вероятностей в трех разных направлениях, p₁, п₂ и п₃ для длинных облигаций и 1 − п₁, 1 − п₂, и 1 − п₃ для коротких облигаций, где п₁, п₂ и п₃ удовлетворяют критической поверхности неоднородной треугольной решетки.

Пороги на 2D-бабочку и решетки мартини

Слева, в центре и справа находятся решетка мартини, решетка мартини-A, решетка мартини-B. Ниже: покрытие Мартини / медиальная решетка, такая же, как подсеть 2 × 2, 1 × 1 для решеток типа кагоме (удалена).

Некоторые другие примеры обобщенных решеток-бабочек (a-d) и двойников решеток (e-h):

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
мартини (3/4) (3,9^2)+(1/4)(9^3)	3	3	0.764826..., 1 + п^4 − 3п^3 = 0[54]	0.707107... = 1/√2[55]
галстук-бабочка (с)	3,4	3 1/7		0.672929..., 1 − 2п^3 − 2п^4 − 2п^5 − 7п^6 + 18п^7 + 11п^8 − 35п^9 + 21п^10 − 4п^11 = 0[56]
галстук-бабочка (d)	3,4	3⅓		0.625457..., 1 − 2п^2 − 3п^3 + 4п^4 − п^5 = 0[56]
мартини-А (2/3) (3,7^2)+(1/3)(3,7^3)	3,4	3⅓	1/√2[56]	0.625457..., 1 − 2п^2 − 3п^3 + 4п^4 − п^5 = 0[56]
двойной галстук-бабочка (е)	3,4	3⅔		0,595482 ..., 1-пc^связь (галстук-бабочка (а))[56]
галстук-бабочка (б)	3,4,6	3⅔		0.533213..., 1 − п − 2п^3 -4p^4-4p^5+15^6+ 13p^7-36p^8+ 19p^9+ p^10 + p^11=0[56]
покрытие мартини / медиальное (1/2) (3^3,9) + (1/2)(3,9,3,9)	4	4	0.707107... = 1/√2[55]	0.57086651(33)[нужна цитата ] </ref>
мартини-B (1/2) (3,5,3,5^2) + (1/2)(3,5^2)	3, 5	4	0.618034... = 2/(1 + √5), 1- п^2 − п = 0[54][56]	1/2[55][56]
галстук-бабочка двойной (f)	3,4,8	4 2/5		0.466787..., 1 − пc^связь (галстук-бабочка (б))[56]
галстук-бабочка (а) (1/2) (3^2,4,3^2,4) + (1/2)(3,4,3)	4,6	5	0.5472(2),[33] 0.5479148(7)[57]	0.404518..., 1 − п − 6п^2 + 6п^3 − п^5 = 0[58][56]
галстук-бабочка двойной (h)	3,6,8	5		0.374543..., 1 − пc^связь(галстук-бабочка (д))[56]
галстук-бабочка двойной (g)	3,6,10	5½	0,547 ... = pc^сайт(галстук-бабочка (а))	0.327071..., 1 − пc^связь(галстук-бабочка (с))[56]
мартини двойной (1/2) (3^3) + (1/2)(3^9)	3,9	6	1/2	0.292893... = 1 − 1/√2[55]

Пороги на 2D покрывающих, медиальных и согласующих решетках

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(4, 6, 12) покрытие / медиальное	4	4	пc^связь(4, 6, 12) = 0.693731...	0.5593140(2),[8] 0.559315(1)[нужна цитата ]
(4, 8^2) покрытие / медиальное, квадратное кагоме	4	4	пc^связь(4,8^2) = 0.676803...	0.544798017(4),[8] 0.54479793(34)[нужна цитата ]
(3^4, 6) медиальный	4	4		0.5247495(5)[8]
(3,4,6,4) медиальный	4	4		0.51276[8]
(3^2, 4, 3, 4) медиальный	4	4		0.512682929(8)[8]
(3^3, 4^2) медиальный	4	4		0.5125245984(9)[8]
квадратное покрытие (неплоское)	6	6	1/2	0.3371(1)[59]
квадратная согласующая решетка (неплоская)	8	8	1 − пc^сайт(квадрат) = 0,407253 ...	0.25036834(6)[15]

(4, 6, 12) покрытие / медиальная решетка

(4, 8²) покрытие / медиальная решетка

(3,12²) покрывающая / медиальная решетка (светло-серым цветом), эквивалентная подсети кагоме (2 × 2), а черным цветом - двойственная к этим решеткам.

(слева) (3,4,6,4) покрывающая / медиальная решетка, (справа) (3,4,6,4) медиальная двойственная, показана красным цветом, с медиальной решеткой светло-серого цвета позади нее. Рисунок слева появляется в иранской плитке. ^[60] на Западная гробница, Харракан.

Пороги на двумерных химерных неплоских решетках

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
К (2,2)	4	4	0.51253(14)[61]	0.44778(15)[61]
К (3,3)	6	6	0.43760(15)[61]	0.35502(15)[61]
К (4,4)	8	8	0.38675(7)[61]	0.29427(12)[61]
К (5,5)	10	10	0.35115(13)[61]	0.25159(13)[61]
К (6,6)	12	12	0.32232(13)[61]	0.21942(11)[61]
К (7,7)	14	14	0.30052(14)[61]	0.19475(9)[61]
К (8,8)	16	16	0.28103(11)[61]	0.17496(10)[61]

Пороги на решетках подсетей

Решетки кагоме подсети 2 x 2, 3 x 3 и 4 x 4. Подсеть 2 × 2 также известна как «треугольная решетка кагоме».^[62]

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
шахматная доска - подсеть 2 × 2	4,3			0.596303(1)[63]
шахматная доска - подсеть 4 × 4	4,3			0.633685(9)[63]
шахматная доска - подсеть 8 × 8	4,3			0.642318(5)[63]
шахматная доска - подсеть 16 × 16	4,3			0.64237(1)[63]
шахматная доска - подсеть 32 × 32	4,3			0.64219(2)[63]
шахматная доска - ${displaystyle infty }$ подсеть	4,3			0.642216(10)[63]
кагоме - подсеть 2 × 2 = (3, 12^2) покрытие / медиальное	4		пc^связь (3, 12^2) = 0.74042077...	0.600861966960(2),[8] 0.6008624(10),[16] 0.60086193(3)[6]
кагоме - подсеть 3 × 3	4			0.6193296(10),[16] 0.61933176(5),[6] 0.61933044(32)[нужна цитата ]
кагоме - подсеть 4 × 4	4			0.625365(3),[16] 0.62536424(7)[6]
кагоме - ${displaystyle infty }$ подсеть	4			0.628961(2)[16]
кагоме - (1 × 1) :( 2 × 2) подсеть = покрытие мартини / медиальное	4		пc^связь(мартини) = 1 /√2 = 0.707107...	0.57086648(36)[нужна цитата ]
кагоме - (1 × 1) :( 3 × 3) подсеть	4,3		0.728355596425196...[6]	0.58609776(37)[нужна цитата ]
кагоме - (1 × 1) :( 4 × 4) подсеть			0.738348473943256...[6]
кагоме - (1 × 1) :( 5 × 5) подсеть			0.743548682503071...[6]
кагоме - (1 × 1) :( 6 × 6) подсеть			0.746418147634282...[6]
кагоме - (2 × 2) :( 3 × 3) подсеть				0.61091770(30)[нужна цитата ]
треугольная - подсеть 2 × 2	6,4			0.471628788[63]
треугольная - подсеть 3 × 3	6,4			0.509077793[63]
треугольная - подсеть 4 × 4	6,4			0.524364822[63]
треугольная - подсеть 5 × 5	6,4			0.5315976(10)[63]
треугольный - ${displaystyle infty }$ подсеть	6,4			0.53993(1)[63]

Пороги случайных последовательно адсорбированных объектов

(Дополнительные результаты и сравнение с плотностью заклинивания см. Случайная последовательная адсорбция )

система	z	Порог сайта
димеры на сотовой решетке	3	0.69,[64] 0.6653 [65]
димеры на треугольной решетке	6	0.4872(8),[64] 0.4873,[65] 0.5157(2) [66]
линейные 4-меры на треугольной решетке	6	0.5220(2)[66]
линейные 8-меры на треугольной решетке	6	0.5281(5)[66]
линейные 12-меры на треугольной решетке	6	0.5298(8)[66]
линейные 16-меры на треугольной решетке	6	0.5328(7)[66]
линейные 32-меры на треугольной решетке	6	0.5407(6)[66]
линейные 64-меры на треугольной решетке	6	0.5455(4)[66]
линейные 80-меры на треугольной решетке	6	0.5500(6)[66]
линейный k ${displaystyle longrightarrow infty }$ на треугольной решетке	6	0.582(9)[66]
димеры и 5% примесей, треугольная решетка	6	0.4832(7)[67]
параллельные димеры на квадратной решетке	4	0.5863[68]
димеры на квадратной решетке	4	0.5617,[68] 0.5618(1),[69] 0.562,[70] 0.5713[65]
линейные 3-меры на квадратной решетке	4	0.528[70]
3-х позиционный угол 120 °, 5% примесей, треугольная решетка	6	0.4574(9)[67]
Трехузельные треугольники, 5% примесей, треугольная решетка	6	0.5222(9)[67]
линейные тримеры и 5% примесей, треугольная решетка	6	0.4603(8)[67]
линейные 4-меры на квадратной решетке	4	0.504[70]
линейные 5-меры на квадратной решетке	4	0.490[70]
линейные 6-меры на квадратной решетке	4	0.479[70]
линейные 8-меры на квадратной решетке	4	0.474,[70] 0.4697(1)[69]
линейные 10-меры на квадратной решетке	4	0.469[70]
линейные 16-меры на квадратной решетке	4	0.4639(1)[69]
линейные 32-меры на квадратной решетке	4	0.4747(2)[69]

Порог дает долю площадок, занятых объектами, когда происходит перколяция сайтов впервые (не при полной блокировке). Для более длинных димеров см. Ref. ^[71]

Пороги полных димерных покрытий двумерных решеток

Здесь мы имеем дело с сетками, которые получаются путем покрытия решетки димерами, а затем рассматриваем перколяцию связей на оставшихся связях. В дискретной математике эта проблема известна как проблема «идеального согласования» или «димерного покрытия».

система	z	Порог бонда
Параллельное покрытие, квадратная решетка	6	0.381966...[72]
Сдвинутое покрытие, квадратная решетка	6	0.347296...[72]
Ступенчатое покрытие, квадратная решетка	6	0.376825(2)[72]
Случайное покрытие, квадратная решетка	6	0.367713(2)[72]
Параллельное покрытие, треугольная решетка	10	0.237418...[72]
Ступенчатое покрытие, треугольная решетка	10	0.237497(2)[72]
Случайное покрытие, треугольная решетка	10	0.235340(1)[72]

Пороги полимеров (случайных блужданий) на квадратной решетке

Система состоит из обычных (не избегающих) случайных блужданий длины l по квадратной решетке.^[73]

л (длина полимера)	z	Просачивание облигаций
1	4	0,5 (точно)[74]
2	4	0.47697(4)[74]
4	4	0.44892(6)[74]
8	4	0.41880(4)[74]

Пороги самоизбегающих блужданий длины k, добавленные случайной последовательной адсорбцией

k	z	Пороги сайта	Связанные пороги
1	4	0.593(2)[75]	0.5009(2)[75]
2	4	0.564(2)[75]	0.4859(2)[75]
3	4	0.552(2)[75]	0.4732(2)[75]
4	4	0.542(2)[75]	0.4630(2)[75]
5	4	0.531(2)[75]	0.4565(2)[75]
6	4	0.522(2)[75]	0.4497(2)[75]
7	4	0.511(2)[75]	0.4423(2)[75]
8	4	0.502(2)[75]	0.4348(2)[75]
9	4	0.493(2)[75]	0.4291(2)[75]
10	4	0.488(2)[75]	0.4232(2)[75]
11	4	0.482(2)[75]	0.4159(2)[75]
12	4	0.476(2)[75]	0.4114(2)[75]
13	4	0.471(2)[75]	0.4061(2)[75]
14	4	0.467(2)[75]	0.4011(2)[75]
15	4	0.4011(2)[75]	0.3979(2)[75]

Пороги на двумерных неоднородных решетках.

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
галстук-бабочка с p = 1/2 на одной недиагональной связке	3		0.3819654(5),[76] ${displaystyle (3-{sqrt {5}})/2}$[45]

Пороги для 2D-моделей континуума

Проникновение 2D континуума дисками

Перколяция 2D континуума эллипсами с соотношением сторон 2

Система	Φc	ηc	пc
Диски радиуса r	0.67634831(2),[77] 0.6763475(6),[78] 0.676339(4),[79] 0.6764(4),[80] 0.6766(5),[81] 0.676(2),[82] 0.679,[83] 0.674[84] 0.676,[85]	1.12808737(6),[77] 1.128085(2),[78] 1.128059(12),[79] 1.13,[86] 0.8[87]	1.43632545(8),[77] 1.436322(2),[78] 1.436289(16),[79] 1.436320(4),[88] 1.436323(3),[89] 1.438(2),[90] 1.216 (48)[91]
Эллипсы, ε = 1,5	0.0043[83]	0.00431	2.059081(7)[89]
Эллипсы, ε = 5/3	0.65[92]	1.05[92]	2.28[92]
Эллипсы, соотношение сторон ε = 2	0.6287945(12),[89] 0.63[92]	0.991000(3),[89] 0.99[92]	2.523560(8),[89] 2.5[92]
Эллипсы, ε = 3	0.56[92]	0.82[92]	3.157339(8),[89] 3.14[92]
Эллипсы, ε = 4	0.5[92]	0.69[92]	3.569706(8),[89] 3.5[92]
Эллипсы, ε = 5	0.455,[83] 0.455,[85] 0.46[92]	0.607[83]	3.861262(12),[89] 3.86[83]
Эллипсы, ε = 10	0.301,[83] 0.303,[85] 0.30[92]	0.358[83] 0.36[92]	4.590416(23)[89] 4.56,[83] 4.5[92]
Эллипсы, ε = 20	0.178,[83] 0.17[92]	0.196[83]	5.062313(39),[89] 4.99[83]
Эллипсы, ε = 50	0.081[83]	0.084[83]	5.393863(28),[89] 5.38[83]
Эллипсы, ε = 100	0.0417[83]	0.0426[83]	5.513464(40),[89] 5.42[83]
Эллипсы, ε = 200	0.021[92]	0.0212[92]	5.40[92]
Эллипсы, ε = 1000	0.0043[83]	0.00431	5.624756(22),[89] 5.5
Суперэллипсы, ε = 1, m = 1,5	0.671[85]
Суперэллипсы, ε = 2,5, m = 1,5	0.599[85]
Суперэллипсы, ε = 5, m = 1,5	0.469[85]
Суперэллипсы, ε = 10, m = 1,5	0.322[85]
диско-прямоугольники, ε = 1,5			1.894 [88]
диско-прямоугольники, ε = 2			2.245 [88]
Выровненные квадраты стороны ${displaystyle ell }$	0.66675(2),[43] 0.66674349(3),[77] 0.66653(1),[93] 0.6666(4),[94] 0.668[84]	1.09884280(9),[77] 1.0982(3),[93] 1.098(1)[94]	1.09884280(9),[77] 1.0982(3),[93] 1.098(1)[94]
Случайно ориентированные квадраты	0.62554075(4),[77] 0.6254(2)[94] 0.625,[85]	0.9822723(1),[77] 0.9819(6)[94] 0.982278(14)[95]	0.9822723(1),[77] 0.9819(6)[94] 0.982278(14)[95]
Прямоугольники, ε = 1,1	0.624870(7)	0.980484(19)	1.078532(21)[95]
Прямоугольники, ε = 2	0.590635(5)	0.893147(13)	1.786294(26)[95]
Прямоугольники, ε = 3	0.5405983(34)	0.777830(7)	2.333491(22)[95]
Прямоугольники, ε = 4	0.4948145(38)	0.682830(8)	2.731318(30)[95]
Прямоугольники, ε = 5	0.4551398(31), 0.451[85]	0.607226(6)	3.036130(28)[95]
Прямоугольники, ε = 10	0.3233507(25), 0.319[85]	0.3906022(37)	3.906022(37)[95]
Прямоугольники, ε = 20	0.2048518(22)	0.2292268(27)	4.584535(54)[95]
Прямоугольники, ε = 50	0.09785513(36)	0.1029802(4)	5.149008(20)[95]
Прямоугольники, ε = 100	0.0523676(6)	0.0537886(6)	5.378856(60)[95]
Прямоугольники, ε = 200	0.02714526(34)	0.02752050(35)	5.504099(69)[95]
Прямоугольники, ε = 1000	0.00559424(6)	0.00560995(6)	5.609947(60)[95]
Палки длины ${displaystyle ell }$			5.6372858(6),[77] 5.63726(2),[96] 5.63724(18) [97]
Диски степенные, x = 2,05	0.993(1)[98]	4.90(1)	0.0380(6)
Диски степенного закона, x = 2,25	0.8591(5)[98]	1.959(5)	0.06930(12)
Диски степенные, Икс = 2.5	0.7836(4)[98]	1.5307(17)	0.09745(11)
Диски степенные, Икс = 4	0.69543(6)[98]	1.18853(19)	0.18916(3)
Диски степенные, Икс = 5	0.68643(13)[98]	1.1597(3)	0.22149(8)
Диски степенные, Икс = 6	0.68241(8)[98]	1.1470(1)	0.24340(5)
Диски степенного закона, x = 7	0.6803(8)[98]	1.140(6)	0.25933(16)
Диски степенного закона, x = 8	0.67917(9)[98]	1.1368(5)	0.27140(7)
Диски степенные, Икс = 9	0.67856(12)[98]	1.1349(4)	0.28098(9)
Пустоты вокруг дисков радиуса р	1 - Φc(диск) = 0,32355169 (2),[77] 0.318(2),[99] 0.3261(6)[100]

${displaystyle eta _{c}=pi r^{2}N/L^{2}}$ равна критической общей площади для дисков, где N - количество объектов, а L - размер системы.

${displaystyle 4eta _{c}}$ дает количество центров диска в пределах круга влияния (радиус 2 r).

${displaystyle r_{c}=L{sqrt {frac {eta _{c}}{pi N}}}}$ - критический радиус диска.

${displaystyle eta _{c}=pi abN/L^{2}}$ для эллипсов большой и малой полуосей a и b соответственно. Соотношение сторон ${displaystyle epsilon =a/b}$ с ${displaystyle a>b}$.

${displaystyle eta _{c}=ell mN/L^{2}}$ для прямоугольников размеров ${displaystyle ell }$ и ${displaystyle m}$. Соотношение сторон ${displaystyle epsilon =ell /m}$ с ${displaystyle ell >m}$.

${displaystyle eta _{c}=pi xN/(4L^{2}(x-2))}$ для степенных распределенных дисков с ${displaystyle {hbox{Prob(radius}}geq R)=R^{-x}}$, ${displaystyle Rgeq 1}$.

${displaystyle phi _{c}=1-e^{-eta _{c}}}$ равна доле критической площади.

${displaystyle n_{c}=ell ^{2}N/L^{2}}$ равно количеству объектов максимальной длины ${displaystyle ell =2a}$ на единицу площади.

Для эллипсов ${displaystyle n_{c}=(4epsilon /pi )eta _{c}}$

Для просачивания пустот ${displaystyle phi _{c}=e^{-eta _{c}}}$ - критическая паросодержащая доля.

Дополнительные значения эллипсов см. ^[92][89]

Для получения дополнительных значений прямоугольника см. ^[95]

И эллипсы, и прямоугольники принадлежат суперэллипсам, причем ${displaystyle |x/a|^{2m}+|y/b|^{2m}=1}$. Дополнительные значения перколяции суперэллипсов см. ^[85].

Для систем монодисперсных частиц пороги перколяции супердисков вогнутой формы получены, как показано на ^[101]

Для бинарных дисперсий дисков см. ^{[102][78][103]}

Пороги на двумерных случайных и квазирешетках

Диаграмма Вороного (сплошные линии) и двойственная к ней триангуляция Делоне (пунктирные линии) для распределение Пуассона очков

Триангуляция Делоне

Покрытие Вороного или линейный график (пунктирные красные линии) и диаграмма Вороного (черные линии)

График относительного соседства (черные линии)^[104] наложено на триангуляцию Делоне (черные плюс серые линии).

Граф Габриэля, подграф триангуляции Делоне, в котором окружность, окружающая каждое ребро, не охватывает другие точки графа

Равномерная бесконечная плоская триангуляция, показывающая кластеры связей. Из^[105]

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Граф относительного соседства		2.5576	0.796(2)[104]	0.771(2)[104]
Мозаика Вороного	3		0.71410(2),[106] 0.7151*[52]	0.68,[107] 0.666931(5),[106] 0.6670(1)[108]
Покрытие Вороного / медиальное	4		0.666931(2)[106][108]	0.53618(2)[106]
Рандомизированный кагоме / квадрат-восьмиугольник, фракция r = 1/2	4		0.6599[13]
Двойной ромб Пенроуза	4		0.6381(3)[49]	0.5233(2)[49]
Габриэль граф		4	0.6348(8),[109] 0.62[110]	0.5167(6),[109] 0.52[110]
Тесселяция случайных линий, двойная		4	0.586(2)[111]
Ромб Пенроуза		4	0.5837(3),[49] 0.58391(1)[112]	0.4770(2)[49]
Восьмиугольная решетка, «химические» звенья (Мозаика Амманна – Бенкера )		4	0.585[113]	0.48[113]
Восьмиугольная решетка, «ферромагнитные» звенья		5.17	0.543[113]	0.40[113]
Додекагональная решетка, «химические» звенья		3.63	0.628[113]	0.54[113]
Додекагональная решетка, «ферромагнитные» звенья		4.27	0.617[113]	0.495[113]
Триангуляция Делоне		6	1/2[114]	0.333069(2),[106] 0.3333(1)[108]
Равномерная бесконечная планарная триангуляция[115]		6	1/2	(2√3 – 1)/11 ≈ 0.2240[105][116]

* Теоретическая оценка

Пороги для двумерных коррелированных систем

Предполагая степенные корреляции ${displaystyle C(r)sim |r|^{-alpha }}$

решетка	α	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
квадрат	3	0.561406(4)[117]
квадрат	2	0.550143(5)[117]
квадрат	0.1	0.508(4)[117]

Пороги на плиты

час толщина плиты, час × ∞ × ∞. Граничные условия (b.c.) относятся к верхней и нижней плоскостям плиты.

Решетка	час	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
простой кубический (открыть b.c.)	2	5	5	0.47424,[118] 0.4756[119]
скрытая копия (открыть b.c.)	2			0.4155[119]
hcp (открыть b.c.)	2			0.2828[119]
алмаз (открыть b.c.)	2			0.5451[119]
простая кубическая (открытая b.c.)	3			0.4264[119]
bcc (открытый b.c.)	3			0.3531[119]
bcc (периодический b.c.)	3				0.21113018(38)[120]
hcp (открытый b.c.)	3			0.2548[119]
алмаз (открытый b.c.)	3			0.5044[119]
простая кубическая (открытая b.c.)	4			0.3997,[118] 0.3998[119]
bcc (открытый b.c.)	4			0.3232[119]
bcc (периодический b.c.)	4				0.20235168(59)[120]
hcp (открытый b.c.)	4			0.2405[119]
алмаз (открытый b.c.)	4			0.4842[119]
простая кубическая (периодическая д.к.)	5	6	6		0.278102(5)[120]
простая кубическая (открытая b.c.)	6			0.3708[119]
простая кубическая (периодическая д.к.)	6	6	6		0.272380(2)[120]
bcc (открытый b.c.)	6			0.2948[119]
hcp (открытый b.c.)	6			0.2261[119]
алмаз (открытый b.c.)	6			0.4642[119]
простая кубическая (периодическая д.к.)	7	6	6	0.3459514(12)[120]	0.268459(1)[120]
простая кубическая (открытая b.c.)	8			0.3557,[118] 0.3565[119]
простая кубическая (периодическая д.к.)	8	6	6		0.265615(5)[120]
bcc (открытый b.c.)	8			0.2811[119]
hcp (открытый b.c.)	8			0.2190[119]
алмаз (открытый b.c.)	8			0.4549[119]
простая кубическая (открытая b.c.)	12			0.3411[119]
bcc (открытый b.c.)	12			0.2688[119]
hcp (открытый b.c.)	12			0.2117[119]
алмаз (открытый b.c.)	12			0.4456[119]
простая кубическая (открытая b.c.)	16			0.3219,[118] 0.3339[119]
bcc (открытый b.c.)	16			0.2622[119]
hcp (открытый b.c.)	16			0.2086[119]
алмаз (открытый b.c.)	16			0.4415[119]
простая кубическая (открытая b.c.)	32			0.3219,[118]
простая кубическая (открытая b.c.)	64			0.3165,[118]
простая кубическая (открытая b.c.)	128			0.31398,[118]

Пороги на 3D решетках

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	коэффициент заполнения *	фракция наполнения *	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(10,3) -оксид (или сайт-связь)[121]	2^3 3^2	2.4			0.748713(22)[121]	= (пc, облигация(10,3) – а)^1/2 = 0.742334(25)[122]
(10,3) -b оксид (или сайт-связь)[121]	2^3 3^2	2.4	0.233[123]	0.174	0.745317(25)[121]	= (пc, облигация(10,3) – б)^1/2 = 0.739388(22)[122]
диоксид кремния (алмазная связь)[121]	4,2^2	2 ⅔			0.638683(35)[121]
Модифицированный (10,3) -b[124]	3^2,2	2 ⅔				0.627[124]
(8,3) -а[122]	3	3			0.577962(33)[122]	0.555700(22)[122]
(10,3) -а[122] гироид[125]	3	3			0.571404(40)[122]	0.551060(37)[122]
(10,3) -b[122]	3	3			0.565442(40)[122]	0.546694(33)[122]
кубический оксид (кубический сайт-связь)[121]	6,2^3	3.5			0.524652(50)[121]
bcc двойной		4			0.4560(6)[126]	0.4031(6)[126]
лед Я	4	4	π √3 / 16 = 0.340087	0.147	0.433(11)[127]	0.388(10)[128]
алмаз (Ice Ic)	4	4	π √3 / 16 = 0.340087	0.1462332	0.4299(8),[129] 0.4299870(4),[130] 0.426(+0.08,–0.02),[131] 0.4297(4) [132] 0.4301(4),[133]0.428(4),[134]0.425(15),[135]0.425,[36][41]0.436(12),[127]	0.3895892(5),[130] 0.3893(2),[133] 0.3893(3),[132] 0.388(5),[135] 0.3886(5),[129]0.388(5)[134]0.390(11),[128]
алмаз двойной		6 2/3			0.3904(5)[126]	0.2350(5)[126]
3D кагомэ (покрывающий граф алмазной решетки)	6		π √2 / 12 = 0.37024	0.1442	0.3895(2)[136] = pc(сайт) для алмазного двойного и pc(связка) для алмазной решетки[126]	0.2709(6)[126]
Двойной галстук-бабочка		5⅓			0.3480(4)[33]	0.2853(4)[33]
соты	5	5			0.3701(2)[33]	0.3093(2)[33]
восьмиугольный стек двойной	5	5			0.3840(4)[33]	0.3168(4)[33]
пятиугольная стопка		5⅓			0.3394(4)[33]	0.2793(4)[33]
стек кагоме	6	6	0.453450	0.1517	0.3346(4)[33]	0.2563(2)[33]
fcc двойной	4^2,8	5 1/3			0.3341(5)[126]	0.2703(3)[126]
простой кубический	6	6	π / 6 = 0,5235988	0.1631574	0.307(10),[135] 0.307,[36] 0.3115(5),[137] 0.3116077(2),[138] 0.311604(6),[139] 0.311605(5),[140]0.311600(5),[141]0.3116077(4),[142]0.3116081(13),[143]0.3116080(4),[144] 0.3116060(48),[145] 0.3116004(35),[146]0.31160768(15)[130]	0.247(5),[135] 0.2479(4),[129] 0.2488(2),[147] 0.24881182(10),[138] 0.2488125(25),[148] 0.2488126(5),[149]
двойной hcp	4^4,8^2	5 1/3			0.3101(5)[126]	0.2573(3)[126]
стопка костей	5,8	6	π √3 / 9 = 0.604600	0.1813	0.2998(4)[33]	0.2378(4)[33]
стопка галстуков	7	7			0.2822(6)[33]	0.2092(4)[33]
Сложенный треугольник / простой шестиугольник	8	8			0.26240(5),[150] 0.2625(2),[151] 0.2623(2)[33]	0.18602(2),[150] 0.1859(2)[33]
восьмиугольный стек	6,10	8			0.2524(6)[33]	0.1752(2)[33]
скрытая копия	8	8			0.243(10),[135] 0.243,[36] 0.2459615(10),[144] 0.2460(3),[152] 0.2464(7),[129] 0.2458(2)[133]	0.178(5),[135] 0.1795(3),[129] 0.18025(15),[147] 0.1802875(10),[149]
простой кубический с 3NN (то же, что и bcc)	8	8			0.2455(1)[153], 0.2457(7)[154]
fcc	12	12	π / (3 √2) = 0.740480	0.147530	0.195,[36] 0.198(3),[155] 0.1998(6),[129] 0.1992365(10),[144] 0.19923517(20),[130] 0.1994(2)[133]	0.1198(3)[129] 0.1201635(10)[149]
hcp	12	12	π / (3 √2) = 0.740480	0.147545	0.195(5),[135] 0.1992555(10)[156]	0.1201640(10)[156] 0.119(2)[135]
Ла2-х SrИкс Cu O4	12	12			0.19927(2)[157]
простой кубический с 2NN (то же, что и fcc)	12	12			0.1991(1)[153]
простой кубический с NN + 4NN	12	12			0.15040(12)[158]	0.1068263(7)[159]
простой кубический с 3NN + 4NN	14	14			0.20490(12)[158]	0.1012133(7)[159]
bcc NN + 2NN (= сбн (3,4) сбн-3NN + 4NN)	14	14			0.175,[36] 0.1686(20)[160]	0.0991(5)[160]
Волокна нанотрубок на FCC	14	14			0.1533(13)[161]
простой кубический с NN + 3NN	14	14			0.1420(1)[153]	0.0920213(7)[159]
простой кубический с 2NN + 4NN	18	18			0.15950(12)[158]	0.0751589(9)[159]
простой кубический с NN + 2NN	18	18			0.137,[41] 0.136[162] 0.1372(1),[153] 0.13735(5)[нужна цитата ]	0.0752326(6) [159]
ГЦК с NN + 2NN (= sc-2NN + 4NN)	18	18			0.136[36]
простой кубический с корреляцией малой длины	6+	6+			0.126(1)[163]
простой кубический с NN + 3NN + 4NN	20	20			0.11920(12)[158]	0.0624379(9)[159]
простой кубический с 2NN + 3NN	20	20			0.1036(1)[153]	0.0629283(7)[159]
простой кубический с NN + 2NN + 4NN	24	24			0.11440(12)[158]	0.0533056(6)[159]
простой кубический с 2NN + 3NN + 4NN	26	26			0.11330(12)[158]	0.0474609(9)
простой кубический с NN + 2NN + 3NN	26	26			0.097,[36] 0.0976(1),[153] 0.0976445(10)[нужна цитата ]	0.0497080(10)[159]
bcc с NN + 2NN + 3NN	26	26			0.095[41]
простой кубический с NN + 2NN + 3NN + 4NN	32	32			0.10000(12)[158]	0.0392312(8)[159]
ГЦК с NN + 2NN + 3NN	42	42			0.061,[41] 0.0610(5)[162]
ГЦК с NN + 2NN + 3NN + 4NN	54	54			0.0500(5)[162]

Коэффициент заполнения = доля пространства, заполненного касанием сфер в каждом узле решетки (только для систем с равномерной длиной соединения). Также называемый Фактор атомной упаковки.

Фракция заполнения (или критическая фракция заполнения) = коэффициент заполнения * p_c(сайт).

NN = ближайший сосед, 2NN = следующий ближайший сосед, 3NN = следующий-следующий-ближайший сосед и т. Д.

Вопрос: пороги связи для решеток ГПУ и ГЦК совпадают в пределах небольшой статистической ошибки. Идентичны ли они, и если нет, то как далеко они друг от друга? Какой порог будет больше? Аналогично для ледяной и алмазной решеток. Видеть ^[164]

Система	полимер Φc
перколяция исключенного объема атермальной полимерной матрицы (модель флуктуаций связи на кубической решетке)	0.4304(3)[165]

Перколяция димеров в 3D

Система	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Простая кубическая		0.2555(1)[166]

Пороги для трехмерных моделей континуума

Все перекрытия, кроме заклинивавших сфер и полимерной матрицы.

Система	Φc	ηc
Сферы радиуса r	0.289,[167] 0.293,[168] 0.286,[169] 0.295.[84] 0.2895(5),[170] 0.28955(7),[171] 0.2896(7),[172] 0.289573(2),[173] 0.2896,[174] 0.2854[175]	0.3418(7),[170] 0.341889(3),[173] 0.3360,[175] 0.34189(2),[93] [исправлено]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 4/3	0.2831[175]	0.3328[175]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 3/2	0.2757,[174] 0.2795[175]	0.3278[175]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 2	0.2537,[174] 0.2629[175]	0.3050[175]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 2	0.2537,[174] 0.2618,[175] 0.25(2)[176]	0.3035,[175] 0.29(3)[176]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 3	0.2289[175]	0.2599[175]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 3	0.2033,[174] 0.2244,[175] 0.20(2)[176]	0.2541,[175] 0.22(3)[176]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 4	0.2003[175]	0.2235[175]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 4	0.1901,[175] 0.16(2)[176]	0.2108,[175] 0.17(3)[176]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 5	0.1757[175]	0.1932[175]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 5	0.1627,[175] 0.13(2)[176]	0.1776,[175] 0.15(2)[176]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 10	0.0895,[174] 0.1058[175]	0.1118[175]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 10	0.0724,[174] 0.08703,[175] 0.07(2)[176]	0.09105,[175] 0.07(2)[176]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 100	0.01248[175]	0.01256[175]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 100	0.006949[175]	0.006973[175]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 1000	0.001275[175]	0.001276[175]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 2000	0.000637[175]	0.000637[175]
Сфероцилиндры с H / D = 1	0.2439(2)[172]
Сфероцилиндры с H / D = 4	0.1345(1)[172]
Сфероцилиндры с H / D = 10	0.06418(20)[172]
Сфероцилиндры с H / D = 50	0.01440(8)[172]
Сфероцилиндры с H / D = 100	0.007156(50)[172]
Сфероцилиндры с H / D = 200	0.003724(90)[172]
Выровненные цилиндры	0.2819(2)[177]	0.3312(1)[177]
Выровненные кубики стороны ${displaystyle ell =2a}$	0.2773(2)[94] 0.27727(2),[43] 0.27730261(79)[145]	0.3247(3),[93] 0.3248(3),[94] 0.32476(4)[177] 0.324766(1)[145]
Случайно ориентированные икосаэдры		0.3030(5)[178]
Случайно ориентированные додекаэдры		0.2949(5)[178]
Случайно ориентированные октаэдры		0.2514(6)[178]
Случайно ориентированные кубики стороны ${displaystyle ell =2a}$	0.2168(2)[94] 0.2174,[174]	0.2444(3),[94] 0.2443(5)[178]
Случайно ориентированные тетраэдры		0.1701(7)[178]
Случайно ориентированные диски радиуса r (в 3D)		0.9614(5)[179]
Случайно ориентированные квадратные пластины стороны ${displaystyle {sqrt {pi }}r}$		0.8647(6)[179]
Случайно ориентированные треугольные пластины стороны ${displaystyle {sqrt {2pi }}/3^{1/4}r}$		0.7295(6)[179]
Пустоты вокруг дисков радиуса r		22.86(2)[180]
Пустоты вокруг сплюснутых эллипсоидов с большим радиусом r и соотношением сторон 10		15.42(1)[180]
Пустоты вокруг сплюснутых эллипсоидов с большим радиусом r и соотношением сторон 2		6.478(8)[180]
Пустоты вокруг полушарий	0.0455(6)[181]
Пустоты вокруг выровненных тетраэдров	0.0605(6)[182]
Пустоты вокруг повернутых тетраэдров	0.0605(6)[182]
Пустоты вокруг выровненных кубов	0.036(1),[43] 0.0381(3)[182]
Пустоты вокруг вращающихся кубов	0.0381(3)[182]
Пустоты вокруг ориентированных октаэдров	0.0407(3)[182]
Пустоты вокруг повернутых октаэдров	0.0398(5)[182]
Пустоты вокруг выровненных додекаэдров	0.0356(3)[182]
Пустоты вокруг повернутых додекаэдров	0.0360(3)[182]
Пустоты вокруг выровненных икосаэдров	0.0346(3)[182]
Пустоты вокруг повернутых икосаэдров	0.0336(7)[182]
Пустоты вокруг сфер	0.034(7),[183] 0.032(4),[184] 0.030(2),[99] 0.0301(3),[185] 0.0294,[186] 0.0300(3),[187] 0.0317(4),[188] 0.0308(5)[181] 0.0301(1)[182]	3.506(8),[187] 3.515(6)[180]
Застрявшие сферы (в среднем z = 6)	0.183(3),[189] 0.1990,[190] см. также контактную сеть застрявших сфер	0.59(1)[189]

${displaystyle eta _{c}=(4/3)pi r^{3}N/L^{3}}$ - общий объем (для сфер), где N - количество объектов, а L - размер системы.

${displaystyle phi _{c}=1-e^{-eta _{c}}}$ - критическая объемная доля.

Для дисков и тарелок это эффективные объемы и объемные доли.

Для void (модель "Swiss-Cheese"), ${displaystyle phi _{c}=e^{-eta _{c}}}$ - критическая паросодержащая доля.

Дополнительные результаты по перколяции пустот вокруг эллипсоидов и эллиптических пластин см. ^[180].

Дополнительные значения перколяции эллипсоида см. ^[175].

Для сфероцилиндров H / D - это отношение высоты к диаметру цилиндра, который затем закрывается полусферами. Дополнительные значения приведены в.^[172]

Для супершаров m - параметр деформации, значения перколяции приведены в.,^[191][192] Кроме того, определены пороги супершаров вогнутой формы. ^[101]

Для кубовидных частиц (суперэллипсоидов) m - параметр деформации, другие значения перколяции приведены в.^[174]

Пороги на трехмерных случайных и квазирешетках

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Контактная сеть упакованных сфер		6	0.310(5),[189] 0.287(50),[193] 0.3116(3),[190]
Тесселяция в случайной плоскости, двойная		6	0.290(7)[194]
Икосаэдр Пенроуза		6	0.285[195]	0.225[195]
Пенроуз с двумя диагоналями		6.764	0.271[195]	0.207[195]
Пенроуз с 8 диагоналями		12.764	0.188[195]	0.111[195]
Сеть Вороного		15.54	0.1453(20)[160]	0.0822(50)[160]

Пороги трехмерной коррелированной перколяции

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Сверление перколяции, простая кубическая решетка	6	6	*0.633965(15),[196] 0.6339(5) ,[197] 6345(3)[198]

• При бурении перколяции p - это доля столбцов, которые не были удалены.

Пороги в разных размерных пространствах

Модели Continuum в высших измерениях

d	Система	Φc	ηc
4	Перекрывающиеся гиперсферы	0.1223(4)[93]	0.1304(5)[93]
4	Выровненные гиперкубы	0.1132(5),[93] 0.1132348(17) [145]	0.1201(6)[93]
4	Пустоты вокруг гиперсфер	0.00211(2)[100]	6.161(10)[100]
5	Перекрывающиеся гиперсферы		0.05443(7)[93]
5	Выровненные гиперкубы	0.04900(7),[93] 0.0481621(13),[145]	0.05024(7)[93]
5	Пустоты вокруг гиперсфер	1,26 (6) x10^−4[100]	8.98(4)[100]
6	Перекрывающиеся гиперсферы		0.02339(5)[93]
6	Выровненные гиперкубы	0.02082(8),[93] 0.0213479(10)[145]	0.02104(8)[93]
6	Пустоты вокруг гиперсфер	8,0 (6) x10^−6 [100]	11.74(8)[100]
7	Перекрывающиеся гиперсферы		0.02339(5)[93]
7	Выровненные гиперкубы	0.00999(5),[93] 0.0097754(31)[145]	0.01004(5)[93]
8	Перекрывающиеся гиперсферы		0.004904(6)[93]
8	Выровненные гиперкубы		0.004498(5)[93]
9	Перекрывающиеся гиперсферы		0.002353(4)[93]
9	Выровненные гиперкубы		0.002166(4)[93]
10	Перекрывающиеся гиперсферы		0.001138(3)[93]
10	Выровненные гиперкубы		0.001058(4)[93]
11	Перекрывающиеся гиперсферы		0.0005530(3)[93]
11	Выровненные гиперкубы		0.0005160(3)[93]

${displaystyle eta _{c}=(pi ^{d/2}/Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.}$

В 4d, ${displaystyle eta _{c}=(1/2)pi ^{2}r^{4}N/L^{4}}$.

Через 5д, ${displaystyle eta _{c}=(8/15)pi ^{2}r^{5}N/L^{5}}$.

В 6д, ${displaystyle eta _{c}=(1/6)pi ^{3}r^{6}N/L^{6}}$.

${displaystyle phi _{c}=1-e^{-eta _{c}}}$ - критическая объемная доля.

Для пустых моделей ${displaystyle phi _{c}=e^{-eta _{c}}}$ - критическая паросодержащая доля, а ${displaystyle eta _{c}}$ общий объем перекрывающихся объектов

Пороги на гиперкубических решетках

d	z	Пороги сайта	Связанные пороги
4	8	0.198(1)[199] 0.197(6),[200] 0.1968861(14),[201] 0.196889(3),[202] 0.196901(5),[203] 0.19680(23),[204] 0.1968904(65),[145] 0.19688561(3)[205]	0.16005(15),[147] 0.1601314(13),[201] 0.160130(3),[202] 0.1601310(10),[148], 0.1601312(2)[206], 0.16013122(6)[205]
5	10	0.141(1),0.198(1)[199] 0.141(3),[200] 0.1407966(15),[201] 0.1407966(26),[145] 0.14079633(4)[205]	0.11819(4),[147] 0.118172(1),[201] 0.1181718(3)[148] 0.11817145(3)[205]
6	12	0.106(1),[199] 0.108(3),[200] 0.109017(2),[201] 0.1090117(30),[145] 0.109016661(8)[205]	0.0942(1),[207] 0.0942019(6),[201] 0.09420165(2)[205]
7	14	0.05950(5),[207] 0.088939(20),[208] 0.0889511(9),[201] 0.0889511(90),[145] 0.088951121(1),[205]	0.078685(30),[207] 0.0786752(3),[201] 0.078675230(2)[205]
8	16	0.0752101(5),[201] 0.075210128(1)[205]	0.06770(5),[207] 0.06770839(7),[201] 0.0677084181(3)[205]
9	18	0.0652095(3),[201] 0.0652095348(6)[205]	0.05950(5),[207] 0.05949601(5),[201] 0.0594960034(1)[205]
10	20	0.0575930(1),[201] 0.0575929488(4)[205]	0.05309258(4),[201] 0.0530925842(2)[205]
11	22	0.05158971(8),[201] 0.0515896843(2)[205]	0.04794969(1),[201] 0.04794968373(8)[205]
12	24	0.04673099(6),[201] 0.0467309755(1)[205]	0.04372386(1),[201] 0.04372385825(10)[205]
13	26	0.04271508(8),[201] 0.04271507960(10)[205]	0.04018762(1),[201] 0.04018761703(6)[205]

Для порогов на гиперкубических решетках большой размерности имеем разложения в асимптотические ряды ^{[200][209][210]}

${displaystyle p_{c}^{mathrm {site} }(d)=sigma ^{-1}+{frac {3}{2}}sigma ^{-2}+{frac {15}{4}}sigma ^{-3}+{frac {83}{4}}sigma ^{-4}+{frac {6577}{48}}sigma ^{-5}+{frac {119077}{96}}sigma ^{-6}+{mathcal {O}}(sigma ^{-7})}$

${displaystyle p_{c}^{mathrm {bond} }(d)=sigma ^{-1}+{frac {5}{2}}sigma ^{-3}+{frac {15}{2}}sigma ^{-4}+57sigma ^{-5}+{frac {4855}{12}}sigma ^{-6}+{mathcal {O}}(sigma ^{-7})}$

куда ${displaystyle sigma =2d-1}$.

Пороги в других многомерных решетках

d	решетка	z	Пороги сайта	Связанные пороги
4	алмаз	5	0.2978(2)[133]	0.2715(3)[133]
4	кагоме	8	0.2715(3)[136]	0.177(1) [133]
4	скрытая копия	16	0.1037(3)[133]	0.074(1)[133], 0.074212(1)[206]
4	fcc	24	0.0842(3)[133], 0.08410(23)[204]	0.049(1)[133], 0.049517(1)[206]
4	кубическая NN + 2NN	32	0.06190(23)[204]	0.035827(1)[206]
4	кубическая 3NN	32	0.04540(23)[204]
4	кубическая NN + 3NN	40	0.04000(23)[204]
4	кубическая 2NN + 3NN	58	0.03310(23)[204]
4	кубический NN + 2NN + 3NN	64	0.03190(23)[204]
5	алмаз	6	0.2252(3)[133]	0.2084(4)[136]
5	кагоме	10	0.2084(4)[136]	0.130(2)[133]
5	скрытая копия	32	0.0446(4)[133]	0.033(1)[133]
5	fcc	40	0.0431(3)[133]	0.026(2)[133]
6	алмаз	7	0.1799(5)[133]	0.1677(7)[136]
6	кагоме	12	0.1677(7)[136]
6	fcc	60	0.0252(5)[133]
6	скрытая копия	64	0.0199(5)[133]

Пороги одномерной протекания на большие расстояния

Модель перколяции дальнодействующих связей. Линии представляют возможные связи, ширина которых уменьшается по мере уменьшения вероятности соединения (левая панель). Экземпляр модели вместе с созданными кластерами (правая панель).

Критические пороги ${displaystyle C_{c}}$ как функция ${displaystyle sigma }$.^[211] Пунктирная линия - точная нижняя граница.^[212]

В одномерной цепочке мы устанавливаем связи между отдельными сайтами. ${displaystyle i}$ и ${displaystyle j}$ с вероятностью ${displaystyle p={frac {C}{|i-j|^{1+sigma }}}}$ убывает по степенному закону с показателем ${displaystyle sigma >0}$. Происходит просачивание^[212][213] при критическом значении ${displaystyle C_{c}<1}$ за ${displaystyle sigma <1}$. Определенные численно пороги перколяции определяются как:^[211]

${displaystyle sigma }$	${displaystyle C_{c}}$
0.1	0.047685(8)
0.2	0.093211(16)
0.3	0.140546(17)
0.4	0.193471(15)
0.5	0.25482(5)
0.6	0.327098(6)
0.7	0.413752(14)
0.8	0.521001(14)
0.9	0.66408(7)

Пороги на гиперболической, иерархической и древовидной решетках

В этих решетках может быть два порога перколяции: нижний порог - это вероятность появления бесконечных кластеров, а верхний - вероятность, выше которой существует единственный бесконечный кластер.

Визуализация треугольной гиперболической решетки {3,7}, спроецированной на диск Пуанкаре (красные связи). Зеленые связи показывают двойные кластеры на решетке {7,3}^[214]

Изображение неплоской сети Ханоя HN-NP^[215]

Решетка	z	${displaystyle {overline {z}}}$	Порог перколяции сайта		Порог просачивания облигаций
			Ниже	Верхний	Ниже	Верхний
{3,7} гиперболический	7	7	0.26931171(7),[216] 0.20[217]	0.73068829(7),[216] 0.73(2)[217]	0.20,[218] 0.1993505(5)[216]	0.37,[218] 0.4694754(8)[216]
{3,8} гиперболический	8	8	0.20878618(9)[216]	0.79121382(9)[216]	0.1601555(2)[216]	0.4863559(6)[216]
{3,9} гиперболический	9	9	0.1715770(1)[216]	0.8284230(1)[216]	0.1355661(4)[216]	0.4932908(1)[216]
{4,5} гиперболический	5	5	0.29890539(6)[216]	0.8266384(5)[216]	0.27,[218] 0.2689195(3)[216]	0.52,[218] 0.6487772(3) [216]
{4,6} гиперболический	6	6	0.22330172(3)[216]	0.87290362(7)[216]	0.20714787(9)[216]	0.6610951(2)[216]
{4,7} гиперболический	7	7	0.17979594(1)[216]	0.89897645(3)[216]	0.17004767(3)[216]	0.66473420(4)[216]
{4,8} гиперболический	8	8	0.151035321(9)[216]	0.91607962(7)[216]	0.14467876(3)[216]	0.66597370(3)[216]
{4,9} гиперболический	8	8	0.13045681(3)[216]	0.92820305(3)[216]	0.1260724(1)[216]	0.66641596(2)[216]
{5,5} гиперболический	5	5	0.26186660(5)[216]	0.89883342(7)[216]	0.263(10),[219] 0.25416087(3)[216]	0.749(10)[219] 0.74583913(3)[216]
{7,3} гиперболический	3	3	0.54710885(10)[216]	0.8550371(5),[216] 0.86(2)[217]	0.53,[218] 0.551(10),[219] 0.5305246(8)[216]	0.72,[218] 0.810(10),[219] 0.8006495(5)[216]
{∞, 3} Дерево Кэли	3	3	1/2		1/2[218]	1[218]
Расширенное двоичное дерево (EBT)					0.304(1),[220] 0.306(10),[219] (√13 − 3)/2 = 0.302776[221]	0.48,[218] 0.564(1),[220] 0.564(10),[219] 1/2[221]
Улучшенное двойное двоичное дерево					0.436(1),[220] 0.452(10)[219]	0.696(1),[220] 0.699(10)[219]
Непланарная Ханойская сеть (HN-NP)					0.319445[215]	0.381996[215]
Дерево Кэли с бабушкой и дедушкой		8			0.158656326[222]

Примечание: {m, n} - символ Шлефли, обозначающий гиперболическую решетку, в которой n правильных m-угольников пересекаются в каждой вершине.

Для перколяции облигаций на {P, Q} по двойственности имеем ${displaystyle p_{c,ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1}$. Для перколяции сайта, ${displaystyle p_{c,ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1}$ из-за самосогласования триангулированных решеток.

Дерево Кэли (решетка Бете) с координационным числом z: п_c = 1 / (z − 1)

Дерево Кэли с распределением z со средним ${displaystyle {overline {z}}}$, среднеквадратичный ${displaystyle {overline {z^{2}}}:}$ п_c= ${displaystyle {overline {z}}/({overline {z^{2}}}-{overline {z}})}$^[223](порог сайта или облигации)

Пороги направленной перколяции

(1 + 1) Решетка Д Кагоме

(1 + 1) D квадратная решетка

(1 + 1) D Треугольная решетка

(2 + 1) D SC Решетка

(2 + 1) D Решетка BCC

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(1 + 1) -d соты	1.5	0.8399316(2),[224] 0.839933(5),[225] ${displaystyle ={sqrt {p_{c}({mathrm {site} })}}}$ (1 + 1) -д кв.	0.8228569(2),[224] 0.82285680(6)[224]
(1 + 1) -d кагоме	2	0.7369317(2),[224] 0.73693182(4)[226]	0.6589689(2),[224] 0.65896910(8)[224]
(1 + 1) -d квадрат, диагональ	2	0.705489(4),[227] 0.705489(4),[228] 0.70548522(4),[229] 0.70548515(20),[226] 0.7054852(3),[224]	0.644701(2),[230] 0.644701(1),[231] 0.644701(1),[227] 0.6447006(10),[225] 0.64470015(5),[232] 0.644700185(5),[229] 0.6447001(2),[224] 0.643(2)[233]
(1 + 1) -d треугольный	3	0.595646(3),[227] 0.5956468(5),[232] 0.5956470(3)[224]	0.478018(2),[227] 0.478025(1),[232] 0.4780250(4)[224] 0.479(3)[233]
(2 + 1) -d простые кубические диагональные плоскости	3	0.43531(1),[234] 0.43531411(10)[224]	0.382223(7),[234] 0.38222462(6)[224] 0.383(3)[233]
(2 + 1) -d квадрат nn (= bcc)	4	0.3445736(3),[235] 0.344575(15)[236] 0.3445740(2)[224]	0.2873383(1),[237] 0.287338(3)[234] 0.28733838(4)[224] 0.287(3)[233]
(2 + 1) -d ГЦК			0.199(2))[233]
(3 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	4	0.3025(10),[238] 0.30339538(5) [224]	0.26835628(5),[224] 0.2682(2)[233]
(3 + 1) -d кубическая, nn	6	0.2081040(4)[235]	0.1774970(5)[148]
(3 + 1) -d скрытая копия	8	0.160950(30),[236] 0.16096128(3)[224]	0.13237417(2)[224]
(4 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	5	0.23104686(3)[224]	0.20791816(2),[224] 0.2085(2)[233]
(4 + 1) -d гиперкубическая, nn	8	0.1461593(2),[235] 0.1461582(3)[239]	0.1288557(5)[148]
(4 + 1) -d скрытая копия	16	0.075582(17)[236] 0.0755850(3),[239] 0.07558515(1)[224]	0.063763395(5)[224]
(5 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	6	0.18651358(2)[224]	0.170615155(5),[224] 0.1714(1) [233]
(5 + 1) -d гиперкубическая, nn	10	0.1123373(2)[235]	0.1016796(5)[148]
(5 + 1) -d гиперкубическая ОЦК	32	0.035967(23),[236] 0.035972540(3)[224]	0.0314566318(5)[224]
(6 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	7	0.15654718(1)[224]	0.145089946(3),[224] 0.1458[233]
(6 + 1) -d гиперкубическая, nn	12	0.0913087(2)[235]	0.0841997(14)[148]
(6 + 1) -d гиперкубическая ОЦК	64	0.017333051(2)[224]	0.01565938296(10)[224]
(7 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	8	0.135004176(10)[224]	0.126387509(3),[224] 0.1270(1) [233]
(7 + 1) -d гиперкубическая, nn	14	0.07699336(7)[235]	0.07195(5)[148]
(7 + 1) -d скрытая копия	128	0.008 432 989(2)[224]	0.007 818 371 82(6)[224]

nn = ближайшие соседи. Для (d + 1) -мерная гиперкубическая система, гиперкуб имеет размерность d, а направление времени указывает на ближайших 2D-соседей.

Точные критические многообразия неоднородных систем

Неоднородная перколяция связей треугольной решетки^[17]

${displaystyle 1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Неоднородная перколяция связи сотовой решетки = перколяция узлов решетки кагоме^[17]

${displaystyle 1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{3}-p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Неоднородная (3,12 ^ 2) решетка, перколяция узлов^[4][240]

${displaystyle 1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,}$или же ${displaystyle s_{1}s_{2}=1-2sin(pi /18)}$

Неоднородная решетка юнион-джек, перколяция узлов с вероятностями ${displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$^[241]

${displaystyle p_{3}=1-p_{1};qquad p_{4}=1-p_{2}}$

Неоднородная решетка Мартини, просачивание связей^[56][242]${displaystyle 1-(p_{1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+}$${displaystyle r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3})-2p_{1}p_{2}p_{3}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Неоднородная решетка мартини, перколяция узлов. р = сайт в звезде

${displaystyle 1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-p_{1}p_{2}p_{3})=0}$

Неоднородная решетка мартини-А (3–7), перколяция связей. Левая сторона (вверху буквы "А" вниз): ${displaystyle r_{2}, p_{1}}$. Правая сторона: ${displaystyle r_{1}, p_{2}}$. Перекрестная связь: ${displaystyle r_{3}}$.

${displaystyle 1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Неоднородная решетка мартини-В (3–5), перколяция связей.

Неоднородная решетка Мартини с внешним окружающим треугольником связей, вероятности ${displaystyle y,x,z}$ изнутри наружу, просачивание связки^[242]${displaystyle 1-3z+z^{3}-(1-z^{2})[3x^{2}y(1+y-y^{2})(1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z)]=0}$

Неоднородная шахматная решетка, просачивание связки^[46][76]

${displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

Неоднородная решетка-бабочка, просачивание связки^[45][76]

${displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-}$${displaystyle u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4})=0}$

куда ${displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$ четыре связи вокруг квадрата и ${displaystyle u}$ диагональная связь, соединяющая вершину между связями ${displaystyle p_{4},p_{1}}$ и ${displaystyle p_{2},p_{3}}$.

Для графиков

Для случайных графов, не вложенных в пространство, порог перколяции может быть вычислен точно. Например, для случайных регулярных графов, где все узлы имеют одинаковую степень k, p_c= 1 / к. За Эрдеш – Реньи (ER) графы с распределением степеней Пуассона, p_c= 1 / .^[243] Критический порог был точно рассчитан также для сети взаимозависимых сетей ER.^[244][245]

Смотрите также

• 2D перколяционный кластер
• Направленная перколяция
• Приближения эффективной среды
• Модели эпидемий на решетках
• Теория графов
• Сетевая наука
• Перколяция
• Критические показатели перколяции
• Теория перколяции
• Перколяция бутстрапа
• Случайная последовательная адсорбция
• Равномерные мозаики

Рекомендации

1. Kasteleyn, P.W .; Фортуин, К. М. (1969). «Фазовые переходы в решетчатых системах со случайными локальными свойствами». Приложение к журналу Физического общества Японии. 26: 11–14. Bibcode:1969PSJJS..26 ... 11K.
2. = Грюнбаум, Бранко и Шепард, Г.С. (1987). Плитки и узоры. Нью-Йорк: У. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-1193-3.
3. Парвиайнен, Роберт (2005). Свойства связности решеток Архимеда и Лавеса. Дива. 34. Уппсальские диссертации по математике. п. 37. ISBN  978-91-506-1751-1.
4. Suding, P. N .; Р. М. Зифф (1999). «Пороги перколяции сайтов для архимедовых решеток». Физический обзор E. 60 (1): 275–283. Bibcode:1999PhRvE..60..275S. Дои:10.1103 / PhysRevE.60.275. PMID  11969760.
5. Парвиайнен, Роберт (2007). «Оценка порогов перколяции связей на решетках Архимеда». Журнал физики А. 40 (31): 9253–9258. arXiv:0704.2098. Bibcode:2007JPhA ... 40.9253P. Дои:10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID  680787.
6. Дин, Чэнсян; Чжэ Фу. Вэнань Го; Ф. Ю. Ву (2010). "Критическая граница для моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа Кагоме II: Численный анализ". Физический обзор E. 81 (6): 061111. arXiv:1001.1488. Bibcode:2010PhRvE..81f1111D. Дои:10.1103 / PhysRevE.81.061111. PMID  20866382. S2CID  29625353.
7. Scullard, C.R .; Дж. Л. Якобсен (2012). «Вычисление трансфер-матрицы обобщенных критических многочленов в перколяции». arXiv:1209.1451 [cond-mat.stat-mech ].
8. Якобсен, Дж. Л. (2014). «Высокоточные пороги перколяции и критические многообразия модели Поттса из графовых полиномов». Журнал физики А. 47 (13): 135001. arXiv:1401.7847. Bibcode:2014JPhA ... 47м5001Г. Дои:10.1088/1751-8113/47/13/135001. S2CID  119614758.
9. Jacobsen, Jesper L .; Кристиан Р. Скаллард (2013). «Критические многообразия, многочлены графов и точная разрешимость» (PDF). StatPhys 25, Сеул, Корея, 21–26 июля..
10. Скаллард, Кристиан Р .; Джеспер Ликке Якобсен (2020). «Пороги просачивания связи на архимедовых решетках из критических корней полиномов». Physical Review Research. 2: 012050. arXiv:1910.12376. Дои:10.1103 / PhysRevResearch.2.012050. S2CID  204904858.
11. d'Iribarne, C .; Г. Ресиньи; М. Ресиньи (1995). «Определение перколяционных переходов сайтов для 2D мозаик с помощью подхода минимального остовного дерева». Письма о физике A. 209 (1–2): 95–98. Дои:10.1016/0375-9601(95)00794-8.
12. d'Iribarne, C .; Rasigni, M .; Разиньи, Г. (1999). «От решеточной дальнодействующей перколяции к сплошной». Phys. Lett. А. 263 (1–2): 65–69. Bibcode:1999ФЛА..263 ... 65Д. Дои:10.1016 / S0375-9601 (99) 00585-X.
13. Schliecker, G .; К. Кайзер (1999). «Перколяция на неупорядоченных мозаиках». Physica A. 269 (2–4): 189–200. Bibcode:1999PhyA..269..189S. Дои:10.1016 / S0378-4371 (99) 00093-X.
14. Djordjevic, Z. V .; Х. Э. Стэнли; Алла Марголина (1982). «Порог перколяции площадки для сотовых и квадратных решеток». Журнал физики А. 15 (8): L405 – L412. Bibcode:1982JPhA ... 15L.405D. Дои:10.1088/0305-4470/15/8/006.
15. Фэн, Сяомэй; Юджин Дэн; Х. В. Дж. Блоте (2008). «Перколяционные переходы в двух измерениях». Физический обзор E. 78 (3): 031136. arXiv:0901.1370. Bibcode:2008PhRvE..78c1136F. Дои:10.1103 / PhysRevE.78.031136. PMID  18851022. S2CID  29282598.
16. Ziff, R.M .; Ханг Гу (2008). «Универсальное соотношение для критических порогов перколяции решеток класса кагоме».
17. Сайкс, М. Ф .; Дж. У. Эссам (1964). «Точные критические вероятности перколяции для проблем сайта и связи в двух измерениях». Журнал математической физики. 5 (8): 1117–1127. Bibcode:1964JMP ..... 5.1117S. Дои:10.1063/1.1704215.
18. Ziff, R.M .; П. В. Судинг (1997). «Определение порога перколяции связей для решетки кагоме». Журнал физики А. 30 (15): 5351–5359. arXiv:cond-mat / 9707110. Bibcode:1997JPhA ... 30.5351Z. Дои:10.1088/0305-4470/30/15/021. S2CID  28814369.
19. Скаллард, К. Р. (2012). «Перколяционный критический многочлен как инвариант графа». Физический обзор E. 86 (4): 1131. arXiv:1111.1061. Bibcode:2012PhRvE..86d1131S. Дои:10.1103 / PhysRevE.86.041131. PMID  23214553. S2CID  33348328.
20. Якобсен, Дж. Л. (2015). "Критические точки моделей Поттса и O (N) из тождеств собственных значений в периодических алгебрах Темперли-Либа". Журнал физики А. 48 (45): 454003. arXiv:1507.03027. Bibcode:2015JPhA ... 48S4003L. Дои:10.1088/1751-8113/48/45/454003. S2CID  119146630.
21. Линь, Кех Инь; Вен Чен Ма (1983). «Двумерная модель Изинга на решетке рубина». Журнал физики А. 16 (16): 3895–3898. Bibcode:1983JPhA ... 16.3895L. Дои:10.1088/0305-4470/16/16/027.
22. Derrida, B .; Д. Штауффер (1985). «Поправки к скейлингу и феноменологической перенормировке для двумерной перколяции и решеточных задач животных». J. Physique. 46 (45): 1623. Дои:10.1051 / jphys: 0198500460100162300. S2CID  8289499.
23. Ян, Й .; С. Чжоу .; Ю. Ли. (2013).«Square ++: создание беспроигрышной и честной игры на соединение». Развлекательные вычисления. 4 (2): 105–113. Дои:10.1016 / j.entcom.2012.10.004.
24. Newman, M. E. J .; Р. М. Зифф (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокоточные результаты перколяции». Письма с физическими проверками. 85 (19): 4104–7. arXiv:cond-mat / 0005264. Bibcode:2000ПхРвЛ..85.4104Н. CiteSeerX  10.1.1.310.4632. Дои:10.1103 / PhysRevLett.85.4104. PMID  11056635. S2CID  747665.
25. de Oliveira, P.M.C .; Р. А. Нобрега, Д. Штауфер. (2003). «Поправки к масштабированию конечных размеров при перколяции». Бразильский журнал физики. 33 (3): 616–618. arXiv:cond-mat / 0308525. Bibcode:2003BrJPh..33..616O. Дои:10.1590 / S0103-97332003000300025. S2CID  8972025.
26. Ли, М. Дж. (2007). «Дополнительные алгоритмы для графов и перколяции». Физический обзор E. 76 (2): 027702. arXiv:0708.0600. Bibcode:2007PhRvE..76b7702L. Дои:10.1103 / PhysRevE.76.027702. PMID  17930184. S2CID  304257.
27. Ли, М. Дж. (2008). «Генераторы псевдослучайных чисел и порог перколяции квадратных узлов». Физический обзор E. 78 (3): 031131. arXiv:0807.1576. Bibcode:2008PhRvE..78c1131L. Дои:10.1103 / PhysRevE.78.031131. PMID  18851017. S2CID  7027694.
28. Левенштейн, М. Э .; Б. И. Шкловский; М. С. Шур; А. Л. Эфрос (1975). «Связь между критическими показателями теории перколяции». Ж. Эксп. Теор. Физ. 69: 386–392. Bibcode:1976JETP ... 42..197L.
29. Dean, P .; Н. Ф. Берд (1967). «Монте-Карло оценки критических вероятностей перколяции». Proc. Camb. Фил. Soc. 63 (2): 477–479. Bibcode:1967PCPS ... 63..477D. Дои:10,1017 / с0305004100041438.
30. Дин, П. (1963). «Новый метод Монте-Карло для задач перколяции на решетке». Proc. Camb. Фил. Soc. 59∂malarg (2): 397–410. Bibcode:1963PCPS ... 59..397D. Дои:10,1017 / с0305004100037026.
31. Беттс, Д. Д. (1995). «Новая двумерная решетка координационного числа пять». Proc. Nova Scotian Inst. Наука. 40: 95–100. HDL:10222/35332.
32. d'Iribarne, C .; Г. Ресиньи; М. Ресиньи (1999). «Минимальное остовное дерево и перколяция на мозаиках: теория графов и перколяция». J. Phys. A: Математика. Gen. 32 (14): 2611–2622. Дои:10.1088/0305-4470/32/14/002.
33. ван дер Марк, С. К. (1997). «Пороги перколяции и универсальные формулы». Физический обзор E. 55 (2): 1514–1517. Bibcode:1997PhRvE..55.1514V. Дои:10.1103 / PhysRevE.55.1514.
34. Malarz, K .; С. Галам (2005). «Перколяция узлов квадратной решетки при увеличении диапазона соседних связей». Физический обзор E. 71 (1): 016125. arXiv:cond-mat / 0408338. Bibcode:2005PhRvE..71a6125M. Дои:10.1103 / PhysRevE.71.016125. PMID  15697676.
35. Маевский, М .; К. Маларц (2007). «Пороги перколяции площадок квадратной решетки для сложных микрорайонов». Acta Phys. Pol. B. 38 (38): 2191. arXiv:cond-mat / 0609635. Bibcode:2007AcPPB..38.2191M.
36. Dalton, N.W .; C. Domb; М. Ф. Сайкс (1964). «Зависимость критической концентрации разбавленного ферромагнетика от диапазона взаимодействия». Proc. Phys. Soc. 83 (3): 496–498. Дои:10.1088/0370-1328/83/3/118.
37. Кольер, Эндрю. «Порог перколяции: включая ближайших соседей».
38. Оуян, Юньцин; Y. Deng; Хенк В. Дж. Блоте (2018). «Модели протекания эквивалентных соседей в двух измерениях: кроссовер между средним полем и ближним поведением». Phys. Ред. E. 98 (6): 062101. arXiv:1808.05812. Bibcode:2018PhRvE..98f2101O. Дои:10.1103 / PhysRevE.98.062101. S2CID  119328197.
39. Сюй, Вэньхуэй; Цзюньфэн Ван; Хао Ху; Юджин Дэн (2020). «Критические многочлены в неплоской и континуальной перколяционной модели». препринт arXiv. 2010.02887. arXiv:2010.02887.
40. Маларц, Кшиштоф (2020). «Пороги перколяции сайтов на треугольной решетке со сложными окрестностями». arXiv:2006.15621 [cond-mat.stat-mech ].
41. Domb, C .; Н. В. Далтон (1966). «Кристаллическая статистика с дальнодействующими силами I. Модель эквивалентного соседа». Proc. Phys. Soc. 89 (4): 859–871. Bibcode:1966ПС .... 89..859Д. Дои:10.1088/0370-1328/89/4/311.
42. Гукер, Марк; Семья, Ферейдун (1983). «Доказательства классического критического поведения при протекании сайтов на большие расстояния». Phys. Ред. B. 28 (3): 1449. Bibcode:1983ПхРвБ..28.1449Г. Дои:10.1103 / PhysRevB.28.1449.
43. Коза, Збигнев; Кондрат, Гжегож; Сущинский, Кароль (2014). «Просачивание перекрывающихся квадратов или кубиков на решетке». J. Stat. Механизм .: Theory Exp. 2014 (11): P11005. arXiv:1606.07969. Bibcode:2014JSMTE..11..005K. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2014/11 / P11005. S2CID  118623466.
44. Дэн, Юджин; Юньцин Оуян; Хенк В. Дж. Блоте (2019). «Среднесрочная перколяция в двух измерениях». J. Phys .: Conf. Сер. 1163 (1): 012001. Bibcode:2019JPhCS1163a2001D. Дои:10.1088/1742-6596/1163/1/012001.
45. Scullard, C.R .; Р. М. Зифф (2010). «Критические поверхности для общих задач перколяции неоднородных связей». J. Stat. Механизм .: Theory Exp. 2010 (3): P03021. arXiv:0911.2686. Bibcode:2010JSMTE..03..021S. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021. S2CID  119230786.
46. Ву Ф. Я. (1979). «Критическая точка плоских моделей Поттса». Журнал физики C. 12 (17): L645 – L650. Bibcode:1979JPhC ... 12L.645W. Дои:10.1088/0022-3719/12/17/002.
47. Hovi, J.-P .; А. Ахарони (1996). «Масштабирование и универсальность в вероятности охвата для перколяции». Физический обзор E. 53 (1): 235–253. Bibcode:1996PhRvE..53..235H. Дои:10.1103 / PhysRevE.53.235. PMID  9964253.
48. Тарасевич Юрий Юрьевич; Стивен К. ван дер Марк (1999). «Исследование перколяции межузельных связей на многих решетках». Int. J. Mod. Phys. C. 10 (7): 1193–1204. arXiv:cond-mat / 9906078. Bibcode:1999IJMPC..10.1193T. Дои:10.1142 / S0129183199000978. S2CID  16917458.
49. Sakamoto, S .; Ф. Йонезава и М. Хори (1989). «Предложение по оценке порогов перколяции в двумерных решетках». J. Phys. А. 22 (14): L699 – L704. Bibcode:1989JPhA ... 22L.699S. Дои:10.1088/0305-4470/22/14/009.
50. Deng, Y .; Ю. Хуанг, Дж. Л. Якобсен, Дж. Салас и А. Д. Сокал (2011). "Конечнотемпературный фазовый переход в классе четырехуровневых антиферромагнетиков Поттса". Письма с физическими проверками. 107 (15): 150601. arXiv:1108.1743. Bibcode:2011PhRvL.107o0601D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.107.150601. PMID  22107278. S2CID  31777818.
51. Syozi, I (1972). «Трансформация моделей Изинга». In Domb, C .; Грин, М. С. (ред.). Фазовые переходы в критических явлениях. 1. Academic Press, Лондон. С. 270–329.
52. Неер, Ричард; Меке, Клаус и Вагнер, Герберт (2008). «Топологическая оценка порогов перколяции». Журнал статистической механики: теория и эксперимент. 2008 (1): P01011. arXiv:0708.3250. Bibcode:2008JSMTE..01..011N. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2008/01 / P01011. S2CID  8584164.
53. Grimmett, G .; Манолеску, I (2012). «Просачивание облигаций на изорадиальных графах». arXiv:1204.0505 [math.PR ].
54. Скаллард, К. Р. (2006). «Точные пороги перколяции сайтов с использованием преобразования сайт-связь и преобразования звезда-треугольник». Физический обзор E. 73 (1): 016107. arXiv:cond-mat / 0507392. Bibcode:2006PhRvE..73a6107S. Дои:10.1103 / PhysRevE.73.016107. PMID  16486216. S2CID  17948429.
55. Зифф, Р. М. (2006). «Обобщенная трансформация двухклеточная ячейка и точные пороги перколяции». Физический обзор E. 73 (1): 016134. Bibcode:2006PhRvE..73a6134Z. Дои:10.1103 / PhysRevE.73.016134. PMID  16486243.
56. Scullard, C.R .; Роберт М. Зифф (2006). «Точные пороги просачивания облигаций в двух измерениях». Журнал физики А. 39 (49): 15083–15090. arXiv:cond-mat / 0610813. Bibcode:2006JPhA ... 3915083Z. Дои:10.1088/0305-4470/39/49/003. S2CID  14332146.
57. Дин, Чэнсян; Яньчэн Ван; Ян Ли (2012). «Горшки и перколяционные модели на решетках-бабочках». Физический обзор E. 86 (2): 021125. arXiv:1203.2244. Bibcode:2012PhRvE..86b1125D. Дои:10.1103 / PhysRevE.86.021125. PMID  23005740. S2CID  27190130.
58. Верман, Джон (1984). «Определение критической вероятности перколяции связи на основе преобразования звезда-треугольник». J. Phys. A: Математика. Gen. 17 (7): 1525–1530. Bibcode:1984JPhA ... 17,1525 Вт. Дои:10.1088/0305-4470/17/7/020.
59. Ziff, R.M .; Скаллард, К. Р. (2010). «Критические поверхности для общих задач перколяции неоднородных связей». J. Stat. Мех. 2010 (3): P03021. arXiv:0911.2686. Bibcode:2010JSMTE..03..021S. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021. S2CID  119230786.
60. [1][2]
61. Мельхерт, Оливер; Хельмут Г. Кацграбер; Марк А. Новотный (2016). "Пороги перколяции сайтов и связей в Kn, n-основанных решетках: уязвимость квантовых отжигателей к случайным сбоям кубитов и соединителей в топологиях Химеры". Физический обзор E. 93 (4): 042128. arXiv:1511.07078. Bibcode:2016PhRvE..93d2128M. Дои:10.1103 / PhysRevE.93.042128. PMID  27176275. S2CID  206249608.
62. Окубо, С .; М. Хаяси, С. Кимура, Х. Охта, М. Мотокава, Х. Кикучи и Х. Нагасава (1998). «Субмиллиметровое ЭПР треугольного кагоме антиферромагнетика Cu9X2 (cpa) 6 (X = Cl, Br)». Physica B. 246--247 (2): 553–556. Bibcode:1998PhyB..246..553O. Дои:10.1016 / S0921-4526 (97) 00985-X.
63. Хаджи Акбари, Амир; Р. М. Зифф (2009). «Перколяция в сетях с пустотами и узкими местами». Физический обзор E. 79 (2): 021118. arXiv:0811.4575. Bibcode:2009PhRvE..79b1118H. Дои:10.1103 / PhysRevE.79.021118. PMID  19391717. S2CID  2554311.
64. Cornette, V .; А. Дж. Рамирес-Пастор; Ф. Ньето (2003). «Зависимость порога перколяции от размера проникающих частиц». Physica A. 327 (1): 71–75. Bibcode:2003PhyA..327 ... 71C. Дои:10.1016 / S0378-4371 (03) 00453-9.
65. Lebrecht, W .; П. М. Центры; А. Дж. Рамирес-Пастор (2019). «Аналитическая аппроксимация порогов перколяции узлов для мономеров и димеров на двумерных решетках». Physica A. 516: 133–143. Bibcode:2019PhyA..516..133L. Дои:10.1016 / j.physa.2018.10.023.
66. Лонгоне, Пабло; ВЕЧЕРА. Центры; А. Дж. Рамирес-Пастор (2019). «Проникновение ориентированных жестких стержней на двумерные треугольные решетки». Физический обзор E. 100 (5): 052104. arXiv:1906.03966. Bibcode:2019PhRvE.100e2104L. Дои:10.1103 / PhysRevE.100.052104. PMID  31870027. S2CID  182953009.
67. Budinski-Petkovic, Lj; И. Лонкаревич; З. М. Ясик; и С. Б. Врховач (2016). «Заклинивание и перколяция при случайной последовательной адсорбции протяженных объектов на треугольной решетке с закаленными примесями». J. Stat. Мех .: Th. Опыт. 2016 (5): 053101. Bibcode:2016JSMTE..05.3101B. Дои:10.1088/1742-5468/2016/05/053101. S2CID  3913989.
68. Черкасова, В. А .; Ю. Ю. Тарасевич; Н. И. Лебовка; и Н.В. Выгорницкий (2010). «Перколяция упорядоченных димеров на квадратной решетке». Евро. Phys. J. B. 74 (2): 205–209. arXiv:0912.0778. Bibcode:2010EPJB ... 74..205C. Дои:10.1140 / epjb / e2010-00089-2. S2CID  118485353.
69. Leroyer, Y .; Э. Поммиерс (1994). «Монте-Карло анализ перколяции отрезков на квадратной решетке». Phys. Ред. B. 50 (5): 2795–2799. arXiv:cond-mat / 9312066. Bibcode:1994ПхРвБ..50.2795Л. Дои:10.1103 / PhysRevB.50.2795. PMID  9976520.
70. Vanderwalle, N .; С. Галам; М. Крамер (2000). «Новая универсальность для случайного последовательного размещения игл». Евро. Phys. J. B. 14 (3): 407–410. arXiv:cond-mat / 0004271. Bibcode:2000EPJB ... 14..407В. Дои:10.1007 / с100510051047. S2CID  11142384.
71. Кондрат, Гжегож; Анджей Пенкальский (2001). «Просачивание и заклинивание при случайной последовательной адсорбции линейных сегментов на квадратной решетке». Phys. Ред. E. 63 (5): 051108. arXiv:cond-mat / 0102031. Bibcode:2001PhRvE..63e1108K. Дои:10.1103 / PhysRevE.63.051108. PMID  11414888. S2CID  44490067.
72. Хаджи-Акбари, А .; Насим Хаджи-Акбари; Роберт М. Зифф (2015). «Димерное покрытие и нарушение перколяции». Phys. Ред. E. 92 (3): 032134. arXiv:1507.04411. Bibcode:2015PhRvE..92c2134H. Дои:10.1103 / PhysRevE.92.032134. PMID  26465453. S2CID  34100812.
73. Zia, R. K. P .; W. Yong; Б. Шмиттманн (2009). «Проникновение совокупности конечных случайных блужданий: модель проникновения газа через тонкие полимерные мембраны». Журнал математической химии. 45: 58–64. Дои:10.1007 / s10910-008-9367-6. S2CID  94092783.
74. Ву, Юн; Б. Шмиттманн; Р. К. П. Зия (2008). «Двумерные полимерные сети вблизи перколяции». Журнал физики А. 41 (2): 025008. Bibcode:2008JPhA ... 41b5004W. Дои:10.1088/1751-8113/41/2/025004. S2CID  13053653.
75. Cornette, V .; А.Дж. Рамирес-Пастор, Ф. Ньето (2003). «Двумерные полимерные сети вблизи перколяции». Европейский физический журнал B. 36 (3): 397. Bibcode:2003EPJB ... 36..391C. Дои:10.1140 / epjb / e2003-00358-1. S2CID  119852589.
76. Ziff, R.M .; К. Р. Скаллард; Дж. К. Вирман; М. Р. А. Седлок (2012). «Критические многообразия перколяции неоднородных связей на решетках галстука-бабочки и шахматной доски». Журнал физики А. 45 (49): 494005. arXiv:1210.6609. Bibcode:2012JPhA ... 45W4005Z. Дои:10.1088/1751-8113/45/49/494005. S2CID  2121370.
77. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2012). «Пороги перколяции континуума в двух измерениях». Физический обзор E. 86 (6): 061109. arXiv:1209.4936. Bibcode:2012PhRvE..86f1109M. Дои:10.1103 / PhysRevE.86.061109. PMID  23367895. S2CID  15107275.
78. Кинтанилья, Джон А .; Р. М. Зифф (2007). «Асимметрия порогов перколяции полностью проницаемых дисков с двумя разными радиусами». Физический обзор E. 76 (5): 051115 [6 страниц]. Bibcode:2007PhRvE..76e1115Q. Дои:10.1103 / PhysRevE.76.051115. PMID  18233631.
79. Кинтанилья, Дж; С. Торквато; Р. М. Зифф (2000). «Эффективное измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков». J. Phys. A: Математика. Gen. 33 (42): L399 – L407. Bibcode:2000JPhA ... 33L.399Q. CiteSeerX  10.1.1.6.8207. Дои:10.1088/0305-4470/33/42/104.
80. Лоренц, В; И. Оргзалл, Х.-О. Хойер (1993). «Универсальность и кластерные структуры в континуальных моделях перколяции с двумя различными распределениями радиусов». J. Phys. A: Математика. Gen. 26 (18): 4711–4712. Bibcode:1993JPhA ... 26.4711L. Дои:10.1088/0305-4470/26/18/032.
81. Россо, М. (1989). «Подход градиента концентрации к перколяции континуума в двух измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen. 22 (4): L131 – L136. Bibcode:1989JPhA ... 22L.131R. Дои:10.1088/0305-4470/22/4/004.
82. Гавлински, Эдвард Т; Х. Юджин Стэнли (1981). «Проникновение континуума в двух измерениях: Монте-Карло тесты масштабирования и универсальности для невзаимодействующих дисков». J. Phys. A: Математика. Gen. 14 (8): L291 – L299. Bibcode:1981JPhA ... 14L.291G. Дои:10.1088/0305-4470/14/8/007.
83. Йи, Й.-Б .; А. М. Састрый (2004). "Аналитическая аппроксимация порога перколяции перекрывающихся эллипсоидов вращения". Труды Королевского общества А. 460 (5): 2353–2380. Bibcode:2004RSPSA.460.2353Y. Дои:10.1098 / rspa.2004.1279. S2CID  2475482.
84. Pike, G.E .; К. Х. Сигер (1974). «Перколяция и проводимость: компьютерное исследование I». Phys. Ред. B. 10 (4): 1421–1434. Bibcode:1974ПхРвБ..10.1421П. Дои:10.1103 / PhysRevB.10.1421.
85. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуйсу (2019). «Измерение свойств перколяции континуума двумерных систем частиц, содержащих конгруэнтные и двойные суперэллипсы». Порошковая технология. 347: 17–26. Дои:10.1016 / j.powtec.2019.02.036.
86. Домб, Э. Н. (1961). «Случайные плоские сети». J. Soc. Indust. Appl. Математика. 9 (4): 533–543. Дои:10.1137/0109045.
87. Гилберт, Э. Н. (1961). «Случайные плоские сети». J. Soc. Indust. Appl. Математика. 9 (4): 533–543. Дои:10.1137/0109045.
88. Тарасевич Юрий Юрьевич; Андрей В. Есеркепов (2020). «Пороги просачивания для дискоректангелов: численная оценка для ряда соотношений сторон». Физический обзор E. 101 (2): 022108. arXiv:1910.05072. Дои:10.1103 / PhysRevE.101.022108. PMID  32168641. S2CID  204401814.
89. Ли, Цзяньтун; Микаэль Остлинг (2016). «Точные пороги перколяции двумерных случайных систем, содержащих перекрывающиеся эллипсы». Physica A. 462: 940–950. Bibcode:2016PhyA..462..940L. Дои:10.1016 / j.physa.2016.06.020.
90. Нгуен, Ван Лиен; Энрике Канесса (1999). «Конечное масштабирование в двумерных перколяционных моделях континуума». Буквы B по современной физике. 13 (17): 577–583. arXiv:cond-mat / 9909200. Bibcode:1999MPLB ... 13..577N. Дои:10.1142 / S0217984999000737. S2CID  18560722.
91. Робертс, Ф. Д. К. (1967). «Решение Монте-Карло двумерной неструктурированной кластерной задачи». Биометрика. 54 (3/4): 625–628. Дои:10.2307/2335053. JSTOR  2335053. PMID  6064024.
92. Xia, W .; М. Ф. Торп (1988). «Перколяционные свойства случайных эллипсов». Физический обзор A. 38 (5): 2650–2656. Bibcode:1988PhRvA..38.2650X. Дои:10.1103 / PhysRevA.38.2650. PMID  9900674.
93. Torquato, S .; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на протекание континуума перекрывающихся гиперсфер и гиперкубов. II. Результаты моделирования и анализ». J. Chem. Phys. 137 (7): 074106. arXiv:1208.3720. Bibcode:2012ЖЧФ.137г4106Т. Дои:10.1063/1.4742750. PMID  22920102. S2CID  13188197.
94. Бейкер, Дон Р .; Джеральд Пол; Самит Шринивасан; Х. Юджин Стэнли (2002). «Порог перколяции континуума для взаимопроникающих квадратов и кубов». Физический обзор E. 66 (4): 046136 [5 страниц]. arXiv:cond-mat / 0203235. Bibcode:2002PhRvE..66d6136B. Дои:10.1103 / PhysRevE.66.046136. PMID  12443288. S2CID  9561586.
95. Ли, Цзяньтун; Микаэль Остлинг (2013). «Пороги перколяции двумерных континуальных систем прямоугольников». Физический обзор E. 88 (1): 012101. Bibcode:2013PhRvE..88a2101L. Дои:10.1103 / PhysRevE.88.012101. PMID  23944408. S2CID  21438506.
96. Ли, Цзяньтун; Ши-Ли Чжан (2009). «Конечное масштабирование при перколяции палочек». Физический обзор E. 80 (4): 040104 (R). Bibcode:2009PhRvE..80d0104L. Дои:10.1103 / PhysRevE.80.040104. PMID  19905260.
97. Тарасевич Юрий Юрьевич; Андрей В. Есеркепов (2018). «Просачивание палочек: эффект выравнивания палочек и дисперсии длины». Физический обзор E. 98 (6): 062142. arXiv:1811.06681. Bibcode:2018PhRvE..98f2142T. Дои:10.1103 / PhysRevE.98.062142. S2CID  54187951.
98. Сасидеван, В. (2013). «Континуумная перколяция перекрывающихся дисков с распределением радиусов со степенным хвостом». Физический обзор E. 88 (2): 022140. arXiv:1302.0085. Bibcode:2013PhRvE..88b2140S. Дои:10.1103 / PhysRevE.88.022140. PMID  24032808. S2CID  24046421.
99. ван дер Марк, С. К. (1996). «Сетевой подход к просачиванию пустоты в пачке неравных сфер». Письма с физическими проверками. 77 (9): 1785–1788. Bibcode:1996ПхРвЛ..77.1785В. Дои:10.1103 / PhysRevLett.77.1785. PMID  10063171.
100. Цзинь, Юлянь; Патрик Шарбонно (2014). «Отображение остановки случайного газа Лоренца на динамический переход простого стеклообразователя». Физический обзор E. 91 (4): 042313. arXiv:1409.0688. Bibcode:2015PhRvE..91d2313J. Дои:10.1103 / PhysRevE.91.042313. PMID  25974497. S2CID  16117644.
101. Линь, Цзяньцзюнь; Чжан, Улун; Чен, Хуйсу; Чжан, Жунлин; Лю, Лин (2019). «Влияние характеристики пор на порог перколяции и коэффициент диффузии пористой среды, содержащей перекрывающиеся поры вогнутой формы». Международный журнал тепломассообмена. 138: 1333–1345. Дои:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.04.110.
102. Микс, Келси; Дж. Тенсер; М.Л. Пантойя (2017). «Перколяция бинарных дисковых систем: моделирование и теория». Phys. Ред. E. 95 (1): 012118. Bibcode:2017PhRvE..95a2118M. Дои:10.1103 / PhysRevE.95.012118. PMID  28208494.
103. Кинтанилья, Джон А. (2001). «Измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков разного радиуса». Phys. Ред. E. 63 (6): 061108. Bibcode:2001PhRvE..63f1108Q. Дои:10.1103 / PhysRevE.63.061108. PMID  11415069.
104. Мельхерт, Оливер (2013). «Пороги перколяции на планарных евклидовых графах относительных окрестностей». Физический обзор E. 87 (4): 042106. arXiv:1301.6967. Bibcode:2013PhRvE..87d2106M. Дои:10.1103 / PhysRevE.87.042106. PMID  23679372. S2CID  9691279.
105. Бернарди, Оливье; Куриен, Николас; Миермонт, Грегори (2019). «Больцмановский подход к перколяции на случайных триангуляциях». Канадский математический журнал. 71: 1–43. arXiv:1705.04064. Дои:10.4153 / CJM-2018-009-x. S2CID  6817693.
106. Беккер, А .; Р. М. Зифф (2009). «Пороги перколяции на двумерных сетях Вороного и триангуляции Делоне». Физический обзор E. 80 (4): 041101. arXiv:0906.4360. Bibcode:2009PhRvE..80d1101B. Дои:10.1103 / PhysRevE.80.041101. PMID  19905267. S2CID  22549508.
107. Shante, K. S .; С. Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Успехи в физике. 20 (85): 325–357. Bibcode:1971AdPhy..20..325S. Дои:10.1080/00018737100101261.
108. Hsu, H.P .; М. К. Хуанг (1999). «Пороги перколяции, критические показатели и масштабные функции на плоских случайных решетках и их двойниках». Физический обзор E. 60 (6): 6361–6370. Bibcode:1999PhRvE..60.6361H. Дои:10.1103 / PhysRevE.60.6361. PMID  11970550. S2CID  8750738.
109. Норренброк, К. (2014). «Порог перколяции на плоских евклидовых графах Габриэля». Журнал физики А. 40 (31): 9253–9258. arXiv:0704.2098. Bibcode:2007JPhA ... 40.9253P. Дои:10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID  680787.
110. Bertin, E; Ж.-М. Биллиот, Р. Друйе (2002). «Перколяция континуума в графе Габриэля». Adv. Appl. Вероятно. 34 (4): 689. Дои:10.1239 / aap / 1037990948.
111. Лепаж, Тибо; Люси Делаби; Фаусто Мальваги; Ален Маццоло (2011). «Моделирование методом Монте-Карло полностью марковских стохастических геометрий». Прогресс в ядерной науке и технологиях. 2: 743–748. Дои:10.15669 / пнст.2.743.
112. Ziff, R.M .; Ф. Бабалиевский (1999). "Перколяция сайтов на решетке ромба Пенроуза". Physica A. 269 (2–4): 201–210. Bibcode:1999PhyA..269..201Z. Дои:10.1016 / S0378-4371 (99) 00166-1.
113. Бабалиевский, Ф. (1995). «Перколяционные пороги и перколяционные проводимости восьмиугольных и додекагональных квазикристаллических решеток». Physica A. 220 (1995): 245–250. Bibcode:1995PhyA..220..245B. Дои:10.1016 / 0378-4371 (95) 00260-E.
114. Боллобаш, Бела; Оливер Риордан (2006). «Критическая вероятность случайного протекания Вороного в плоскости равна 1/2». Вероятно. Теория Relat. Поля. 136 (3): 417–468. arXiv:математика / 0410336. Дои:10.1007 / s00440-005-0490-z. S2CID  15985691.
115. Ангел, Омер; Шрамм, Одед (2003). «Равномерная бесконечная планарная триангуляция». Commun. Математика. Phys. 241 (2–3): 191–213. arXiv:математика / 0207153. Bibcode:2003CMaPh.241..191A. Дои:10.1007 / s00220-003-0932-3. S2CID  17718301.
116. Angel, O .; Куриен, Николас (2014). «Перколяции на случайных картах I: модели полуплоскостей». Анналы института Анри Пуанкаре, Probabilités et Statistiques. 51 (2): 405–431. arXiv:1301.5311. Bibcode:2015AIHPB..51..405A. Дои:10.1214 / 13-AIHP583. S2CID  14964345.
117. Зиренберг, Йоханнес; Никлас Фрике; Мартин Маренц; Ф. П. Шпицнер; Виктория Блаватская; Вольфхард Янке (2017). «Пороги перколяции и фрактальные размерности для квадратных и кубических решеток с дальнодействующими коррелированными дефектами». Phys. Ред. E. 96 (6): 062125. arXiv:1708.02296. Bibcode:2017PhRvE..96f2125Z. Дои:10.1103 / PhysRevE.96.062125. PMID  29347311. S2CID  22353394.
118. Sotta, P .; Д. Лонг (2003). «Переход от 2D к 3D перколяции: теория и численное моделирование». Евро. Phys. J. E. 11 (4): 375–388. Bibcode:2003EPJE ... 11..375S. Дои:10.1140 / epje / i2002-10161-6. PMID  15011039. S2CID  32831742.
119. Horton, M. K .; Морам, М.А. (17 апреля 2017 г.). «Флуктуации состава сплава и перколяция в квантовых ямах полупроводниковых сплавов». Письма по прикладной физике. 110 (16): 162103. Дои:10.1063/1.4980089. ISSN  0003-6951.
120. Gliozzi, F .; С. Лоттини; М. Панеро; А. Раго (2005). «Случайная протекание как калибровочная теория». Ядерная физика B. 719 (3): 255–274. arXiv:cond-mat / 0502339. Bibcode:2005НуФБ.719..255Г. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2005.04.021. HDL:2318/5995. S2CID  119360708.
121. Yoo, Ted Y .; Джонатан Тран; Шейн П. Шталхебер; Карина Э. Каайноа; Кевин Джепан; Александр Р. Смолл (2014). «Перколяция узлов на решетках с низкими средними координационными числами». J. Stat. Мех. Теория Опыт. 2014 (6): P06014. arXiv:1403.1676. Bibcode:2014JSMTE..06..014Y. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2014/06 / p06014. S2CID  119290405.
122. Тран, Джонатан; Тед Ю; Шейн Штальхебер; Алекс Смолл (2013). «Пороги перколяции на трехмерных решетках с 3 ближайшими соседями». J. Stat. Механизм .: Theory Exp. 2013 (5): P05014. arXiv:1211.6531. Bibcode:2013JSMTE..05..014T. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2013/05 / P05014. S2CID  119182062.
123. Уэллс, А. Ф. (1984). «Структуры на основе 3-соединенной сети 10³ – б". Журнал химии твердого тела. 54 (3): 378–388. Bibcode:1984JSSCh..54..378W. Дои:10.1016/0022-4596(84)90169-5.
124. Пант, Михир; Дон Таусли; Дирк Инглунд; Сайкат Гуха (2017). «Пороги перколяции для фотонных квантовых вычислений». Nature Communications. 10 (1): 1070. arXiv:1701.03775. Дои:10.1038 / с41467-019-08948-х. ЧВК  6403388. PMID  30842425.
125. Хайд, Стивен Т .; О'Киф, Майкл; Просерпио, Давид М. (2008). «Краткая история неуловимой, но вездесущей структуры в химии, материалах и математике». Энгью. Chem. Int. Эд. 47 (42): 7996–8000. Дои:10.1002 / anie.200801519. PMID  18767088.
126. ван дер Марк, С. К. (1997). «Пороги перколяции двойников гранецентрированной кубической, гексагонально-плотноупакованной и алмазной решеток». Phys. Ред. E. 55 (6): 6593–6597. Bibcode:1997PhRvE..55.6593V. Дои:10.1103 / PhysRevE.55.6593.
127. Frisch, H.L .; Э. Зонненблик; В. А. Высоцкий; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности перколяции (проблема сайта)». Физический обзор. 124 (4): 1021–1022. Bibcode:1961ПхРв..124.1021Ф. Дои:10.1103 / PhysRev.124.1021.
128. Высоцкий, В. А .; С. Б. Гордон; Х. Л. Фриш; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности перколяции (проблема Бонда)». Физический обзор. 123 (5): 1566–1567. Bibcode:1961ПхРв..123.1566В. Дои:10.1103 / PhysRev.123.1566.
129. Gaunt, D. S .; М. Ф. Сайкс (1983). «Серийное исследование случайной перколяции в трех измерениях». J. Phys. А. 16 (4): 783. Bibcode:1983JPhA ... 16..783G. Дои:10.1088/0305-4470/16/4/016.
130. Сюй, Сяо; Цзюньфэн Ван, Цзянь-Пин Львов, Юджин Дэн (2014). «Синхронный анализ трехмерных моделей перколяции». Границы физики. 9 (1): 113–119. arXiv:1310.5399. Bibcode:2014FrPhy ... 9..113X. Дои:10.1007 / s11467-013-0403-z. S2CID  119250232.
131. Сильверман, Амихал; Дж. Адлер (1990). «Порог перколяции сайтов для решетки алмаза с двухатомным замещением». Физический обзор B. 42 (2): 1369–1373. Bibcode:1990ПхРвБ..42.1369С. Дои:10.1103 / PhysRevB.42.1369. PMID  9995550.
132. ван дер Марк, Стивен К. (1997). «Опечатка: пороги просачивания и универсальные формулы». Phys. Ред. E. 56 (4): 3732.
133. ван дер Марк, Стивен К. (1998). «Расчет порогов просачивания больших размеров для решеток FCC, BCC и ромбов». Международный журнал современной физики C. 9 (4): 529–540. arXiv:cond-mat / 9802187. Bibcode:1998IJMPC ... 9..529В. Дои:10.1142 / S0129183198000431. S2CID  119097158.
134. Сайкс, М. Ф .; Д. С. Гонт; М. Глен (1976). «Перколяционные процессы в трех измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen. 9 (10): 1705–1712. Bibcode:1976JPhA .... 9.1705S. Дои:10.1088/0305-4470/9/10/021.
135. Сайкс, М. Ф .; Дж. У. Эссам (1964). «Критические вероятности перколяции методом серий». Физический обзор. 133 (1A): A310 – A315. Bibcode:1964ПхРв..133..310С. Дои:10.1103 / PhysRev.133.A310.
136. ван дер Марк, Стивен К. (1998). «Перколяция сайтов и случайные блуждания на d-мерных решетках Кагоме». Журнал физики А. 31 (15): 3449–3460. arXiv:cond-mat / 9801112. Bibcode:1998JPhA ... 31.3449V. Дои:10.1088/0305-4470/31/15/010. S2CID  18989583.
137. Сур, Амит; Джоэл Л. Лебовиц; Дж. Марро; М. Х. Калос; С. Киркпатрик (1976). «Монте-Карло исследования перколяционных явлений для простой кубической решетки». Журнал статистической физики. 15 (5): 345–353. Bibcode:1976JSP .... 15..345S. Дои:10.1007 / BF01020338. S2CID  38734613.
138. Ван, Дж; Z. Zhou; В. Чжан; Т. Гарони; Ю. Дэн (2013). «Связь и просачивание сайта в трех измерениях». Физический обзор E. 87 (5): 052107. arXiv:1302.0421. Bibcode:2013PhRvE..87e2107W. Дои:10.1103 / PhysRevE.87.052107. PMID  23767487. S2CID  14087496.
139. Грассбергер, П. (1992). «Численные исследования критической перколяции в трех измерениях». J. Phys. А. 25 (22): 5867–5888. Bibcode:1992JPhA ... 25.5867G. Дои:10.1088/0305-4470/25/22/015.
140. Ачарья, М .; Д. Штауффер (1998). «Влияние граничных условий на критическую вероятность перекрытия». Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 643–647. arXiv:cond-mat / 9805355. Bibcode:1998IJMPC ... 9..643A. Дои:10.1142 / S0129183198000534. S2CID  15684907.
141. Jan, N .; Д. Штауффер (1998). «Перколяция случайных сайтов в трех измерениях». Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 341–347. Bibcode:1998IJMPC ... 9..341J. Дои:10.1142 / S0129183198000261.
142. Дэн, Юджин; Х. В. Дж. Блоте (2005). "Монте-Карло исследование модели перколяции сайтов в двух и трех измерениях". Физический обзор E. 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. Дои:10.1103 / PhysRevE.72.016126. PMID  16090055.
143. Ballesteros, P.N .; Л. А. Фернандес, В. Мартин-Майор, А. Муньос, Судепе, Г. Паризи и Х. Х. Руис-Лоренцо (1999). «Корректировки масштабирования: перколяция сайта и модель Изинга в трех измерениях». Журнал физики А. 32 (1): 1–13. arXiv:cond-mat / 9805125. Bibcode:1999JPhA ... 32 .... 1B. Дои:10.1088/0305-4470/32/1/004. S2CID  2787294.
144. Lorenz, C.D .; Р. М. Зифф (1998). «Универсальность избыточного числа кластеров и функции вероятности пересечения в трехмерной перколяции». Журнал физики А. 31 (40): 8147–8157. arXiv:cond-mat / 9806224. Bibcode:1998JPhA ... 31.8147L. Дои:10.1088/0305-4470/31/40/009. S2CID  12493873.
145. Коза, Збигнев; Якуб Пола (2016). «От дискретной к непрерывной фильтрации в размерах от 3 до 7». Журнал статистической механики: теория и эксперимент. 2016 (10): 103206. arXiv:1606.08050. Bibcode:2016JSMTE..10.3206K. Дои:10.1088/1742-5468/2016/10/103206. S2CID  118580056.
146. Шквор, Иржи; Иво Незбеда (2009). «Пороговые параметры перколяции жидкостей». Физический обзор E. 79 (4): 041141. Bibcode:2009PhRvE..79d1141S. Дои:10.1103 / PhysRevE.79.041141. PMID  19518207.
147. Адлер, Жанна; Игаль Меир; Амнон Ахарони; А. Б. Харрис; Лиор Кляйн (1990). «Серия с низкой концентрацией в общем измерении». Журнал статистической физики. 58 (3/4): 511–538. Bibcode:1990JSP .... 58..511A. Дои:10.1007 / BF01112760. S2CID  122109020.
148. Даммер, Стефан М; Хэй Хинрихсен (2004). «Распространение иммунизации в больших масштабах». J. Stat. Механизм .: Theory Exp. 2004 (7): P07011. arXiv:cond-mat / 0405577. Bibcode:2004JSMTE..07..011D. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2004/07 / P07011. S2CID  118981083.
149. Lorenz, C.D .; Р. М. Зифф (1998). «Точное определение порогов перколяции связей и поправок на масштабирование конечного размера для sc, fcc и bcc решеток». Физический обзор E. 57 (1): 230–236. arXiv:cond-mat / 9710044. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. Дои:10.1103 / PhysRevE.57.230. S2CID  119074750.
150. Schrenk, K. J .; Н. А. М. Араужо; Х. Дж. Херрманн (2013). «Наборная треугольная решетка: перколяционные свойства». Физический обзор E. 87 (3): 032123. arXiv:1302.0484. Bibcode:2013PhRvE..87c2123S. Дои:10.1103 / PhysRevE.87.032123. S2CID  2917074.
151. Мартинс, П .; Дж. Пласкак (2003). «Просачивание на двумерных и трехмерных решетках». Физический обзор. 67 (4): 046119. arXiv:cond-mat / 0304024. Bibcode:2003PhRvE..67d6119M. Дои:10.1103 / Physreve.67.046119. PMID  12786448. S2CID  31891392.
152. Bradley, R.M .; Стренски П.Н., Ж.-М. Дебьер (1991). «Поверхности перколяционных кластеров в трех измерениях». Физический обзор B. 44 (1): 76–84. Bibcode:1991ПхРвБ..44 ... 76Б. Дои:10.1103 / PhysRevB.44.76. PMID  9998221.
153. Курзавский, Ł .; К. Маларц (2012). «Простые кубические пороги перколяции случайных сайтов для сложных окрестностей». Rep. Math. Phys. 70 (2): 163–169. arXiv:1111.3254. Bibcode:2012RpMP ... 70..163K. CiteSeerX  10.1.1.743.1726. Дои:10.1016 / S0034-4877 (12) 60036-6. S2CID  119120046.
154. Галлямов, С.Р .; Мельчуков С.А. (2013). «Порог перколяции простой кубической решетки с четвертыми соседями: теория и численный расчет с распараллеливанием» (PDF). Третья международная конференция «Высокопроизводительные вычисления» HPC-UA 2013 (Украина, Киев, 7-11 октября 2013 г.).
155. Сайкс, М. Ф .; Д. С. Гонт; Дж. У. Эссам (1976). «Вероятность перколяции для задачи узлов на гранецентрированной кубической решетке». Журнал физики А. 9 (5): L43 – L46. Bibcode:1976JPhA .... 9L..43S. Дои:10.1088/0305-4470/9/5/002.
156. Lorenz, C.D .; Р. Мэй; Р. М. Зифф (2000). «Сходство порогов перколяции на решетках HCP и FCC» (PDF). Журнал статистической физики. 98 (3/4): 961–970. Дои:10.1023 / А: 1018648130343. HDL:2027.42/45178. S2CID  10950378.
157. Тахир-Хели, Джамиль; У. А. Годдард III (2007). "Хиральный плакет поляронная теория купратной сверхпроводимости". Физический обзор B. 76 (1): 014514. arXiv:0707.3535. Bibcode:2007ПхРвБ..76а4514Т. Дои:10.1103 / PhysRevB.76.014514. S2CID  8882419.
158. Маларц, Кшиштоф (2015). «Простые кубические пороги перколяции случайных сайтов для окрестностей, содержащих четвертых ближайших соседей». Phys. Ред. E. 91 (4): 043301. arXiv:1501.01586. Bibcode:2015ПхРвЭ..91д3301М. Дои:10.1103 / PhysRevE.91.043301. PMID  25974606. S2CID  37943657.
159. Сюнь, Чжипэн; Роберт М. Зифф (2020). «Просачивание связи на простых кубических решетках с расширенными окрестностями». Phys. Ред. E. 102 (4): 012102. arXiv:2001.00349. Дои:10.1103 / PhysRevE.102.012102. PMID  32795057. S2CID  209531616.
160. Jerauld, G.R .; Л. Э. Скривен; Х. Т. Дэвис (1984). «Перколяция и проводимость в трехмерных сетях Вороного и регулярных сетях: второй пример топологического беспорядка». J. Phys. C: Физика твердого тела. 17 (19): 3429–3439. Bibcode:1984JPhC ... 17.3429J. Дои:10.1088/0022-3719/17/19/017.
161. Сюй, Фангбо; Чжипин Сюй; Борис Иванович Якобсон (2014). "Порог перколяции углеродных нанотрубок - быстрое исследование перколяции с помощью стохастической теории Маркова". Physica A. 407: 341–349. arXiv:1401.2130. Bibcode:2014PhyA..407..341X. Дои:10.1016 / j.physa.2014.04.013. S2CID  119267606.
162. Gawron, T. R .; Марек Цеплак (1991). «Пороги перколяции сайтов FCC-решетки» (PDF). Acta Physica Polonica A. 80 (3): 461. Дои:10.12693 / APhysPolA.80.461.
163. Хартер, Т. (2005). «Масштабный анализ перколяции в трехмерных коррелированных двоичных случайных полях цепи Маркова». Физический обзор E. 72 (2): 026120. Bibcode:2005PhRvE..72b6120H. Дои:10.1103 / PhysRevE.72.026120. PMID  16196657. S2CID  2708506.
164. Сайкс, М. Ф .; J. J. Rehr; Морин Глен (1996). «Замечание о вероятностях протекания пар близких решеток». Proc. Camb. Фил. Soc. 76: 389–392. Дои:10.1017 / S0305004100049021.
165. Weber, H .; У. Пол (1996). "Пенетрантная диффузия в замороженных полимерных матрицах: масштабное исследование перколяции свободного объема". Физический обзор E. 54 (4): 3999–4007. Bibcode:1996PhRvE..54.3999W. Дои:10.1103 / PhysRevE.54.3999. PMID  9965547.
166. Тарасевич, Ю. Ю.; Черкасова В.А. (2007). «Просачивание и заклинивание димеров на простой кубической решетке». Европейский физический журнал B. 60 (1): 97–100. arXiv:0709.3626. Bibcode:2007EPJB ... 60 ... 97 зуб.. Дои:10.1140 / epjb / e2007-00321-2. S2CID  5419806.
167. Холкомб, Д. Ф ..; Дж. Дж. Рехр младший (1969). «Перколяция в сильно легированных полупроводниках *». Физический обзор. 183 (3): 773–776. Дои:10.1103 / PhysRev.183.773.
168. Holcomb, D F .; Ф. Холкомб; М. Ивасава (1972). «Кластеризация случайно расположенных сфер». Биометрика. 59: 207–209. Дои:10.1093 / biomet / 59.1.207.
169. Shante, Vinod K. S .; Скотт Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Успехи в физике. 20 (85): 325–357. Дои:10.1080/00018737100101261.
170. Rintoul, M.D .; С. Торквато (1997). «Точное определение критического порога и показателей в трехмерной модели перколяции континуума». J. Phys. A: Математика. Gen. 30 (16): L585. Bibcode:1997JPhA ... 30L.585R. CiteSeerX  10.1.1.42.4284. Дои:10.1088/0305-4470/30/16/005.
171. Consiglio, R .; Р. Бейкер; Г. Пол; Х. Э. Стэнли (2003). «Континуум перколяции конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Physica A. 319: 49–55. Дои:10.1016 / S0378-4371 (02) 01501-7.
172. Сюй Вэньсян; Xianglong Su; Ян Цзяо (2016). «Континуум перколяции конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Phys. Ред. E. 93 (3): 032122. Bibcode:2016PhRvE..94c2122X. Дои:10.1103 / PhysRevE.94.032122. PMID  27078307.
173. Lorenz, C.D .; Р. М. Зифф (2000). «Точное определение критического порога перколяции для трехмерного швейцарский сыр модель с использованием алгоритма роста " (PDF). J. Chem. Phys. 114 (8): 3659. Bibcode:2001ЖЧФ.114.3659Л. Дои:10.1063/1.1338506. HDL:2027.42/70114.
174. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуйсу; Сюй, Вэньсян (2018). «Геометрический порог перколяции конгруэнтных кубовидных частиц в перекрывающихся системах частиц». Физический обзор E. 98 (1): 012134. Bibcode:2018PhRvE..98a2134L. Дои:10.1103 / PhysRevE.98.012134. PMID  30110832.
175. Garboczi, E.J .; К. А. Снайдер; Дж. Ф. Дуглас (1995). «Порог геометрической перколяции перекрывающихся эллипсоидов». Phys. Ред. E. 52 (1): 819–827. Bibcode:1995PhRvE..52..819G. Дои:10.1103 / PhysRevE.52.819. PMID  9963485.
176. Йи, Й.-Б .; А. М. Састрый (2004). "Аналитическая аппроксимация порога перколяции перекрывающихся эллипсоидов вращения". Proc. R. Soc. Лондон. А. 460 (2048): 2353–2380. Bibcode:2004RSPSA.460.2353Y. Дои:10.1098 / rspa.2004.1279. S2CID  2475482.
177. Hyytiä, E .; Дж. Виртамо, П. Лассила и Дж. Отт (2012). «Порог непрерывной перколяции для проницаемых выровненных цилиндров и гибких сетей». Письма по коммуникациям IEEE. 16 (7): 1064–1067. Дои:10.1109 / LCOMM.2012.051512.120497. S2CID  1056865.
178. Torquato, S .; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на порог перколяции перекрывающихся несферических гиперчастиц». Физический обзор E. 87 (2): 022111. arXiv:1210.0134. Bibcode:2013PhRvE..87b2111T. Дои:10.1103 / PhysRevE.87.022111. PMID  23496464. S2CID  11417012.
179. Yi, Y. B .; Э. Таверги (2009). «Геометрические пороги просачивания взаимопроникающих пластин в трехмерное пространство». Физический обзор E. 79 (4): 041134. Bibcode:2009PhRvE..79d1134Y. Дои:10.1103 / PhysRevE.79.041134. PMID  19518200.
180. Yi, Y. B .; К. Эсмаил (2012). «Расчетное измерение порогов проницаемости пустот сплюснутых частиц и тонких пластинчатых композитов». J. Appl. Phys. 111 (12): 124903. Bibcode:2012JAP ... 111l4903Y. Дои:10.1063/1.4730333.
181. Priour, Jr., D. J .; Н. Дж. Макгиган (2017). «Просачивание через пустоты вокруг беспорядочно ориентированных граненых включений». arXiv:1712.10241 [cond-mat.stat-mech ].
182. Priour, Jr., D. J .; Н. Дж. Макгиган (2018). «Просачивание через пустоты вокруг беспорядочно ориентированных многогранников и аксиально-симметричных зерен». Phys. Rev. Lett. 121 (22): 225701. arXiv:1801.09970. Bibcode:2018ПхРвЛ.121в5701П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.121.225701. PMID  30547614. S2CID  119185480.
183. Кертес, Янош (1981). «Просачивание дырок между перекрывающимися сферами: расчет критической объемной доли Монте-Карло» (PDF). Journal de Physique Lettres. 42 (17): L393 – L395. Дои:10.1051 / jphyslet: 019810042017039300.
184. Elam, W. T .; А. Р. Керштейн; Дж. Дж. Рехр (1984). «Критические свойства проблемы перколяции пустот для сфер». Phys. Rev. Lett. 52 (7): 1516–1519. Bibcode:1984ПхРвЛ..52.1516Э. Дои:10.1103 / PhysRevLett.52.1516.
185. Ринтул, М. Д. (2000). «Точное определение порога перколяции пустот для двух распределений перекрывающихся сфер». Физический обзор E. 62 (6): 68–72. Дои:10.1103 / PhysRevE.62.68. PMID  11088435.
186. Йи, Ю. Б. (2006). «Перколяция пустот и проводимость перекрывающихся эллипсоидов». Физический обзор E. 74 (3): 031112. Bibcode:2006PhRvE..74c1112Y. Дои:10.1103 / PhysRevE.74.031112. PMID  17025599.
187. Höfling, F .; Т. Мунк; Э. Фрей; Т. Франош (2008). «Критическая динамика баллистических и броуновских частиц в неоднородной среде». J. Chem. Phys. 128 (16): 164517. arXiv:0712.2313. Bibcode:2008JChPh.128p4517H. Дои:10.1063/1.2901170. PMID  18447469. S2CID  25509814.
188. Приур, мл., Д.Дж. (2014). «Просачивание через пустоты вокруг перекрывающихся сфер: динамический масштабный анализ конечного размера». Phys. Ред. E. 89 (1): 012148. arXiv:1208.0328. Bibcode:2014PhRvE..89a2148P. Дои:10.1103 / PhysRevE.89.012148. PMID  24580213. S2CID  20349307.
189. Пауэлл, М. Дж. (1979). «Перколяция сайта в случайно упакованных сферах». Физический обзор B. 20 (10): 4194–4198. Bibcode:1979ПхРвБ..20.4194П. Дои:10.1103 / PhysRevB.20.4194.
190. Ziff, R.M .; Сальваторе Торквато (2016). «Просачивание неупорядоченных застрявших сфер». Журнал физики A: математический и теоретический. 50 (8): 085001. arXiv:1611.00279. Bibcode:2017JPhA ... 50х5001Z. Дои:10.1088 / 1751-8121 / aa5664. S2CID  53003822.
191. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуйсу (2018). «Континуумная перколяция пористой среды за счет случайной упаковки перекрывающихся кубовидных частиц». Письма по теоретической и прикладной механике. 8 (5): 299–303. Дои:10.1016 / j.taml.2018.05.007.
192. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуйсу (2018). "Влияние морфологии частиц на просачивание твердых частиц пористой среды: исследование супершаров". Порошковая технология. 335: 388–400. Дои:10.1016 / j.powtec.2018.05.015.
193. Clerc, J. P .; Ж. Жиро; С. Александр; Э. Гийон (1979). «Электропроводность смеси проводящих и изолирующих зерен: размерные эффекты». Физический обзор B. 22 (5): 2489–2494. Дои:10.1103 / PhysRevB.22.2489.
194. К. Лармье, Э. Дюмонтей, Ф. Мальваги, А. Маццоло и А. Зоя, К. (2016). «Эффекты конечных размеров и перколяционные свойства пуассоновских геометрий». Физический обзор E. 94 (1): 012130. arXiv:1605.04550. Bibcode:2016PhRvE..94a2130L. Дои:10.1103 / PhysRevE.94.012130. PMID  27575099. S2CID  19361619.
195. Закалюкин, Р. М .; Чижиков В.А. (2005). "Вычисление порогов протекания трехмерного (икосаэдрического) мозаичного покрытия Пенроуза методом кубической аппроксимации". Кристаллографические отчеты. 50 (6): 938–948. Bibcode:2005CryRp..50..938Z. Дои:10.1134/1.2132400. S2CID  94290876.
196. Грассбергер, П. (2017). «Несколько замечаний по просачиванию бурения». Phys. Ред. E. 95 (1): 010103. arXiv:1611.07939. Дои:10.1103 / PhysRevE.95.010103. PMID  28208497. S2CID  12476714.
197. Schrenk, K. J .; М. Р. Хиларио; В. Сидоравичюс; Н. А. М. Араужо; Х. Дж. Херрманн; М. Тильманн; А. Тейшейра (2016). «Критические свойства фрагментации случайного сверления: сколько отверстий нужно просверлить, чтобы разрушить деревянный куб?». Phys. Rev. Lett. 116 (5): 055701. arXiv:1601.03534. Bibcode:2016PhRvL.116e5701S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.116.055701. PMID  26894717. S2CID  3145131.
198. Кантор, Яков (1986). «Трехмерная перколяция с удаленными строками сайтов». Phys. Ред. B. 33 (5): 3522–3525. Bibcode:1986ПхРвБ..33.3522К. Дои:10.1103 / PhysRevB.33.3522. PMID  9938740.
199. Киркпатрик, Скотт (1976). «Явления просачивания в высшие измерения: приближение к пределу среднего поля». Письма с физическими проверками. 36 (2): 69–72. Bibcode:1976ПхРвЛ..36 ... 69К. Дои:10.1103 / PhysRevLett.36.69.
200. Gaunt, D. S .; Сайкс, М. Ф .; Раскин, Хизер (1976). «Перколяционные процессы в d-измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen. 9 (11): 1899–1911. Bibcode:1976JPhA .... 9.1899G. Дои:10.1088/0305-4470/9/11/015.
201. Грассбергер, Питер (2003). «Критическая перколяция в больших размерностях». Физический обзор E. 67 (3): 4. arXiv:cond-mat / 0202144. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G. Дои:10.1103 / PhysRevE.67.036101. PMID  12689126. S2CID  43707822.
202. Пол, Джеральд; Роберт М. Зифф; Х. Юджин Стэнли (2001). «Порог перколяции, показатель Фишера и показатель кратчайшего пути для четырех и пяти измерений». Физический обзор E. 64 (2): 8. arXiv:cond-mat / 0101136. Bibcode:2001PhRvE..64b6115P. Дои:10.1103 / PhysRevE.64.026115. PMID  11497659. S2CID  18271196.
203. Ballesteros, H.G .; Л. А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судупе; Г. Паризи; Дж. Дж. Руис-Лоренцо (1997). «Меры критических показателей в четырехмерной перколяции сайтов». Phys. Lett. B. 400 (3–4): 346–351. arXiv:hep-lat / 9612024. Bibcode:1997ФЛБ..400..346Б. Дои:10.1016 / S0370-2693 (97) 00337-7. S2CID  10242417.
204. Kotwica, M .; П. Гронек; К. Маларц (2019). «Эффективная виртуализация пространства для алгоритма Хошена – Копельмана». Международный журнал современной физики C. 30: 1950055. arXiv:1803.09504. Bibcode:2018arXiv180309504K. Дои:10.1142 / S0129183119500554. S2CID  4418563.
205. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2018). «Пороги перколяции и показатели Фишера в гиперкубических решетках». Phys. Ред. E. 98 (2): 022120. arXiv:1806.08067. Bibcode:2018PhRvE..98b2120M. Дои:10.1103 / PhysRevE.98.022120. PMID  30253462. S2CID  52821851.
206. Сюнь, Чжипэн (2020). «Точные пороги перколяции связей на нескольких четырехмерных решетках». Physical Review Research. 2 (1): 013067. arXiv:1910.11408. Bibcode:2020PhRvR ... 2a3067X. Дои:10.1103 / PhysRevResearch.2.013067. S2CID  204915841.
207. Адлер, Жанна; Игаль Меир; Амнон Ахарони; А. Б. Харрис (1990). "Серийное исследование перколяционных моментов в общем измерении". Физический обзор B. 41 (13): 9183–9206. Bibcode:1990ПхРвБ..41.9183А. Дои:10.1103 / PhysRevB.41.9183. PMID  9993262.
208. Штауфер, Дитрих; Роберт М. Зифф (1999). «Пересмотр семимерных порогов просачивания сайтов». Международный журнал современной физики C. 11 (1): 205–209. arXiv:cond-mat / 9911090. Bibcode:2000IJMPC..11..205S. Дои:10.1142 / S0129183100000183. S2CID  119362011.
209. Gaunt, D. S .; Раскин, Хизер (1978). «Процессы перколяции связи в d-измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen. 11 (7): 1369. Bibcode:1978JPhA ... 11.1369G. Дои:10.1088/0305-4470/11/7/025.
210. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2018). «Расширение серии критических плотностей для перколяции на ℤ^d". J. Phys. A: Математика. Теор. 51 (47): 475001. arXiv:1805.02701. Дои:10.1088 / 1751-8121 / aae65c. S2CID  119399128.
211. Гори, Г .; Michelangeli, M .; Defenu, N .; Тромбеттони, А. (2017). «Одномерная дальнодействующая перколяция: численное исследование». Физический обзор E. 96 (1): 012108. arXiv:1610.00200. Bibcode:2017PhRvE..96a2108G. Дои:10.1103 / Physreve.96.012108. PMID  29347133. S2CID  9926800.
212. Шульман, Л. С. (1983). «Просачивание на большие расстояния в одном измерении». Журнал физики A: математические и общие. 16 (17): L639 – L641. Bibcode:1983JPhA ... 16L.639S. Дои:10.1088/0305-4470/16/17/001. ISSN  0305-4470.
213. Aizenman, M .; Ньюман, К. М. (1 декабря 1986 г.). «Разрыв плотности перколяции в одномерных 1 / | x − y | 2 моделях перколяции». Коммуникации по математической физике. 107 (4): 611–647. Bibcode:1986CMaPh.107..611A. Дои:10.1007 / BF01205489. ISSN  0010-3616. S2CID  117904292.
214. Baek, S.K .; Петтер Миннхаген и Бом Джун Ким (2009). Комментарий к 'Исследование методом Монте-Карло двухступенчатого перколяционного перехода в улучшенных бинарных деревьях'". J. Phys. A: Математика. Теор. 42 (47): 478001. arXiv:0910.4340. Bibcode:2009JPhA ... 42U8001B. Дои:10.1088/1751-8113/42/47/478001. S2CID  102489139.
215. Бетчер, Стефан; Джессика Л. Кук и Роберт М. Зифф (2009). «Неустойчивое просачивание в иерархической сети с ограничениями малого мира». Phys. Ред. E. 80 (4): 041115. arXiv:0907.2717. Bibcode:2009PhRvE..80d1115B. Дои:10.1103 / PhysRevE.80.041115. PMID  19905281.
216. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2017). «Пороги перколяции в гиперболических решетках». Phys. Ред. E. 96 (4): 042116. arXiv:1708.05876. Bibcode:2017PhRvE..96d2116M. Дои:10.1103 / PhysRevE.96.042116. PMID  29347529. S2CID  39025690.
217. Лопес, Хорхе Х .; Дж. М. Шварц (2017). «Перколяция ограничений на гиперболических решетках». Phys. Ред. E. 96 (5): 052108. arXiv:1512.05404. Bibcode:2017PhRvE..96e2108L. Дои:10.1103 / PhysRevE.96.052108. PMID  29347694. S2CID  44770310.
218. Baek, S.K .; Петтер Миннхаген и Бом Джун Ким (2009). «Перколяция на гиперболических решетках». Phys. Ред. E. 79 (1): 011124. arXiv:0901.0483. Bibcode:2009PhRvE..79a1124B. Дои:10.1103 / PhysRevE.79.011124. PMID  19257018. S2CID  29468086.
219. Гу, Ханг; Роберт М. Зифф (2012). «Переход по гиперболическим решеткам». Phys. Ред. E. 85 (5): 051141. arXiv:1111.5626. Bibcode:2012PhRvE..85e1141G. Дои:10.1103 / PhysRevE.85.051141. PMID  23004737. S2CID  7141649.
220. Ногава, Томоаки; Такэхиса Хасэгава (2009). «Исследование методом Монте-Карло двухступенчатого перколяционного перехода в улучшенных бинарных деревьях». J. Phys. A: Математика. Теор. 42 (14): 145001. arXiv:0810.1602. Bibcode:2009JPhA ... 42n5001N. Дои:10.1088/1751-8113/42/14/145001. S2CID  118367190.
221. Миннхаген, Петтер; Сын Ки Бэк (2010). «Аналитические результаты для перколяционных переходов расширенного двоичного дерева». Phys. Ред. E. 82 (1): 011113. arXiv:1003.6012. Bibcode:2010PhRvE..82a1113M. Дои:10.1103 / PhysRevE.82.011113. PMID  20866571. S2CID  21018113.
222. Козакова, Ива (2009). «Критическая перколяция виртуально свободных групп и других древовидных графов». Анналы вероятности. 37 (6): 2262–2296. arXiv:0801.4153. Дои:10.1214 / 09-AOP458.
223. Коэн, Р. К. Эрез; Д. Бен-Авраам; С. Хавлин (2000). «Устойчивость Интернета к случайным сбоям». Phys. Rev. Lett. 85 (21): 4626–8. arXiv:cond-mat / 0007048. Bibcode:2000ПхРвЛ..85.4626С. CiteSeerX  10.1.1.242.6797. Дои:10.1103 / PhysRevLett.85.4626. PMID  11082612. S2CID  15372152.
224. Ван, Цзюньфэн; Цзунчжэн Чжоу; Цинцюань Лю; Тимоти М. Гарони; Юджин Дэн (2013). «Высокоточное исследование методом Монте-Карло направленной перколяции в (d + 1) измерениях». Физический обзор E. 88 (4): 042102. arXiv:1201.3006. Bibcode:2013PhRvE..88d2102W. Дои:10.1103 / PhysRevE.88.042102. PMID  24229111. S2CID  43011467.
225. Дженсен, Иван; Энтони Дж. Гуттманн (1995). «Разложение вероятности просачивания в ряд для ориентированных квадратных и сотовых решеток». J. Phys. A: Математика. Gen. 28 (17): 4813–4833. arXiv:cond-mat / 9509121. Bibcode:1995JPhA ... 28.4813J. Дои:10.1088/0305-4470/28/17/015. S2CID  118993303.
226. Дженсен, Иван (2004). «Разложения в ряды малой плотности для направленной перколяции. III. Некоторые двумерные решетки». J. Phys. A: Математика. Gen. 37 (4): 6899–6915. arXiv:cond-mat / 0405504. Bibcode:2004JPhA ... 37.6899J. CiteSeerX  10.1.1.700.2691. Дои:10.1088/0305-4470/37/27/003. S2CID  119326380.
227. Essam, J. W .; А. Дж. Гуттманн; К. Де'Белл (1988). «О двумерной направленной перколяции». J. Phys. А. 21 (19): 3815–3832. Bibcode:1988JPhA ... 21.3815E. Дои:10.1088/0305-4470/21/19/018.
228. Lübeck, S .; Р. Д. Уиллманн (2002). «Универсальное масштабное поведение направленной перколяции и процесс парного контакта во внешнем поле». J. Phys. А. 35 (48): 10205. arXiv:cond-mat / 0210403. Bibcode:2002JPhA ... 3510205L. Дои:10.1088/0305-4470/35/48/301. S2CID  11831269.
229. Дженсен, Иван (1999). «Разложения в ряды низкой плотности для направленной перколяции: I. Новый эффективный алгоритм с приложениями к квадратной решетке». J. Phys. А. 32 (28): 5233–5249. arXiv:cond-mat / 9906036. Bibcode:1999JPhA ... 32.5233J. Дои:10.1088/0305-4470/32/28/304. S2CID  2681356.
230. Эссам, Джон; К. Де'Белл; Дж. Адлер; Ф. М. Бхатти (1986). «Анализ расширенных рядов перколяции связей на направленной квадратной решетке». Физический обзор B. 33 (2): 1982–1986. Bibcode:1986PhRvB..33.1982E. Дои:10.1103 / PhysRevB.33.1982. PMID  9938508.
231. Baxter, R.J .; А. Дж. Гуттманн (1988). «Разложение в ряд вероятностей перколяции для направленной квадратной решетки». J. Phys. А. 21 (15): 3193–3204. Bibcode:1988JPhA ... 21.3193B. Дои:10.1088/0305-4470/21/15/008.
232. Дженсен, Иван (1996). «Разложения в ряды низкой плотности для направленной перколяции на квадратной и треугольной решетках». J. Phys. А. 29 (22): 7013–7040. Bibcode:1996JPhA ... 29.7013J. Дои:10.1088/0305-4470/29/22/007. S2CID  121332666.
233. Близ, Дж. (1977). «Разложения в ряд для проблемы перколяции направленных связей». J. Phys. C: Физика твердого тела. 10 (7): 917–924. Bibcode:1977JPhC ... 10..917B. Дои:10.1088/0022-3719/10/7/003.
234. Grassberger, P .; Ю.-К. Чжан (1996). ""Самоорганизованная «формулировка стандартных явлений перколяции». Physica A. 224 (1): 169–179. Bibcode:1996PhyA..224..169G. Дои:10.1016/0378-4371(95)00321-5.
235. Грассбергер, П. (2009). «Локальная настойчивость в направленной перколяции». J. Stat. Мех. Чт. Опыт. 2009 (8): P08021. arXiv:0907.4021. Bibcode:2009JSMTE..08..021G. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2009/08 / P08021. S2CID  119236556.
236. Lübeck, S .; Р. Д. Уиллманн (2004). «Универсальное масштабное поведение направленной перколяции вокруг верхнего критического измерения». J. Stat. Phys. 115 (5–6): 1231–1250. arXiv:cond-mat / 0401395. Bibcode:2004JSP ... 115.1231L. CiteSeerX  10.1.1.310.8700. Дои:10.1023 / B: JOSS.0000028059.24904.3b. S2CID  16267627.
237. Perlsman, E .; С. Хавлин (2002). «Метод оценки критических показателей с помощью численных исследований». Europhys. Латыш. 58 (2): 176–181. Bibcode:2002ЭЛ ..... 58..176П. Дои:10.1209 / epl / i2002-00621-7. S2CID  67818664.
238. Адлер, Жанна; Дж. Бергер, М. А. М. С. Дуарте, Ю. Меир (1988). «Направленная перколяция в 3 + 1 измерениях». Физический обзор B. 37 (13): 7529–7533. Bibcode:1988ПхРвБ..37.7529А. Дои:10.1103 / PhysRevB.37.7529. PMID  9944046.
239. Грассбергер, Питер (2009). «Логарифмические поправки в (4 + 1) -мерной направленной перколяции». Физический обзор E. 79 (5): 052104. arXiv:0904.0804. Bibcode:2009PhRvE..79e2104G. Дои:10.1103 / PhysRevE.79.052104. PMID  19518501. S2CID  23876626.
240. Ву Ф. Я. (2010)."Критическая граница моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа кагоме I: выражения в замкнутой форме". Физический обзор E. 81 (6): 061110. arXiv:0911.2514. Bibcode:2010PhRvE..81f1110W. Дои:10.1103 / PhysRevE.81.061110. PMID  20866381. S2CID  31590247.
241. Дамаванди, Оджан Хатиб; Роберт М. Зифф (2015). «Перколяция на гиперграфах с четырьмя ребрами». J. Phys. A: Математика. Теор. 48 (40): 405004. arXiv:1506.06125. Bibcode:2015JPhA ... 48N5004K. Дои:10.1088/1751-8113/48/40/405004. S2CID  118481075.
242. Ву Ф. Я. (2006). «Новые критические границы для моделей Поттса и перколяции». Письма с физическими проверками. 96 (9): 090602. arXiv:cond-mat / 0601150. Bibcode:2006PhRvL..96i0602W. CiteSeerX  10.1.1.241.6346. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.090602. PMID  16606250. S2CID  15182833.
243. Реувен Коэн; Шломо Хавлин (2010). Сложные сети: структура, надежность и функции. Издательство Кембриджского университета.
244. С. В. Булдырев; Р. Паршани; Г. Пол; Х. Э. Стэнли; С. Хавлин (2010). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях». Природа. 464 (7291): 1025–28. arXiv:0907.1182. Bibcode:2010Натура.464.1025Б. Дои:10.1038 / природа08932. PMID  20393559. S2CID  1836955.
245. Гао, Цзяньси; Булдырев, Сергей В .; Стэнли, Х. Юджин; Хавлин, Шломо (2011). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Природа Физика. 8 (1): 40–48. Bibcode:2012НатФ ... 8 ... 40Г. CiteSeerX  10.1.1.379.8214. Дои:10.1038 / nphys2180. ISSN  1745-2473.